结构力学图乘法详述[稻谷书苑]

1、二、结构位移计算的一般公式二、结构位移计算的一般公式 i i ds)QNM(d 一根杆件各个微段变形引起的位移总和：一根杆件各个微段变形引起的位移总和： ds)QNM(d 如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为： ds)QNM( 若结构的支座还有位移，则总的位移为：若结构的支座还有位移，则总的位移为： kkc Rds)QNM( 1教育教学 kkc Rds)QNM( 适用范围与特点：适用范围与特点： 2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。形式上是虚功方程，实质是几何方程。 关于公式普遍性的讨论：关于公式普遍性的讨论： （1

2、）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。 （2）变形原因：荷载与非荷载。）变形原因：荷载与非荷载。 （3）结构类型：各种杆件结构。）结构类型：各种杆件结构。 （4）材料种类：各种变形固体材料。）材料种类：各种变形固体材料。 1） 适于小变形，可用叠加原理。适于小变形，可用叠加原理。 2教育教学 三、位移计算的一般步骤三、位移计算的一般步骤: 1 c 2 c 1 t 2 t K K 1 1 R 2 R 实际变形状态虚力状态 kkc Rds)QNM( (1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力；建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力； (2) 求虚力

3、状态下的内力及反力求虚力状态下的内力及反力 k R.Q.N.M表达式表达式; (3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。 k R.Q.N.M 3教育教学 6-3 6-3 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算 研究对象：静定结构、线性弹性材料。研究对象：静定结构、线性弹性材料。 ds)QNM( 重点在于解决荷载作用下应变重点在于解决荷载作用下应变 的表达式。的表达式。 、 一、计算步骤一、计算步骤 （1）在荷载作用下建立）在荷载作用下建立 的方程，可经由荷载的方程，可经由荷载内力内力应力应力应变应变 过程推导应变表达式。过程推导应变表达式。 PP

4、P Q.N.M （2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知 GA Q k EA N EI M PPP k-为截面形状系数为截面形状系数 1.2 9 10 1 A A (3) 荷载作用下的位移计算公式荷载作用下的位移计算公式 ds GA QQk ds EA NN ds EI MM PPP 4教育教学 二、各类结构的位移计算公式二、各类结构的位移计算公式 （1 1）梁与刚架）梁与刚架 ds EI MM P （2 2）桁架）桁架 EA lNN ds EA NN ds EA NN PPP （3 3）拱）拱 ds EA NN ds EI MM PP 5教

5、育教学 P l/2l/2 EI AB x1 x2 例例4：求图示等截面梁：求图示等截面梁B端转角。端转角。 解：解：1）虚拟单位荷载）虚拟单位荷载 m=1 积分常可用图形相乘来代替 2）MP 须分段写须分段写 ) 2 0( 2 )( l x Px xM P ) 2 ( 2 )( )(lx lxlP xM P )0()(lx l x xM l P B dx EI MM 0 l l l dx EIl xxlP dx EIl xPx 2 2 0 1 )( 2 )(1 )( 2 EI Pl 16 2 6教育教学 6-5 6-5 图乘法图乘法 位移计算举例位移计算举例 ki ds EI MM ki CE

6、I dxMM EI 1 P EI y dx EI MM 0 w y EI 0 1 wxtg EI 0 1 w B A kdx xMtg EI 1 B A k M dxxtgM EI i 1 是直线直线 ki dx EI MM 直杆直杆 Mi Mi=xtg y x Mk dx x y0 x0 注注： y0=x0tg 表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。 图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：a）EI=常数；常数；b）直杆；）直杆；c）两个弯矩图）两个弯矩图 至少有一个是直线。至少有一个是直线。 竖标竖标y0取在直线图形中，对应另一（取面积）图形的形心处。取在直线图形

7、中，对应另一（取面积）图形的形心处。 面积面积与竖标与竖标y0在杆的同侧，在杆的同侧， y0 取正号，否则取负号。取正号，否则取负号。 B A tg xd EI w w d 7教育教学 几种常见图形的面积和形心的位置：几种常见图形的面积和形心的位置： (a+l)/3(b+l)/3 =hl/2 l ab h l/2l/2 h 二次抛物线二次抛物线=2hl/3 h 3l/4l/4 5l/83l/8 二次抛物线二次抛物线=hl/3 二次抛物线二次抛物线=2hl/3 4l/5l/5 h h 三次抛物线三次抛物线=hl/4 (n+1)l/(n+2)l/(n+2) h n次抛物线次抛物线=hl/(n+1)

8、 顶点顶点 顶点顶点 顶点顶点 顶点顶点 顶点顶点 8教育教学 当图乘法的适用条件不满足时的处理当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：方法： a）曲杆或）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积）时，只能用积分法求位移；分法求位移； b）当）当EI分段为常数或分段为常数或 P l/2l/2 EI AB m=1 1/2 Pl/4 EI Pl l Pl EI B 162 1 42 11 2 ql2/2 M MP MP P=1 l M l q A B EI ql ll ql EI B 84 3 23 11 42 例：求梁例：求梁B点转角位移。点转角位移。例：求梁例：求梁B点竖向线位移。点竖向线位移。 3

9、l/4 M、MP均非直线时，应分段图乘再叠加。均非直线时，应分段图乘再叠加。 9教育教学 PP aaa 例：求图示梁中点的挠度。例：求图示梁中点的挠度。 PaPa MP P=1 3a/4 M EI Pa Pa aaaPa EI aa 24 23 2 22 2 23 2 2 1 3 4 3 2 a/2 a/2 Paa a EI 3 4 3 2 11 P l/2l/2 C 例：求图示梁例：求图示梁C点的挠度。点的挠度。 MP Pl C P=1 l/2 M l/6 l 6EI Pl 12 3 = Pl EI C 2 1 2 =D EI Pl 48 5 3 Pl 6 5 ll EI y C 222 1

10、 0 w 5Pl/6 ？ ？ 10教育教学 非标准图形乘直线形非标准图形乘直线形 a）直线形乘直线形）直线形乘直线形 a b d c l/3l/3l/3 1 2 y1 y2 ()bcadbdac l 22 6 dc 3 2 3 bl 2 dc 33 2al 2 yydxMM ki 2211 ww Mi Mk 各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正， 否则取负。否则取负。 S = 9/6（262 +2 43 +6 3+42） =111 （1） 3 2 6 4 9 11教育教学 S = 9/6（262+20

11、3 +6302） = 9 S=9/6（262243+6342） =15 S = 9/6（262+2436342） = 33 2 3 6 4 （3） 9 （2） 3 2 6 4 9 （4） 2 3 6 9 12教育教学 l a b d c h + b a h 23 2dchl ()22 6 bcadbdac l S b)非标准抛物线乘直线形非标准抛物线乘直线形 E=3.3 1010 N/ m2 I=1/12 1002.53cm4=1.3 10-6 m4 折减抗弯刚度 折减抗弯刚度 0.85EI=0.85 1.3010-63.31010 = 3.6465 104 N m2 例：例： 预应力钢筋混凝

12、土墙板单预应力钢筋混凝土墙板单 点起吊过程中的计算简图。点起吊过程中的计算简图。 已知：板宽已知：板宽1m，厚，厚2.5cm，混凝土，混凝土 容重为容重为25000N/m3，求，求C点的挠度。点的挠度。 q=625 N/m 2.2m0.8m AB C 解：解：q=2500010.025625 N/ m 13教育教学 折减抗弯刚度折减抗弯刚度 0.85EI=3.6465 104Nm2 200 378 P=1 0.8 MP M q=625N/m 2.2m0.8m AB C 1 y1 3 ()cmm2 . 01026 . 03 .534 . 0555533. 0220 6465. 3 1 3 y3

13、2 y2 2202 . 2200 2 1 1 w 533. 08 . 0 3 2 1 y )( 85. 0 1 332211 yyy EI C www 5552 . 2378 3 2 2 w 4 . 08 . 0 2 1 2 y 3 .538 . 0200 3 1 3 w 6 . 08 . 0 4 3 3 y 14教育教学 P=1 1 1 l y1 y2 y3 M 2 3 l y 3 2 21 yly 1283 2 32 3 ql l ql w 422 1 2 32 1 ql l ql ww 8 3 2123 2 43 2 4 1 4222 EI qllqllqllql EI () 1 332

14、211 M yyy EI www 1N 0N q l l ql2/2 ql2/8 ql ql/2 ql/2 MP 1 2 2 B NP=ql/2 NP=0 900 1 93 4 3 4 8 3 2 10 1 2 2 2 12 2 42 3 l h bh M N l h bhlAl I EI ql EA ql 2 1 2 2 P N EA ql EA lql EA lNN 15教育教学 求求ABAB两点的相对水平位移。两点的相对水平位移。 36 18 9 MPP=1 P=1 6 3 M ) () EI -756 3 3 2 2 318 EI 6 4 3 636 3 11 2 63 96 3 2

15、( EI 61833631826362 6 61 6kN 2kN/m 2kN/m 6m 3m3m A B EI常数常数 9 9 9 9 9 9 9 ()bcadbdac l 22 6 16教育教学 4kN4kN.m 2kN/m12kN.m 4m4m EI A B 求求B 5kN 12 8 4 4 MP kN.m 1 MkN.m ql l EI B 1 EI qllqlll l ql EI BV 24 11 283 2 3 2 2 3 2 11 422 ql2/8 3ql2/2 MP l M 求求B点竖向位移。点竖向位移。 ()5 . 04181425 . 082 6 4 ()5 . 085 .

16、 0122 6 41 EI B 75. 044 3 2 EI3 20 17教育教学 5m5m 5m5m5m 2kN/m 7kN 10kN A B G C D E F 15kN 50kN.m 25 35 10 20 1kN 2kN 10 10 10 20 AH EI 11 2 550 5 6 10 1 2 550 2 3 10 2 3 5 25 4 1 2 10 1 2 525 2 3 10 1 2 101010 1 3 10 1 2 102010 2 3 10 31875 . EI 159410 2 . m 求求A点水平位移。点水平位移。 18教育教学 P=1 MP ql2/2 l l/2 A

17、 B 2EIEI l/2 M 求求B点的竖向位移。点的竖向位移。 EI ql 256 17 4 lllql EI2 5 .0 2323 2 2 1 2 l qllqllql l qll EI82228 2 2 2 6 5 .0 2 1 2222 lql EI l B 4 3 283 11 2 2 EI qll l ql EI B 84 3 23 11 42 y lql EI B 28 3 3 1 2 1 0 2 L q ？ ql2/8 l/2？ ql2/32 y0 19教育教学 l l P l l P dx EI MM dx EI MM 11 11 l l P l P dx EI MM dx

18、EI MM 1 1 2 0 1 l l P l P dx EI MM dx EI MM 1 1 2 0 1 () l l P dxMMM EI 1 21 1 l P dxMM EI 0 1 1 MP MP x q l l1 M 1 M1 M2 20教育教学 例：试求等截面简支梁例：试求等截面简支梁C截面的转角。截面的转角。 q l/5 4l/5 2ql2/25 ql2/8 MP 1 1/5 4/5 1 = qllqll 1 25853 2 25 2 52 1 22 l ql EI C 2 1 83 21 2 EI ql 100 33 3 M 21教育教学 作业 5-18，5-20 22教育教学

19、 32/ 2 ql 例例. 图示梁图示梁 EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移点竖向位移 。 i M 2/ l A l/2 q B C l/2 MP 2/ 2 ql 1 C )( 384 17 ) 23 1 822 1 23 2 222 1 22 1 3223 2 ( 1 4 2 22 EI ql lqll lqlllqll EI EI yc c w 8/ 2 ql q 8/ 2 ql2/ 2 ql 2/ 2 ql 8/ 2 ql 23教育教学 i M 2/ l A l/2 q B C l/2 MP 2/ 2 ql 1 C )( 384 17 ) 22 1 82 23 2 422 1 24

20、3 823 1 ( 1 4 2 22 EI ql lqll lqlllqll EI EI yc c w 8/ 2 ql q 8/ 2 ql 2/ql q 8/ 2 ql 4/ 2 ql 2/ql 8/ 2 ql 8/ 2 ql 24教育教学 例例. 试求图示结构试求图示结构B点竖向位移点竖向位移. 解解: s EI MM P By d EI ycw Pl MPMi )( 3 4 ) 3 2 2 1 ( 1 3 EI Pl llPlllPl EI 1 l P EI B EI l l 25教育教学 M 图图 2 1 EI ql qll EI B 3 2 24 1 2 1 ) 8 1 3 2 ( 1

21、 （ ） P M图图 2 8 1 ql B A q 1 例例:求图示梁求图示梁(EI=常数常数,跨长为跨长为l)B截面转角截面转角 B 解解: 26教育教学 例例 1. 已知已知 EI 为常数，求为常数，求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 。 CD 三、应用举例三、应用举例 A l q B h q 8/ 2 ql h 1 1 h MP i M )( 12 83 21 3 2 EI qhl hl ql EIEI y c CD w w 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 27教育教学 例例 2. 已知已知 EI 为常数，求铰为常数，求铰C两侧截面相对转角两侧截面

22、相对转角 。C 三、应用举例三、应用举例 解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 A l q B l C l q 4/ql 4/ql MP 11 0 l /1 1 i M )( 24 2 1 83 21 3 2 EI ql ql EIEI yc CD w 4/ 2 ql 4/ 2 ql 28教育教学 例例 3. 已知已知 EI 为常数，求为常数，求A点竖向位移点竖向位移 。 A 三、应用举例三、应用举例 )( 48 22 ) 22 1 8 2 3 2 23 2 4 2 2 1 23 2 42 1 ( 1 4 222 EI ql EI lql l lql l lql l

23、 EIEI yc CD w 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 A q l l l q 4/ql MP 4/ 2 ql 2/1 1 i M 2/ l 29教育教学 A l P B l P l )( 3 10 )24 3 2 2 1 ( 1 3 EI Pl lPlllPll EI EI yc ABY w 图示结构图示结构 EI 为常数，求为常数，求AB两点两点(1)相对竖向位相对竖向位 移移,(2)相对水平位移相对水平位移,(3)相对转角相对转角 。 i M MP 练习练习 11 Pl l 1 1 ll i M 0 EI yc ABX w 0 EI yc AB w

24、对称弯矩图对称弯矩图 反对称弯矩图反对称弯矩图 对称结构的对称弯矩图与对称结构的对称弯矩图与 其反对称弯矩图图乘其反对称弯矩图图乘,结果结果 为零为零. 11 1 1 i M 30教育教学 作变形草图作变形草图 P P Pl 11 1 1 绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意 反弯点的利用。如：反弯点的利用。如： 31教育教学 求求B点水平位移。点水平位移。 练习练习 解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 MP )( 8 5 4 1 2 3 2 2 11 3 EI Pl llPl EI llPl EIE

25、I yc B w Pl AB l l EI4 P EIEI 1 注意注意:各杆刚度各杆刚度 可能不同可能不同 i M l 32教育教学 已知已知 EI 为常数，求为常数，求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 ,并画出变形图。并画出变形图。 CD MP l 1 1 l i M )( 12 11 ) 83 2 2 1 3 2 2 1 ( 1 4 2 22 EI ql l ql llqlllqll EIEI y c CD w 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 A l q B l C D ql q 2 ql ql 33教育教学 已知已知 EI 为常数，求为常数，求B截面转角。截面转角。 MP 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 A B kN/m2 m4 kN6 m2 m3 1 12 4 Mi )( 3 8 ) 2 1 44 3 2 1 3 1 124 2 1 ( 1 EI EIEI y c B w 34教育教学 )( 3 11 2 3 ) 3 2 ( 2 1 3 2 2 1 1 3 EI Pl l lPl l llPlllPllPll EIEI yc B w 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图