文科圆锥曲线专题练习及答案

1、文科圆锥曲线1.设 F1F2 是椭圆22xy E:22ab1(a b 0)的左、右焦点， P 为直线x 3a 上一点，2F2PF1 是底角为 30 的等腰三角形，则 E 的离心率为(1(A) 12 答案】 C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思 解析】 F2PF1 是底角为 300 的等腰三角形，(B)(C) PF2A 600 ， | PF2 | |F1F2 | 2c， |AF2 |=(D) 2c 3 a ，2想，是简单题 .3e= ，42.等轴双曲线 C的中心在原点，焦点在 x轴上， C 与抛物线2y 2 16x 的准线交于A,B两点， AB 4 3；则 C的实轴长为(A) 2(

2、B) 2 2(C)(D)【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题 .【解析】由题设知抛物线的准线为： x 4，设等轴双曲线方程为： x2 y2 a2 ，将 x 4 代入等轴双曲线方程解 得 y= 16 a2 ， |AB |=4 3， 2 16 a2 =4 3，解得 a=2， C 的实轴长为 4 ，故选 C.223.已知双曲线 C1： x2 y2 1(a 0,b 0)的离心率为 2.若抛物线 C2: x2 2py(p 0)的焦点到双曲线 C1的渐近线的距 ab离为 2，则抛物线 C2 的方程为2 8 3(A) x2 3 y3(B) x2 1633 y32(C) x2

3、 8y2(D) x2 16y考点：圆锥曲线的性质解析：由双曲线离心率为 2且双曲线中 a，b， c的关系可知 b 3a ，此题应注意 C2的焦点在 y 轴上，即( 0，p/2)到直线 y3x 的距离为 2，可知 p=8 或数形结合，利用直角三角形求解。4.椭圆的中心在原点，焦距为 4 ，一条准线为 x4 ，则该椭圆的方程为22A) x2 y2 116 1222B)1x22y8212 222(C) x2 y2 1(D) x2 y2 18 412 4【命题意图】 本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。 通过准线方程确定焦点位置， 然后借助于焦距和准线求 解参数 a,b,c ，从而得到椭圆的方程

4、。2解析】因为 2c 4 c 2，由一条准线方程为 x4可得该椭圆的焦点在 x 轴上县 a 4 a2 4c 8，所c2 2 2以 b2 a2 c2 8 4 4 。故选答案 C 5.已知 F1、 F2为双曲线 C:x2 y2 2的左、右焦点，点 P在C上， |PF1| 2|PF2 |，则 cos F1PF24（D）5以及余弦定理的运用。 首先运用定义得到两个焦1 33（A）（ B）（C）454【命题意图】 本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用， 半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。解析】解：由题意可知， a 2 b, c 2，设 |PF1| 2x,| PF2 | x，则 |P

5、F1| |PF2 | x 2a 2 2，故|PF1| 4 2,| PF2 | 2 2，F1F2 4 ，利用余弦定理可得cos F1PF2PF12 PF22 F1F22 (4 2)2 (2 2)2 422PF1 PF22 2 2 4 26. 如图，中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点， M ，N 是双曲线的两顶点。若 M ，O，N 将椭圆长轴四等分， 则双曲线与椭圆的离心率的比值是A.3 B.2 C. 3 D. 2命题意图】本题主要考查了椭圆和双曲线的方程和性质，通过对两者公交点求解离心率的关系【解析】设椭圆的长轴为 2a，双曲线的长轴为又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为2a ，由

6、M，O，N 将椭圆长轴四等分，则2a 2 2a ，即 a 2a ，7.已知抛物线关于c，则双曲线的离心率为 e c ，e c ，aaa 2.ax 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点 M （2, y0） 。若点M 到该抛物线焦点的距离为 3，则 |OM | （ ）A、 2 2B、 2 3C、 4D、 2 5解析设抛物线方程为 y2=2px（p0）, 则焦点坐标为（ p ,0 ），准线方程为 x= p ,22 M在抛物线上，M到焦点的距离等于到准 线的距离，即（2- 2p）2 y02 （2 2p）2 3解得：p 1, y0 2 2 点M（2,2 2），根据两点距离公式 有：|OM | 22

7、 （2 2） 2 2 3点评本题旨在考查抛物线的定义 : |MF|=d,（M 为抛物线上任意一点， F 为抛物线的焦点，228.对于常数 m、 n，“ mn 0”是“方程 mx2 ny2 1的曲线是椭圆”的（）d 为点 M 到准线的距离 ）.A 、充分不必要条件【答案】 B.B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件m 0,22【解析】方程 mx2 ny2 1的曲线表示椭圆，常数常数 m,n的取值为 n 0, 所以，由 mn 0得不到程 m n,22mx2 ny 2 1的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出mn 0 ， 【点评】 本题主要考查充分条件和必

8、要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数m,n 的取值情况 .属于中档题 .22A，B，左、右焦点分别是 F1，F2。若 |AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，9.椭圆 x2 y2 1（a b 0） 的左、右顶点分别是 ab则此椭圆的离心率为 A. 1 B. 5 C. 1 D. 5-24 5 2 【解析】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想 . 利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：AF1ac， F1F22c， F1Bac.又已知AF1 ， F1F2，2 2 2 2 2 2 c 5 5F

9、1B 成等比数列，故 (a c)(a c) (2c)2，即 a2 c2 4c2，则 a2 5c2.故e.即椭圆的离心率为a 5 5点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关只含有离心率 e 的方程， 长及其标准方程的求解等从而求解方程即可 . 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质a, c的方程，然后化为有关 a,c 的齐次式方程，进而转化为. 来年需要注意椭圆的长轴，短轴10.已知双曲线 C2x2a2- by22 =1的焦距为 10 ，P （ 2,1）在 C 的渐近线上，则C 的方程为22 xy A20=152xB.52y0=122xyC. - =180 2022xyD. - =120 80

10、解析】设双曲线2x2a2y- 2 =1 的半焦距为 b2c ，则 2c 10,c 5.又 C 的渐近线为b x ，点 P （ 2,1）在 aC 的渐近线上， 1 b 2 ，即 a a2b.2y2 =1.52又c2 a2 b2， a 2 5,b 5 ， C的方程为 2x0点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型 .2x11.已知双曲线 2y2=1 的右焦点为（3,0)则该双曲线的离心率等于a53 143234ABCD14423分析： 本题考查的知识点为圆锥曲线的性质，利用离心率 e c 即可。 a23 解答： 根据焦点坐标 （

11、3,0） 知c 3，由双曲线的简单几何性质知 a2 5 9，所以 a 2，因此 e.故选 C.2 二 、填空题2212.椭圆 x2 y 1（a为定值，且 a 5）的的左焦点为 F ，直线 x m与椭圆相交于点 A、B， FAB的周长的 a52 最大值是 12，则该椭圆的离心率是 。【答案】 2 ，32 2 c 2 解析根据椭圆定义知： 4a=12, 得 a=3 , 又 a2 c2 5 c 2, ea3 点评 本题考查对椭圆概念的掌握程度 .突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.2213. ）在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线 x2y1的离心率为 5，则 m的值为 【答案】 2。m m2

12、 422 【解析】 由 x2y1得 a= m，b= m2 4，c= m m2 4 。m m2 4c m m2 4 2 e= = = 5 ，即 m2 4m 4=0 ，解得 m=2 。am14 右图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水位下降 1 米后，水面宽米.解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点 O 的坐标为（ 0,0），设l 与抛物线的交点为 A、B ，根据题意，知 A（-2，-2）， B（2，-2） 设抛物线的解析式为 y ax2，则有 2 a 22， a 12抛物线的解析式为 y 1 x2 水位下降 1 米，则 y -3，此时有 x 6或 x 6

13、 2此时水面宽为 2 6 米22xy215.设 P 为直线 y b x与双曲线 2 2 1（a 0,b 0） 左支的交点， 3aa2 b23aF1是左焦点， PF1垂直于 x 轴，则双曲线的离心率 e2 2 2 216.已知双曲线C1: x2 y2 1（a 0,b 0）与双曲线C2:x y 1有相同的渐近线，且C1的右焦点为 a2 b24 16F( 5,0) , 则 ab解析】双曲线的22 y 1 渐近线为 y 2x ，而 x2 16a22y2 1的渐近线为b2y b x ，所以有 b 2 ， b 2a ， aa又双曲线2x2a2y2 1的右焦点为 （ 5,0），b2所以 c 5，又 c2 a

14、2 b2，即 5 a2 4a2 5a2 ，所 以a 1,a 1,b 2 。三、解答题17.已知椭圆 错误！未找到引用源。 （ ab0） ,点 P（ 错误！未找到引用源。 ,错误！未找到引用源。 ）在椭圆上。 （I）求椭圆的离心率。（II）设 A 为椭圆的右顶点， O 为坐标原点，若 Q在椭圆上且满足 |AQ|=|AO|求直线 OQ 的斜率的值。解析】 () 点 P( 5a, 252 a） 在椭圆上12a52a12a2 2 1b2b22a52e81 ab22ae6e4() 设 Q(acos ,bsin )(0 2 )；则 A(a,0)AQ AOa2(1 cos )2 b2 sin2a221 3c

15、os 16cos 5 0 cos3 bsin直线 OQ 的斜率 kOQ5acos2218.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1x2 y2 1(a b 0 )的左焦点为 F1( 1,0) ，且点 P (0,1)在 C1上. ab（1）求椭圆 C1 的方程；2（2）设直线 l同时与椭圆 C1和抛物线 C2： y2 4x相切，求直线 l的方程 .答案】解析】（ 1）因为椭圆 C1的左焦点为 F1（ 1,0） ，所以 c 1，x2 y21点 P(0,1) 代入椭圆 x2 y2 1 ，得 12 1，即 b 1， a bb2所以 a2 b2 c2 2 ，2所以椭圆 C1 的方程为 x y2 1.2

16、2）直线 l 的斜率显然存在，设直线 l 的方程为 y kx m ，2x y2 12 y 1，消去 y并整理得 (1 2k2)x2 4kmx 2m2 2 0， y kx m因为直线 l与椭圆 C1相切，所以16k2m2 4(1 2k2)(2m2 2) 0 ，整理得 2k2 m2 1 0 y2 4x，消去y kx my 并整理得2 2 2 k2x2 (2km 4)x m2 0 。因为直线 l 与抛物线2 2 2C2相切，所以(2km 4)2 4k2m2 0 ，整理得 km 1 k2k2综合，解得 2 或 2 。m2m2所以直线 l 的方程为 y22x2或 y22x 2。19.【 2102 高考北

17、京文 19】（本小题共 14 分 ）已知椭圆 C：22xy2+ 2=1（ab0）的一个顶点为 A （2,0），离心率为 ab2， 直线 y=k（x-1）与椭圆 C交与不同的2两点 M,N（）求椭圆C 的方程）当 AMN 的面积为 10 时，求 k 的值3【考点定位】此题难度集中在运算，但是整体题目难度确实不大，从形式到条件的设计都是非常熟悉的，相信平时对 曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。a2c2解得 b 2 .所以椭圆C 的方程为 xy1.a2 42a2 b2 c2解：1）由题意得2）y k(x 1)由 x2 y2 得 (1 2k2)x2 4k2x 2k2 4 0.421设点4

18、k 22k2 4M,N 的坐标分别为 (x1,y1)，(x2,y2)，则 y1 k(x1 1)，y2 k(x2 1)，x1 x2 14k2k2，x1x2 12k 2k24所以|MN|= (x2 x1)2 (y2 y1)2 = (1 k 2)( x1 x2)2 4x1x2 = 2 (1 k )(4 6k )1 2k2由因为点 A(2,0)到直线 y k(x 1)的距离 d |k | ，1 2k 21 |k | 4 6k 2|k | 4 6k2所以 AMN 的面积为 S |MN | d 2 . 由 22 1 2k21 2k210 ，解得 k 1.320.【2012 高考湖南文 21】（本小题满分

19、13分）1 在直角坐标系 xOy 中，已知中心在原点，离心率为 的椭圆 E 的一个焦点为圆 C： x2+y2-4x+2=0 的圆心 .2 （）求椭圆 E 的方程【答案】2 2 2 2【解析】（）由 x2 y2 4x 2 0 ，得 （x 2）2 y2 2 .故圆的圆心为点22xy（2,0）, 从而可设椭圆的方程为 2 2 1（a b 0）, 其焦距为 2c ，由题设知 abc 1 2 2 2c 2,e , a 2c 4,b2 a2 c2 12. 故椭圆的方程为：a222 xy1.16 1221.【 2012 高考陕西文 20】本小题满分 13 分）2x2 已知椭圆 C1 : xy2 1 ，4椭圆 C2以 C1的长轴为短轴，且与 C1有相同的离心率。1）求椭圆 C2 的方程；2）设 O 为坐标原点，点A