52.过焦点的切点弦

1、 高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！高考数学母题 母题(17-52):过焦点的切点弦(470) 1203 过焦点的切点弦 母题(17-52):(2013年大纲高考试题)已知抛物线c:y2=8x与点m(-2,2),过c的焦点,且斜率为k的直线与c交于a、b两点,若=0,则k=( ) (a) (b) (c) (d)2解析:设a(x1,y1),b(x2,y2),由c的焦点f(2,0)直线ab:y=k(x-2);由k2x2-4(k2+2)x+4k2=0x1+x2=,x1x2=4y1+y2=k(x1+x2)-4k=,y1y2=k2(x

2、1-2)(x2-2)=-16;由=0(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0k2-4k+4=0k=2.故选(d).点评:我们能否除去问题的表象,发现问题的本质,寻找解决问题的关键;过抛物线c外一点q(x0,y0)作抛物线c:y2=2px的两条切线qa、qb,a、b为切点,则点q在抛物线c的准线上切点弦ab过抛物线c的焦点faqb=900qfab切点弦ab的斜率k=qm对称轴(m为ab的中点);类比可得:若椭圆(或双曲线)c的焦点f对应的准线为l,f到直线l的距离=p,过c外一点p(x0,y0)作c的两条切线pa、pb,a、b为切点,则点p在直线l上切点弦ab过c的焦点fapb=9

3、00pfab切点弦ab的斜率k=qm长(实)轴(m为ab的中点). 子题(1):(原创题)已知抛物线c:y2=4x与点p(-1,t),过c的焦点f,且斜率为k的直线与c交于a、b两点,若=0,则下列结论正确的是 (写出所有正确结论的编号).t0;kt=1;pfab;2=;直线pa与抛物线c只有一个交点;解析:设a(a2,2a),b(b2,2b),由抛物线c的焦点f(1,0)=(1-a2,-2a),=(b2-1,2b),由(a2-1):(b2-1)=a:bab=-1;由=0(a2+1)(b2+1)+(2a-t)(2b-t)=0(ab)2+(a2+b2)+1+4ab-2(a+b)t+t2=0(a+

4、b)2-2(a+b)t+t2=0t=a+b;而k=t0,kt=2kkpf=k(-)=-1pfab,在rtabp中,由射影定理知,|af|2=|af|bf|2=;由直线pa:y-t=(x+1)y-(a+b)=(x+1)y-(a-)=(x+1)ay=x+a2,代入y2=4x得:y2-4ay+4a2=0y=2ax=a2直线pa与抛物线c只有一个交点a.综上.故选. 注:过抛物线c的准线上一点p作抛物线c的两条切线pa、pb,a、b为切点,则abp是以点p为直角顶点的直角三角形,且pf为斜边ab上的高(f是抛物线c的焦点),从直角abp出发可构造许多问题.在椭圆、双曲线中,也存在相似的直角abp,直角

5、abp将是命制高考试题的一个基本图、生成点. 子题(2):(2004年全国高考试题)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点q,若过点q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( ) (a)-, (b)-2,2 (c)-1,1 (d)-4,4解析:过点q(-2,0)作抛物线c的两条切线pa、pb,a、b为切点,则切点弦ab:0y=4(x-2)x=2恰是抛物线c的通径a(2,4),b(2,-4)kqa=1,kqb=-1直线l的斜率k-1,1.故选(c). 注:点m是圆锥曲线c与其对称轴的交点,过点m作曲线c的两条切线,切点分别为a,b,则切点弦ab是曲线c的通径,且切线ma,mb的斜率k

6、ma,kmb满足:|kma|=|kmb|=e(e是曲线c的离心率). 1204 母题(17-52):过焦点的切点弦(470) 子题(3):(2013年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设f为椭圆c:+=1的右焦点,过椭圆c外的一点p作椭圆c的切线,切点为m,若pfm=900,则点p的轨迹方程为 .解析:由pfm=900点p的轨迹是椭圆c的右准线:x=4. 注:圆锥曲线过焦点的切点弦有许多绝妙性质,这些绝妙的性质必然会引起命题专家的高度关注. 子题系列:1.(2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)经过点e(-,0)的直线l交抛物线c:y2=2px(p0)于a、b两点,l的倾斜角为,

7、则的取值范围是 ;f为抛物线的焦点,abf的面积为 (用p,表示).2.(2014年辽宁高考试题)已知点a(-2,3)在抛物线c:y2=2px的准线上,过点a的直线与c在第一象限相切于点b,记c的焦点为f,则直线bf的斜率为( ) (a) (b) (c) (d)3.(2005年湖南高考试题)己知椭圆c:=1(ab0)的离心率为e,则直线l:y=ex+a与椭圆c的个数是( )(a)0 (b)1 (c)2 (d)0,或1,或24.(2006年全国ii高考试题)己知抛物线x2=4y的焦点为f,a、b是抛物线上的动点,且=(0).过a、b两点分别作抛物线的切线,设其交点为m. ()证明:为定值;()设

8、abm的面积为s,写出s=f()的表达式,并求s的最大值.5.(2008年全国高中数学联赛山东预赛试题)f(1,0)为一定点,p(o,b)是y轴上的一动点,点m(a,0)满足:=0.若点n满足2+=0,求:()点n的轨迹曲线c的方程; ()曲线c的任何两条相互垂直的切线的交点轨迹.6.(2006年全国高中数学联赛河北预赛试题)设点p(x0,y0)(y00)是椭圆c:+=1(ab0)左准线l上一动点,过点p作c的切线,设切点分别为a,b,直线ab交左准线l与q点.()证明:直线ab与x轴交于定点f,且pfab; ()若椭圆左准线方程为x=-2,椭圆的离心率e=,过点q再作c的两条切线,切点为m,

9、n,求椭圆内内接四边形ambn面积的最小值. 子题详解:1.解:(0,)(,),sabf=. 2.解:由f(2,0)kaf=-;又由bfafkbf=.故选(d).3.解:由直线l是椭圆c在通径端点处的切线.故选(b).4.解:()设点a(x1,y1),b(x2,y2),过a、b两点分别作抛物线的切线,则交点m在其准线y=-1上,故可设点m(t,-1),则直线ab:tx=2(y-1),代入y2=4x得:ty2-8y+8=0=-t(x2-x1)+2(y2-y1)=-t(y22-y12)+2(y2-y1)=0;()略.5.解:()轨迹曲线c的方程y2=4x;()设两切点分别为a(a2,2a),b(b2,2b),则曲线c在点a、b处的切线方程分别为ay=x+a2,by=x+b2,由两切线互相垂直ab=-1;又aby=bx+a2b=ax+ab2(a-b)x=ab(a-b)x=-1交点轨迹:x=-1.6.解:()设p(-,t)切点弦ab:-x+y=1ab与x轴交于定点f(-c,0),且k