数系的扩充与复数的引入

1、课题： 3.1.1 数系的扩充和复数的概念主备人：王保星 辅备人： 高二数学(理)备课组教学目标：知识与技能：了解数系的扩充过程，理解复数及其有关概念，应用复数的有关概念解 决相关问题；过程与方法：在学习数系的扩充内容时，采取让学生“阅读、质疑、探究”的学习过程。情感、态度与价值观：在掌握知识的同时，开阔自己的视野。教学重点： 复数的概念。教学难点： 应用复数的有关概念解决相关问题；教学过程：一、情景引导，激发欲望数的概念是从实践中产生和发展起来的 .早在人类社会初期， 人们在狩猎、 采集果实等 劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4 等数以及表示“没有”的数 0.自然数的全体构成自然

2、数集 N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示 各种具有相反意义的量以及满足记数的需要， 人们又引进了负数 .这样就把数集扩充到有理 数集 Q.显然 N Q .如果把自然数集 (含正整数和 0)与负整数集合并在一起，构成整数集 Z， 则有 Z Q、N Z.如果把整数看作分母为 1 的分数，那么有理数集实际上就是分数集有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用 有理数表示， 为了解决这个矛盾， 人们又引进了无理数 .所谓无理数， 就是无限不循环小数 . 有理数集与无理数集合并在一起， 构

3、成实数集 R.因为有理数都可看作循环小数 (包括整数、 有限小数 )，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集二、组内合作，自学讨论因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也 解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除 的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾， 无理数解决了开方开不尽的矛盾 .但是， 数集扩到实数集 R 以后，像 x2= 1 这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等 于 1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i ，叫做虚数单位 .并由此产生的了复数1. 虚数单位 i :2(1) 它的平

4、方等于 -1，即 i 21;(2) 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.222. i与 1的关系 : i就是 1的一个平方根，即方程 x2=1的一个根，方程 x2=1 的另一个根是 i !3. i的周期性： i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i4n=14. 复数的定义： 形如 a bi(a,b R) 的数叫复数， a叫复数的实部， b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 C 表示 *5. 复数的代数形式 : 复数通常用字母 z 表示，即 z a bi(a,b R) ，把复数表示成 a+bi 的形式，叫做复数的代数形式三、

5、班内交流，确定难点1. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系：对于复数 a bi(a,b R) ，当且仅当 b=0时，复数 a+bi(a、bR)是实数 a；当 b0 时，复数 z=a+bi 叫做虚数；当 a=0 且 b0 时，z=bi 叫做纯虚数；当且仅当 a=b=0 时，z 就是实数 0.2. 复数集与其它数集之间的关系： N Z Q R C .3. 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等， 那么我们就说这两个 复数相等这就是说，如果 a，b， c，dR，那么 a+bi=c+di a=c， b=d 复数相等的定义是求复数值， 在复数集中解方程的重要依据 一般地， 两个复数只

6、能 说相等或不相等，而不能比较大小 .如 3+5i 与 4+3i 不能比较大小 .现有一个命题： “任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小四、点拨精讲，解难释疑11例 1 请说出复数 2 3i, 3 i, i, 3 5i 的实部和虚部，有没有纯虚数？2311 答：它们都是虚数，它们的实部分别是2，3，0， 3 ;虚部分别是 3， ， ，23 5; 1i 是纯虚数 .3例 2 实数 m 取什么数值时，复数 z=m+1+(m 1)i 是:(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？分析因为 mR，所以 m+1， m 1 都

7、是实数，由复数 z=a+bi 是实数、虚数和纯 虚数的条件可以确定 m 的值 .解： (1)当 m 1=0，即 m=1 时，复数 z 是实数；(2)当 m 1 0，即 m1 时，复数 z 是虚数；(3) 当 m+1=0 ，且 m 10时，即 m=1 时，复数 z 是纯虚数 . 例 3 已知(2x1)+i=y(3y)i，其中 x，yR，求 x与 y.2x 1 y,5解：根据复数相等的定义，得方程组 ，所以 x= ， y=41 (3 y)2五、随堂练习，当堂反馈1.设集合 C=复数，A=实数，B=纯虚数，若全集 S=C，则下列结论正确的是( )A.AB=CB. CSA=BC.A CSB=D.B C

8、S B=C222.复数(2x2+5x+2)+(x2+x2)i 为虚数，则实数 x满足( )11A.x=B.x=2 或C.x 2D.x1且 x22223.已知集合 M= 1，2，(m23m1)+(m25m6)i，集合 P= 1，3.M P= 3，则实数 m的值为 ()A. 1 B.1 或 4C.6D.6 或 14. 满足方程 x22x3+(9y2 6y+1)i=0 的实数对 (x，y)表示的点的个数是 .5. 复数 z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)，则 z1=z2 的充要条件是 26. 设复数 z=log 2( m2 3m 3)+i log 2(3 m)( m R )，如果 z

9、是纯虚数，求 m 的值.27. 若方程 x2+(m+2i)x+(2+mi)=0 至少有一个实数根，试求实数 m 的值 .m(m 2) 28. 已知 mR，复数 z=+(m2+2m3)i，当 m 为何值时，m11(1)z R ; (2) z是虚数； (3)z 是纯虚数； (4)z= +4i.2六、归纳总结，科学评价 这节课我们学习了虚数单位 i 及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类 问题，复数相等的充要条件，复平面等等.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数 问题课后作业 ：课本第 106 页 习题 3

10、.1 1 , 2 , 3教后记：(待定)课题： 3.1.2 复数的几何意义主备人：王保星 辅备人： 高二数学（理）备课组教学目标：知识与技能：理解复数与从原点出发的向量的对应关系 过程与方法：了解复数的几何意义 情感、态度与价值观：画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往 往能起到启迪解题思路的作用教学重点： 复数与从原点出发的向量的对应关系教学难点： 复数的几何意义。教学过程 ： 一、情景引导，激发欲望1.若 A（x, y） ， O（0,0） ，则 OA x,y2. 若 a （x1,y1） ，b （x2,y2），则 a b （x1 x2,y1 y2），a b （x1 x2, y

11、1 y2）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若 A（x1, y1）， B（x2, y2），则 AB x2 x1,y2 y1一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 AB=OB OA=( x 2, y2) (x1,y1)= (x 2 x1, y2 y1)、组内合作 , 自学讨论复平面、实轴、虚轴：ybZ(a，b)oax复数 z= a+ bi （a、b R ）与有序实数对 （ a，b）是一一对应 关系 这是因为对于任何一个复数z=a+bi（a、 bR），由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对（a，b） 惟一确定，如 z=3+2 i 可以由有序实

12、数对 （3，2）确定，又如 z= 2+i 可以由有序实数对 （ 2，1）来确定；又因为有序实数对 （a， b）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对 （3 ，2）它与平面直角坐标系中的点 A，横坐标为 3，纵坐标为 2 ，建立了一一对应的关系由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建 立一一对应的关系点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 z=a+ bi （a、 b R）可用点 Z（a， b）表示，这个建 立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做 虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为（0

13、，0）， 它所确定的复数是 z=0+0 i=0 表示是实数 .故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点 （0，0）表示实数 0，实轴上的点 （2， 0）表示实数 2，虚轴上的点 （0， 1）表示纯虚数 i，虚轴上的点 （0， 5）表示纯虚数 5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点（2， 3）表示的复数是 2+3i，z= 53i 对应的点 （ 5， 3）在第三象限等等 .三、班内交流 , 确定难点复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 z a bi 一一对应 复平面内的点 Z（a,b）这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每 个

14、点，有惟一的一个复数和它对应这就是复数的一种几何意义 .也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法复平面内的点Z（a,b） 一一对应 平面向量OZ一一对应2. 复数 z a bi 平面向量OZ四、点拨精讲 , 解难释疑例 1若3 ，5 ，则复数 （cossin ） （sin cos ）i 在复平面内所对应44的点在（ ）A 第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：选 B .例 2已知复数 z1=cosi，z2=sin+i，求 | z1 z2|的最大值和最小值 .解 |z1 z2 | |1 sin cos （cos sin ）i |（1 sin cos ）2 （cos sin ）22 sin

15、2 cos22 1sin 2 2 .43故| z1 z2 |的最大值为 ,最小值为 2 .2例 3满足条件 |z i| |3 4i| 的复数 z在复平面上对应点的轨迹是（ ）A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆 解：选 C.五、随堂练习，当堂反馈1在复平面内，把复数 3 3i 对应的向量按顺时钟方向旋转 ，所得向量对应的复数是： （ ）3（ A ）2 3 （B） 2 3i （C） 3 3i （ D） 3+ 3i2已知复数 z的模为 2,则z-i 的最大值为： ( )(A)1 (B)2 (C) (D)33若 z C 且 |z 2 2i | 1, 则 |z 2 2i | 的最小值是( )A 2B3C4D54若 a,b 为非零实数，则下列四个命题都成立：1 2 2 2 a0 a ba2 2ab b2若 a b ，则 a ba若 a2 ab ，则 a b 则对于任意非零复数 a,b ，上述命题仍然成立的序号是4，2 3 i5在复数范围内解方程 | z|2 (z z)i( i为虚数单位) 。2i 【思路点拨】本题考查共轭复数的模的概念和运算能力，可根据复数的代数形式进行处理2【解】原方程化简为 z 2 (z z)i 1 i ,设 z=x+yi(x 、 y R), 代入上述方程得 x 2+y 2+2xi=1-i,2 2 1 3 x 2+y2=1 且 2