医用高等数学：五函数的连续性

1、目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义 第二节 函数的连续性 第一章 重点是:初等函数的连续性; 目录 上页 下页 返回 结束 可见 , 函数)(xf在点 0 x 一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义 定义定义:)(xfy 在 0 x的某邻域内有定义 , , )()(lim 0 0 xfxf xx 则称函数 .)( 0 连续在xxf (1) )(xf在点 0 x 即)( 0 xf (2) 极限)(lim 0 xf xx (3). )()(lim 0 0 xfxf xx 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 ,存在 ; 0 0 lim co

2、scos xx xx 目录 上页 下页 返回 结束 对应函数的左右极限的定义，我们定义函数的左连续 和右连续(单侧连续) 0 00 lim( )(0)()( ) xx f xf xf xf x 如果，则称函数 0 00 lim( )(0)()( ) xx f xf xf xf x 如果，则称函数 0 x在 处左连续. 0 x在 处右连续. 00 ( )( )f xxf xx显然在 连续的充要条件是在 既是 左连续又是右连续。 目录 上页 下页 返回 结束 可见 , 函数)(xf在点 0 x 二、二、 间断点间断点 0 x (1) )(xf在点 0 x (2) 极限)(lim 0 xf xx (

3、3) 0 0 lim( )(). xx f xf x 不连续 不存在 ; 无定义 , 不连续 ， 而点则称函数 f (x) 在点称为f(x)的间断点间断点 . 0 x 目录 上页 下页 返回 结束 间断点类型：间断点类型： 第一类间断点第一类间断点（左右极限存在，但是不连续）（左右极限存在，但是不连续） 可去间断点，跳跃间断点可去间断点，跳跃间断点 第二类间断点第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）（左右极限至少有一个不存在） 无穷间断点，振动间断点。无穷间断点，振动间断点。 自习 目录 上页 下页 返回 结束 11 1( ) 2.51 2 ( )1; xx f x x x f x 例 讨论

4、函数在 处的连续性 1 lim( ) x f x 0 x y 1 lim(1) x x (1 0)(1)ff即 (1)f 2 ( )1f xx 称在处是左连续； 1 lim( ) x f x 1 lim(2.5) 2 x x 3(1)f (1 0)(1)ff即 1( )xf x称在处不是右连续； ( )1f xx 称在处不连续；1是跳跃间断点 解 目录 上页 下页 返回 结束 xx cot,tan在其定义域内连续 二、连续函数的运算法则二、连续函数的运算法则 定理定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 连续xx cos,sin 商(分母

5、不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如例如, 定理定理2. 连续函数的复合函数是连续的. )(lim 0 xf xx 0 (lim( ) xx fx 0 (lim ) xx fx 0 ()fx 3 limsin(3) x x 目录 上页 下页 返回 结束 三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数 在定义区间内 连续 例如例如, 2 1xy 的连续区间为 1, 1 (端点为单侧连续) 一元初等函数在其定义区间内连续，其图形是一条连续不 断的曲线； 目录 上页 下页 返回 结束 四 、

6、用连续性求极限 0 0 lim( )() xx f xf x 00 lim( )(lim ) xxxx f xfx 0 ( )f xx如果在 点连续，极限符号与函数符号是可以交换的； 0 ln(1) lim x x x 例：求 1 000 ln(1)1 limlimln(1)limln(1)x xxx x xx xx 解： 由对数函数的连续性； 1 0 lnlim(1) x x x ln1e ln(1)(0)xx x 目录 上页 下页 返回 结束 一一、最值定理、最值定理 二、介值定理二、介值定理 闭区间上连续函数的性质 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意: 若函数在开区间上连续, 结论不

7、一定成立 . 一一、最值定理、最值定理 定理定理1-3.1-3.在闭区间上连续的函数 即: 设, ,)(baCxf 1 2 则 , , 21 ba 使 )(min)( 1 xff bxa )(max)( 2 xff bxa 值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 (证明略) 点 , x y ab )(xfy O 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,)1,0(,xxy 无最大值和最小值 21,3 1,1 10,1 )( xx x xx xf 2 2 也无最大值和最小值 又如又如, x y 1 1 O x y O1 1 目录 上页 下页 返回 结束 二、介值定理二、介值定理 定

8、理定理1-4. ( 零点定理 ) , ,)(baCxf 至少有一点 , ),(ba 且 使.0)(f 0)()(bfaf ( 证明略 ) 推论推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. x y a b )(xfy O 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论. ( 介值定理 )设 , ,)(baCxf且,)(Aaf ,)(BABbf则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点, ),(ba 证证: 作辅助函数 Cxfx)()( 则,)(baCx 且 )()(ba)(CBCA0 故由零点定理知, 至少有一点, ),(ba使 ,0)( 即.)(Cf 推论推论: 在闭区间上的连续函数 C 使 .)(Cf 至少有 必取得介于最小值与 最大值之间的任何值 . x A b y a )(xfy B O 目录 上页 下页 返回 结束 例例. 证明方程 014 23 xx 一个根 . 证证: 显然, 1 ,014)( 23 Cxxxf 又 ,01)0(f 02) 1 (f 故据零点定理, 至少存在一点, ) 1 ,0( 使,0)(f即 014 23 在区间)1 ,0(内至少有 内容小结 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 )()(lim 0 0 x