一元二次方程各节知识点及典型例题

1、第二章一元二次方程第一节一元二次方程第二节一元二次方程的解法第三节一元二次方程的应用第四节一元二次方程根与系数的关系五大知识点：1、一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的解的概念及应用2、一元二次方程的四种解法（因式分解法、开平方法和配方法、配方法的拓展运用、公式法）3、根的判别式4、一元二次方程的应用（销售问题和增长率问题、面积问题和动态问题）5、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【课本相关知识点】1、 一元二次方程：只含有 未知数，并且未和数的 是2,这样的整式方程叫做一元二次方程。2、 能使一元二次方程 的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）3、 一元二次方程的

2、一般形式： 任何一个一元二次方程经过化简、整理都可以转化为 的形式，这个形式叫做一元二次方程的一般形式。其中ax2是，a是，bx是，b是，c是常数项【典型例题】【题型一】应用一元二次方程的定义，求字母的值例1、当a为何值时，关于 x的方程（a-1） x|a|+1+2x-7=0是一元二次方程？【题型二】一元二次方程解的应用例1、关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（）A . -1 B . 0 C . -1 D . -1 或 1例2、已知多项式ax2-bx+c，当x=1时，它的值是0 ;当x=-2时，它的值是1（1）试求a+b的值（2） 直接写出关于x

3、的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根【题型三】一元二次方程拓展开放型题例1、已知关于x的方程（k2-1） x2- （k+1） x-2=0（1 ）当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根（2）当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。巩固练习1、 下列方程中，是一元二次方程的为（）2A. x 2= -1B. 2x （x-1） +1= 2x2 C. x2+3x=D. ax2+bx+c-0x2、已知关于x的方程mx2+（m-1）x-1=2x 2-x，当m取什么值时，这个方程是一元二次方程?3、若关于x的一元二次方程(a-2) x2+

4、 -、ax=3是一元二次方程，则a的取值范围是 4、把方程(x-1)2-3x (x-2) =2 (x+2) +1化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项35、若a是方程x2-3x+1=0的一个根，求2a2-5a-2+h的值6、 若关于x的方程ax2+bx+c=0 (a* 0)中，abc满足a+b+c=0和a-b+c=0，则方程的根是()A. 1 , 0 B. -1 , 0 C. 1, -1 D. 1 , 2 a2 b27、 已知x=1是一元二次方程 ax2+bx-40=0的一个解，且 a* b，求的值2a 2b【课本相关知识点】(一)1、 利用因式分解的方法实现 “降次”把解一元

5、二次方程转化为解 一元一次方程的方法，叫做因式分解法。2、 因式分解法的理论依据是：若ab=0,则或3、利用因式分解法解一元二次方程的步骤是：(1 )将方程的化为0;(2 )把方程的另一边分解成 的乘积(3) 令每个因式 ，得到两个一元一次方程；(4) 分别解这两个一元一次方程，即可得到原一元二次方程的解。【在温州中考题中，若题中要求你用因式分解法解一元二次方程，只需要掌握两种分解因式的方法：提公因式法分解因式；用完全平方公式或平方差公式来分解因式】(二)4、 开平方法：一般地，对于形如x2=a (a 0)的方程，根据 的定义，解得X1= ,x2=, 这种解一元二次方程的方法叫做开平方法。5、

6、 形如x2=a (a0)或(x-a)2=b (b0)的一元二次方程，都可以用直接开平方法求得方程的解 用直接开平方法解方程 (x-a)2=b (b 0)得X1=, X2=(三)6、 配方法：把一元二次方程的左边配成一个 式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解，这种解 一元二次方程的方法叫做配方法。7、利用配方法解一元二次方程的步骤：(1) 将方程化为一般形式(2) 方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1(3) 移项：把常数项移到方程右边，使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项(4) 配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边配成完全平方式(5) 求解：若方程的右边是非

7、负数，就用开平方法求解；如果右边是个负数，就可以直接拉出原方程无实数解(四)8、 一元二次方程的求根公式：一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a * O),如果b-4ac 0，那么方程的两个根是 ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式。9、 公式法：利用求根公式，我们可以由一元二次方程ax2+bx+c=0 (a * O)的值，直接求得方程的 2 / 14根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。10、利用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1) 把方程化成(2) 确定的值(可以在大脑中确定，也可以在做题时写在题目中)(3) 求出的值(4) 若b2-4ac v0,则方程无实数解；若，则将a

8、,b,c和b2-4ac代入公式x= 4aC，求2a出方程和解。(五)11、 在一元二次方程的求根公式x= b 4aC中，把叫做一元二次方程的判别式。2a12、b2-4ac的值与一元二次方程的根的关系：若b-4ac 0,则一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a* O)有两个 实数解(或实数根)若b2-4ac=0，则一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a工O)有两个 实数解(或实数根)若b-4ac v0,则一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a* O) 实数解(或实数根)【典型例题】1、(2004年浙江温州 5分)方程(x 1)(x+2)(x 3)=0的根是。2、如果A2-B2=0，则下列结

9、论中正确的是()A. A=B B. A=-B C. A=B=0 D. A=B 或 A=-B3、一元二次方程 x2-4x+4=0的根是4、 当a=，代数式(a-2)2与4-2a的值相等5、用因式分解法解方程2(1) 16x10x0(2) 2x(2x 5) (x 1)(2x 5) 6、(拓展)已知(a2+b2)(a 2+b2+1)= a 2+b2+1，求 a2+b2 的值1、 下列方程能用直接开平方法求解的是()2 2 1 2 2A. 5x 2+2=0B. 4x2-2x-仁0C.(x-2)2=4D. 3x2+4=222、 若关于x的一元二次方程5x2-k=0有实数根，则k的取值范围是 2 2 2

10、2 23、已知(a +b-1) =9,贝U a +b=_ 14、 已知一兀二次方程 ax2+bx+c=0的一个根是1,且a, b满足等式b=a 1 1 a -4，求方程一 y2-2c=0的根5、用开平方法解下列方程2(1) 9(x 1)2252(2) 6x 181(3) (x-1)2=(3x-4)1、 ( 1) x2-2/3x+=(x-) 2(2) 3x2+12x+=3(x+)22、 若x2+ax+9是关于x的完全平方式，则常数a的值是(3) 1 x2-5x+=-(x-)22 23、多项式4x2+1加上一个单项式后，成为一个整式的完全平方，那么加上的这个单项式可以是4、 一元二次方程 x2-p

11、x+1=0配方后为(x-q)2=15，那么一元二次方程 x2-px-仁0配方后为()A. (x-4)2=17B. (x+4) 2=15C. (x+4)2=17 D. (x-4) 2=17 或(x+4)2=175、 若x为任意实数，则x2+4x+7的最小值为 当x=时，代数式3x2-2x+1有最 (填大或小)值为 6、 用配方法证明：关于x的方程(m2-12m+37)x 2+3mx+1=0，无论m为何值，此方程都是一元二次方程。7、 不论x、y是什么实数，代数式 x2+y2+2x-4y+7的值()A.总不小于2 B.总不小于7 C.可以为任何实数D.可能为负数8、a，b, c是厶 ABC 的三边

12、长，且满足 a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，则 ABC 是( )A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形9、 若实数 a，b，c 满足 a2+6b= -17，b2+8c= -23,，c2+2a=14，求 a+b+c 的值10、已知 A=a+2 , B=a2-a+5, C=a2+5a-19，其中 a2(1)求证：B-A 0( 2)比较A与C的大小，并说明理由(1) x2 3x 22(2) 3x 4x 102(5) (x 1)2(x 1) 811、用配方法解方程1、（ 2013年浙江温州5分） 方程x （2013?珠海）已知一元二次方程：x2+2x+3=0,x2-2x

13、- 3=0 下列说法正确的是（）A 都有实数解B 无实数解，有实数解C 有实数解，无实数解 D 都无实数解 （2013?咸宁）关于x的一元二次方程（a- 1） x2- 2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（）A 2B. 1 C 0 D - 13、（2013兰州）若 II,且一元二次方程 kx2+ax+b=0有两个实数根，则 k的取值范围是 2x 10的根是2、 若方程 2x2+mx+仁0，且b2-4ac的值是16,则 m=3、已知方程2x2+4x+c=0,且b2-4ac=0，则方程的根为 4、 已知关于x的一元二次方程（ax+1）（x-a）=a-2的各项系数之和等于3,求方程的解。5、用求

14、根公式法解方程22(2) 2x 1 3x已知关于x的一元二次方程（1-2k）x2-2 kx-1=0有实数根，求k的取值范围。4、已知关于x的一元二次方程 x2 2x 2k40有两个不相等的实数根（1）2x 5x 30（1 ）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值。、 15、已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-）=02（1）求证：这个方程总有两个实数根（2） 若等腰 ABC的一边长a=4,另两边长b，c恰好是这个方程的两个实数根，求ABC的周长。【课本相关知识点】（一）1、 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：（1）审清题意：明确问题中的已知量、未知量及量

15、与量之间的关系（2） 设未知数：把问题中的未知量用字母表示出来。一般有直接设未知数和间接设未知数（3）列方程：把题目中的相等关系用含未知数的等式表示，得到一元二次方程（4）解方程：把所列的一元二次方程的未知数求出来（5）检验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。2、 解决销售问题 的依据是：销售利润 =（售价-进价）X销量。其一般规律是：售价下降，则销量上升；反之, 售价上升，则销量下降3、（ 1）平均增长率公式：其中a是基础量，b是增长后的量，n是增长的次数，x是平均增长率（2）平均减少率公式：其中a是基础量，b是减少后的量，n是减少的次数，x是平均减少率 补充：4、传染问题：（几何级数）传

16、染源：1个【每一轮1个可传染给x个】【前后轮患者数的比例为1： （1+x）】患者： 第一轮后：共（1+x）个第二轮后：共（1+x）?（1+x）,即（1+x） 2个第三轮后：共（1+x）?（1+x）?（ 1+x）,即（1+x） 3个第n轮后：共有（1+x） n个注意：【上面例举的是传染源为“ 1”的情况得到的结论。若传染源为a,则第n轮后患者共为：a（1+x） n个】补充：5、赛制循环问题：1单循环：设参加的球队为X,则全部比赛共x （x-1）场；2双循环：设参加的球队为X,则全部比赛共 x （x-1）场；注意：【单循环比双循环少了一半】补充：6、数字问题解数字问题的关键是正确而巧妙地设出未知数

17、，一般采用间接设元法多位数的表示方法：两位数 =十位上的数字X 10+个位数字；三位数=百位上的数字X 100+十位上的数字X 10+个位数字，依次类推补充：7、银行利率应用题（含利滚利问题）：与前面的平均增长率问题类似（年利率为a%）存一年的本息和:本金X（1+年利率），即本金X(1+ a%)存两年的本息和:本金X（1+年利率）2,即本金X(1+ a%)2存三年的本息和:本金X（1+年利率）3,即本金X(1+ a%)3存n年的本息和:本金X（1+年利率）n,即本金X(1+ a%)n（二）1、列一元二次方程解决面积问题时，其解题的关键是掌握三角形、长方形、正方形、梯形、圆等各种几何图形 的面积

18、公式2、 动点问题：列一元二次方程解决 动态几何问题 时，首先应根据题意正确地 画出图形，结合图形分析 运动过程， 再设出运动时间，用未知数表示线段的长度，找出等量关系，建立一元二次方程模型求解，同时切记要检验解 的合理性。3、等积变形（等积变形一般都是涉及常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重 量不变，等等）4、梯子下滑问题（利用勾股定理）5、航海问题【典型例题】【例1】、某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量 的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时

19、，才能使每天利润为 640元？解：设每件售价x元，则每件利润为（x-8 ）元，每天销售量则为（200 乞0 10 ）件0.5由题意，得：200 乞 10 x 86400.5解这个方程得，X1=12，x2=16。经检验，都是方程的解，且符合题意。答：当每件售价为12元或16元时，每天利润为 640元。练习1、神州行旅行社为吸引市民组团去大纵湖风景区旅游，推出如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元；如果人数超过 25人，每增加1人，人均旅游费用降低 2元，但人均旅游费用不得低于70元，某单位组织员工去大纵湖风景区旅游，共支付给神州旅行社旅游费用2700元，请问该单位这次共有多少

20、员工去旅游了。练习2、某越剧团准备在市大剧院演出 ，该剧院能容纳1200人，经调研，如果票价定为30元，那么门票可以全部 售完，门票价格每增加1元，售出的门票数就减少 30张，如果想获得36750元的门票收入，票价应定为多少元?【例2】、某商厦今年一月份销售额为 60万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额下降10%，后经加强改进激利机制，激发了全体员工的积极性，月销售额大幅度上升，到四月份销售额猛增到96万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？（精确到0.1%）解：设三、四月份平均每月的增长率为X,依题意，得 60(1 10%)(1+x) 2=9617解得：X1=，X2=(舍去)33

21、2 16整理得：1 x9答：平均每月的增长率为33.3% .练习1、某商店从厂家以每件 21元的价格购进一批商品，该商店可自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出（350 10a）件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需卖出多少件商品，每件售价应为多少元？分析：本题中涉及到的数量关系列表如下：进价售价单件利润售出数量利润21aa 21350 10a400【例3】、中国内地部分养鸡场突发禽流感疫情，某养鸡场中、一只带病毒的小鸡经过两天的传染后、鸡场共有169只小鸡遭感染患病，在每一天的传染中平均一只鸡传染了几只小鸡？【例4】、某人将2000元按一年定期存入银行。

22、到期后取出1000元，并将剩下的1000元及利息再按一年定期存入银行，到期后取得本息共计1091.8元。求银行一年定期储蓄的年利率是多少？【例5】、象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分,如果平局，两个选手各记1分。有四个同学统计了全部选手的得分总数，分别是1979, 1980, 1984 ,1985。经核实，有一位同学统计无误，试计算这次比赛共有多少个选手参加？解：设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n 1)个选手比赛一局，共计 n(n 1)/2局，由于每局共计 2分，所以全部选手得分总共为n(n 1)分。显然(n 1)与n为相邻的自然数，由于，相邻两个

23、自然数乘积的末位数字只能是0, 2, 6。故总分不可能是 1979, 1984, 1985，因此总分只能是 1980。则有：n(n 1) = 1980,整理得：n2n 1980 = 0解之得n1 = 45,圧=44 (舍去).答：参加比赛的选手共有45人. (2013?贵阳)2010年底某市汽 车拥有量为100万辆，而截止到2012年底，该市的汽车拥有量已达到 144 万辆.(1 )求2010年底至2012年底该市汽车拥有量的年平均增长率；(KEY : 20%)(2)该市交通部门为控制汽车拥有量的增长速度，要求到2013年底全市汽车拥有量不超过155.52万辆，预计2013年报废的汽车数量是

24、2012年底汽车拥有量的10%，求2012年底至2013年底该市汽车拥有量的年增长率要 控制在什么范围才能达到要求.(KEY :不超过18%)( 2013泰安)某商店购进 600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200 个,第二周若按每个10元的价格销售仍可售出 200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查， 单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念 品清仓处理，以每个 4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？( KEY : 9元)【例1

25、】、(2013?昆明)如图，在长为 100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2,则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为()00米A . 100 80 - 100x- 80x=7644B . (100 - x) ( 80 - x) +x2=7644C. ( 100 - x) (80 - x) =7644D. 100x+80x=356练习1、如图，在长70m,宽40m的长方形花园中，计划修建宽度相等的观赏路(图中阴影部分所示)，要使观赏1路的面积占总面积的，则路宽x应满足的方程是()8A. (40-x ) ( 70-

26、x ) =350 B. ( 40-2x ) ( 70-3x ) =2450(40-x ) ( 70-x ) =245010 / 14练习2、用长为100cm的金属丝制成一个矩形框子，框子的面积不可能是()A. 325cm 2 B. 500cm2 C. 625cm2D.800cm2练习3、有一个面积为160dm2的长方形，将它的一边剪短10dm，另一边剪短4dm，恰好变成一个正方形，则这个正方形的边长为 练习4、李明的爸爸从市场上买回来一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后,剩下的部分刚好能围成一个容积为15m的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多2m,现

27、已知购买这种铁皮每平方米需 30元，问李明爸爸购回这张矩形铁皮共花了多少钱？(KEY:1050元)向点C以1cm/s【例2】、如图所示，在 ABC中，/ C= 90 AC= 6cm, BC = 8cm,点P从点A出发沿边AC 的速度移动，点 Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.(1) 如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使 PCQ的面积为8平方厘米？(2) 点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ的面积等于 若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由练习 1、如图，直角梯形 ABCD中, AD/ BC, / C=90, BC=16 DC=12 AD=21,动点 P从点 D出

28、发， 沿射线DA以每秒2个单位长度的速度运动；动点Q从C点出发，在线段 CB上以每秒1个单位长度的速度向点 B运动，点P, Q分别从D, C同时出发，当点 Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为 t秒。（1 ）设厶BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？【例3】、某军舰以每小时 20节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以每小时30节的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标。如图，当该军舰行至A处时，电子侦察船正位于 A处正南方向的B处，且AB= 90海里.如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向

29、继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由。【课本相关知识点】1、 如果XI、X2是一元二次方程 ax2+bx+c=0的两个根，则 X1+X2=， X1 X2= （韦达定理）2、使用根与系数的关系的前提条件是有两根，所以必须满足【温馨提醒】使用韦达定理时，要先把方程变为一般式【典型例题】【例1】、不解方程，写出方程 x（x-4）=2-8x的两根X1、X2的和与积：X 1+X2=，X1 X2=练习1、已知实数a，b分别满足a2-6a+4=0，b2-6b+4=0，且a工b，贝U a+b的值是练习2、设下列方程的两根为X1、X2，不解方程，直接计算

30、：（1 ） X2-3x-5=0，求 X12 X2+ X1 X22 的值（2） x2+2x-1=0，求 X12 +X22 的值练习3、已知m, n是关于x的一元二次方程x2_3x+a=0的两个解，若（m-1）（n-1）=-6，则a的值为练习4、解一元二次方程 x2+bx+c=0时，甲看错了方程的常数项，因而得出的两根为8和2;乙看错了方程的一次项系数，因而得到的两根为-9和-1，那么正确的方程为 练习5、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是练习6、若关于x的一兀二次方程 x2+2x+k+仁0的实数根是xi、X2（1 ）求k的取值范围

31、（2）如果x 1+X2-X1 X2V -1，且k为整数，求k的值2k练习7、关于x的方程kx+（k+2）x+ =0有两个不相等的实数根，是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数4和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。单元检测1、选择题下列方程中，关于 xA3 x1 22x1 B2、已知3是关于x的方程兀12x4 2x3.次方程是（12a(A)11(B) 12(C)133、关于x的一元二次方程(A) k V 0(B)0 C、ax20的一个解,(D)k 0有实数根，则（bx c 0 D 、142a的值是（x2 2x x21(D) k w 04、已知x、y是实数，若xy 0 ,则下列说法

32、正确的是（A） x 一定是0(B)y 一定是0(C) x0 或(D)5、若2x 1 与 2x1互为倒数，则实数x为（ ）(A)(B) 土 1V2(C) 土丄2(D) 土若方程ax2bxc 0 (a 0)中，a, b,c满足 a bb c 0，则方程的根是（）（A）（B） -1 , 0用配方法解关于x的方程24P2 4q4A、（x 中）2(C)+ px + q = 0、（x 子）1, -1时,2p(D)无法确定此方程可变形为4q4q P244D (x #)211 / 14X 5x 68、使分式x一5x 6的值等于零的(A) 6(B) -1 或 6(C) -1(D) -69、方程x(x1)(x2)

33、0的解是(A) 1 , 2(B)1 , 2( C)、0, 1, 2(D) 0, 1, 210、某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为()(A) x(x + 1) = 1035(C) x(x 1) = 1035二、填空题(B) x(x 1) = 1035 X 2(D) 2x(x + 1) = 103511、把一元二次方程(x 3)24化为一般形式为:，二次项为： ，一次项系数为： 16 / 14常数项为：12、 已知方程x2+kx+3=0的一个根是-1 ,贝U k=_另一根为13、 一元二次方程(x 1)(x

34、2) = 0 的两个根为 X1, X2,且 X1 X2,则 X1 2X2 =14、 直角三角形的两直角边是3 : 4,而斜边的长是20 cm,那么这个三角形的面积是 15、 一个长100m宽60m的游泳池扩建成一个周长为600 m的大型水上游乐场，把游泳池的长增加x m,那么x等于多少时，水上游乐场的面积为 20000怦？列出方程 ,能否求出x的值 (能或不能)。16、方程9x24与3x2 a的解相同，贝U a=217、 当t时，关于X的方程X 3x t 0可用公式法求解。22a18、若实数a,b满足a ab b 0，则一 =。b220、已知2x19、若(a b)(a b 2)8，则 a b=。3x 1的值是10,则代数式4x2 6x 1的值是三、解答题21、解方程(1)(x 2) (x 5) = 2(2) x23x 4 02(3) (x 4)5(x 4)22、已知关于x的方程(a2 a)x2 ax a2 1 0(1 )