医用高等数学：D1_7无穷小比较

1、目录 上页 下页 返回 结束 第一章 ,0时xxxxsin,3 2 都是无穷小, 第七节 引例引例 . x x x3 lim 2 0 ,0 2 0 sin lim x x x , x x x3 sin lim 0 , 3 1 但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 无穷小的比较 目录 上页 下页 返回 结束 ,0limC k 定义定义. ,0lim 若则称 是比 高阶高阶的无穷小, )(o ,lim 若 若 若 , 1lim 若 ,0limC 或 ,设是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称 是比 低阶低阶的无穷小; 则称 是 的同阶同阶无穷小; 则称 是关于 的 k 阶阶无穷小; 则

2、称 是 的等价等价无穷小, 记作 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如 , 当 )(o 0 x时 3 x 2 6xxsin; x xtan;x xarcsinx 2 0 cos1 lim x x x 2 2 0 sin2 lim x x 又如又如 ， 2 2) (4 x 2 1 故0 x时xcos1是关于 x 的二阶无穷小, xcos1 2 2 1 x 且 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明: 当0 x时, 11 n x . 1 x n 证证: 0 lim x 11 n x x n 1 0 lim x 11 n n x x n 1 1 1 n n x 2 1 n n x 1 ,0时

3、当 x11 n xx n 1 nn ba)(ba 1 ( n aba n 2 ) 1 n b 1 x分子 例例2. 证明: .1ex x 证证:, 1e x y令, )1ln(yx则,0,0yx时且 x e x x 1 lim 0 )1ln( lim 0y y y y y y 1 )1ln( 1 lim 0 eln 1 1 x x 1e xx )1ln( 目录 上页 下页 返回 结束 因此 即有等价关系: 说明说明: 上述证明过程也给出了等价关系: )1ln( 1 lim 1 0y y y 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.)(o 证证:1lim , 0)1lim( 0lim 即 ,

4、)(o 即)(o 例如例如,0 时x,sinxx,tanxx故 ,0 时x , )(sinxoxx)(tanxoxx 目录 上页 下页 返回 结束 利用等价无穷小量来计算极限 00 00 0 , ,() ( )( ) (1)lim( ) ( ),lim( ) ( ); ( )( ) (2)lim,lim ( )( ) o xxxx xxxx f g hU x f xg x f x h xAg x h xA h xh x BB f xg x 定理2：设函数在内有定义，且有 若则 若则 例如例如, x x x5sin 2tan lim 0 x x x5 2 lim 0 5 2 目录 上页 下页 返

5、回 结束 (3) 因式代替规则因式代替规则:极限存在或有且若)(,x 界, 则)(limx)(limx 例如, . sintan lim 3 0 x xx x 3 0 lim x xx x 原式 3 0 )cos1 (tan lim x xx x 2 1 3 2 2 1 0 lim x xx x 例例3. 求 0 1 sinlim 1 sinarcsinlim 00 x x x x xx 解解: 原式 目录 上页 下页 返回 结束 2 3 1 x 2 2 1 x 例例4. 求. 1cos 1)1 ( lim 3 1 2 0 x x x 解解:,0时当x 1)1 ( 3 1 2 x 2 3 1

6、x 1cosx 2 2 1 x 0 lim x 原式 3 2 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 0 lim ,0 , , )0(C ,1 ,0lim C k 1. 无穷小的比较 设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小 目录 上页 下页 返回 结束 思考题 函数连续的图形表现是什么， 函数在一点连续与函数在一点极限存在 的关系。 目录 上页 下页 返回 结束 2. 等价无穷小替换定理 ,0时当 x sin x tan x arcsin x,x,x,x cos1x, 2 2 1 x11 n x, 1 x n