九章算术,几何原本

1、九章算术 九章算术应是流传到现在的，中国最早的一部数学专门著作，因为汉 代的周髀算经虽是最早的数学著作，但同时也是天文学的作品，所以称不 上是“专门”。自周代和秦代以来，中国古代的数学开始形成，经汉代的进一步 发展，已成为了一个体系，而九章算术便是标志着这一个体系的形成。它 除了是总结了几个世纪的先哲圣贤的心血结晶外，还影响了后来中国的数学发 展。 九章算术的内容丰富，而且大多和实际生活密切联系。这些密切联系 实际生活的题材，反映出中国古代先贤的智能，同时也显出古代中国数学的研 究多以实用性为主。 事实上，九章算术是用问题集的形式编写，全书分 “九章”，共 246 个 问题。通常在举出了一个或

2、几个问题之后，总是列出求解这个问题或这些问题 的一般方法，这是九章算术所采用的叙述方式。从这一种叙述方式可以看 出它主要使用了归纳的方法。而这些问题，一方面可以作为读者理解后面的一 般解法的例题，另一方面也可以作为把一般解法用来解决各种实际问题的例 题。这种问题集的形式，对后来中国古代数学著作的影响很大，大多数的中国 古代数学著作也是用这种形式写成的。 但因为九章算术中只是列出了例子及一般的算法，却很少有任何解释 和说明，所以有很多人曾为九章算术作注，以补充这一点。而有些注解给 九章算术的算法提出了简括的证明，证明了些算法的正确性。同时，这些 为九章算术作注的人，也透过这个途径来展开自己的研究

3、工作，当中较有 名的便是刘徽、李淳风和祖冲之等。 这部九章算术如此多采多姿，究竟是谁的著作呢？这个问题的答案是 不可肯定的。 从刘徽为九章算术作注时的序中可见，在那时候经已说不清楚九章 算术是由哪个时代，以及谁人编纂了，但同时由序言所知九章算术是在 周秦以来中国古代数学的基础上逐渐发展、积累，又经过张苍和耿寿昌等人的 增删修补而最后成书的。 九章算术曾流传到朝鲜和日本，对当地的古代数学的发展有很大的影 响。后来，这部中国古代数学的重要著作受到了世界各国科学界的重视。九 章算术的成就可分成算术、几何和代数三方面，而这些成就不仅在中国数学 史上是辉煌灿烂的一页；即使放在世界数学史中，这些成就也是十

4、分杰出的。 九章算术的成书年代名家各说不一，约在公元 50 至 100 年间，书中系 统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了 246 个数学的应用问题和 各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。 第一章， “方田 ”：平面图形面积的量法及算法，如矩形、三角形、圆、弧 形、环形等的田地的求积公式，及分数算法，包括加减乘除法、约分将分 母，分子用辗转相除法求出它的最大公约数再作约分丨、分数大小的比较及求 几个分数的算术平均数等。 第二章， “粟米”：各种粮食交换之间的计算，讨论比例算法。 第三章， “衰分”：比例分配问题。 第四章， “少广”：多位数开平方，开立方

5、的法则。 第五章， “商功”：立体形体积的计算。 第六章， “均输”：处理行程和合理解决征税的问题，尤其是与人民从本地 运送谷物到京城交税所需的时间有关的问题，还有一些与按人口征税有关的问 题，其中还夹杂着衰分、比例及各种杂题。 第七章， “盈不足 ”：算术中的盈亏问题的算法，实际上就是现在的线性插 值法，它还有许多名称，如试位法、夹叉求零点、双假设法等。 第八章， “方程”：有关一次方程组的内容，最后还有不定方程。将方程组 的系数和常数项用算筹摆成方程，这是九章算术中解多一次方程组的 方法，而整个消元过程则相当于代数中的线性变换。在方程章里提出了正负数 的不同表示法和正负数的加减法则。 第九

6、章， “勾股”：专门讨论用勾股定理解决应用问题的方法。 九章算术的出现，标志着我国古代数学体系的正式确立，当中有以下 的一些特点： 1. 是一个应用数学体系，全书表述为应用问题集的形式； 2.以算法为主要内 容，全书以问、答、术构成， “术 ”是主要需阐述的内容； 3.以算筹为工具。 九章算术取得了多方面的数学成就，包括：分数运算、比例问题、双 设法、一些面积、体积计算、一次方程组解法、负数概念的引入及负数加减法 则、开平方、开立方、一般二次方程解法等。九章算术的思想方法对我国 古代数学产生了巨大的影响。自隋唐之际，九章算术已传入朝鲜、日本， 现在更被译成多种文字。 几何原本 古希腊大数学家欧

7、几里德是与他的巨著 几何原本一起名垂千古 的。这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里德 最有价值的一部著作。在原本里，欧几里德系统地总结了古代劳动人民和 学者们在实践和思考中获得的几何知识，欧几里德把人们公认的一些事实列成 定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性 质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方 法，形成了一个严密的逻辑体系 几何学。 而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作。 五条公理 1. 等于同量的量彼此相等； 2. 等量加等量，其和相等； 3. 等量减等量，其差相等； 4. 彼此能重合的物体是全等的； 5. 整体大于部分。 五条公设 1.过两点能作且只能作一直线； 2. 线段（有限直线 ）可以无