圆辅助线的添法

1、圆辅助线的添法圆是初中重点内容，属中考必考内容，中考中相关圆的题，绝大部分需添辅助线解之， 现就圆辅助线的添法作一归纳，以期对同学们有所协助.例1(2006.济宁市)如图 1,在厶ABC中，/ C=90。，以BC上一点 0为圆心，以 0B为半径的圆交 AB于点M，交BC于点N.(1) 求证：BA BM=BC BN ;(2) 如果CM是O O的切线，N为OC的中点，当 AC=3时，求AB的值.图1(1) 证明：联结 MN，则/ BMN=90 = / ACB ACB NMBBC AB-bMbN AB BM=BC BN(2) 解：联结 OM，则/ OMC=90 N为OC中点 MN=ON=OM，/ M

2、ON=60 1/ OM=OB，/ B= 2 / MON=30 / ACB=90 , AB=2AC=2 X 3=6二、相关弦的问题，常作其弦心距例2(2006.南京市)如图2,矩形ABCD与圆心在AB上的O O交于点G、B、F、E, GB=8cm ,CB图2AG=1cm , DE=2cm，贝V EF=cm.解：作 OH丄EF于H，贝U EF=2HE , 而 HE=HD-DE=OA-DE=AG+GO-DE=1+4-2=3 EF=2 X 3=6,三、直线与圆相切的问题，常联结过切点的半径，得到垂直关系；或选弦切角、圆周角，找出等角关系. 例3(2006湖北黄冈)如图 3, AB、AC分别是O O的直

3、径和弦，点 D为劣弧AC上一点，弦ED分别 交O O于点E，交AB于点H，交AC于点F,过点C的切线交ED的延长线于P.(1) 若 PC=PF,求证：AB 丄 ED图3(2) 点D在劣弧A C的什么位置时，才能使 AD 2=DE 证明：(1)联结OC/ PC=PF，/ 4= / 5/ 4= / 3，/ 3= / 5/ OA=OC，/ 1 = / 2 PC切O O于点C OC 丄 PC,./ 1 + Z 5=90 / 2+ / 3=90 / AHF=90 ,即卩 AB 丄 DE(2)当D在劣弧AC的中点时，才能使 AD2=DE DF联结 AB AD=CD ,/ DAF= / AED/ ADF=

4、/ ADEADF s EDAADDF 口仃2 DE Ad，即 AD2=de DF四、两圆相切，常作过切点的公切线或连心线，充分利用弦切角定理，切割线定理和连心线必过切点等定理.例4（2005山西省太原市）如图 4,0 02与半圆Oi内切于点C,与半圆的直径 AB切于点D，若AB=6 ,解：联结O1O2,则Oi、O2、C在一直线上，联 O2D，则O2D丄AB在 Rt O2DO1 中，OiO2=3-仁2 , O2D=1，/ 020iD=30 OiC=OiBABC=75 五、有两圆外公切线，常过小圆圆心作公切线的平行线选直角三角形和矩形.例5如图5，两圆互相外切，它们的外公切线与内公切线之间的较小夹

5、角为60,求两圆半径的比.解：过Oi作OiE丄O2B交O2B于E,设O Oi半径为 Ri, O O2半径为R2,则O2E=R2-Ri,而 OiO2=Ri+R2:丄 ACP=60 t/ AOiO2=i20 EOiO2=30 / AOiE=90 sin30 :_ O2Ei=OiO2 = 2，一一 R2 R即R R2iRii=2 T R2=3RiT R2 = 3六、两圆相交，常联公共弦或连心线例6（2005.山西省）已知O Oi和O O2相交于A、B两点，过A点作O Oi的切线交O O2于点E,连结EB并延长交O Oi于点C,直线CA交O O2于点D .（3）如图6，当点D与点A不重合时，试猜想线段

6、EA=ED是否成立？证明你的结论.(4) 当点D与点A重合时，直线AC与有怎样的位置关系？此时若 BC=2 ,CE=8 ,求O Oi的直径.(1) EA=ED 成立证明：联结 AB，在EA延长线上取点F, AE是O O的切线，切点为 A/ FAC= / ABC/ FAC= / DAEABC= / DAE而/ ABC是O O2内接四边形 ABED的外角/ ABC= / D/ DAE= / D EA=ED(2)当点D与点A重合时，直线 CA与O O2只有一个公共点,所以直线CA与O 02相切解：如图7由弦切角定理知：/ 1= / 3,/ 2= / 4而/ 1 = / 21/ 3= / 4= 2 X