数列习题课一

1、数列习题课 （ 一）习题课 （一 ） 求数列的通项公式学习目标1. 了解通过数列前若 干项归纳出数列的一个通项公式的常见方法 .2 掌握利用递推公式求通项公式的常见方法.3.掌握利用前 n 项和 Sn 与 an 的关系求通项公式的方 法.知识点一 通过数列前若干项归纳出数列的一 个通项公式思考 你能看出数列 (1)： 1,1， 1,1与数列(2) : 0,2,0,2的联系吗？由此写出数列 (2)的一个 通项公式 .答案 数列(1)每项加 1 得到数列 (2).数列(1)的通 项公式是 an(1)n ，故数列 (2)的通项公式是 an(1)n 1.梳理 通过数列前若干项归纳出数列的一个通 项公式

2、，关键是依托基本数列如等差数列、等比 数列，寻找 an与 n，an与 an1的联系 .知识点二 利用递推公式求通项公式 思考 还记得我们是如何用递推公式 an1an d 求出等差数列的通项公式的吗？ 答案 累加法 .梳理 已知递推公式求通项公式的主要思路，就 是要通过对递推公式赋值、变形，构造出我们熟 悉的等差数列或等比数列，进而求出通项公式 赋值、变形的常见方法有累加、累乘、待定系数 法、换元、迭代等 .知识点三 利用前 n 项和 Sn与 an 的关系求通项思考公式如何用数列 an的前 n 项和 Sn 表示 an ?答案anS1，n1，SnSn1，n 2.梳理当已知 Sn或已知 Sn 与 a

3、n 的关系式，可以借助上式求出通项公式，或者得到递推公式，再由递推公式求得通项公式 .在应用上式时， 不要忘 记对 n 讨论 .1.数列可由其前四项完全确定 .()2. 可以在公式许可的范围内根据需要对递推公式中的 n 任意赋值 .()3. Sn也是一个数列 .()2(3)2，1(4)2， 考点 题点类型一 通过数列前若干项归纳出数列的一个 通项公式例 1 由数列的前 n 项，写出通项公式： (1)3,5,3,5,3,5，1 2， 3， 4，5，3，4，5，6，5，13，33，81，2， 4， 8 ，16，项为 3，偶数项为 5.所以它的一个通项公式为 an 4(1)n.(2)数列中的项以分数

4、形式出现，分子为项数，分 母比分子大 1，所以它的一个通项公式为an nn11 1 1 1(3) 数列可化为 11,22，34，4 8，516，1所以它的一个通项公式为 an n n1.n111111(4) 数列可化为 12，2 3，34，45，56，决这类问题可以根据所给数列的特点 ( 递增及增 长速度、递减及递减速度、 是否摆动数列 ) 联想基 本数列，再考察它与基本数列的关系 .(1)1，(2)14，(3)1，考点题点跟踪训练 1 由数列的前几项，写出通项公式： 7,13，19,25， 3，1， 7 ， 9 ，7，2，13，16，8 15 245， 7 ， 9 ， 数列的通项公式 根据数

5、列的前几项写出通项公式 解 (1) 数列每一项的绝对值构成一个以 1 为首项， 6 为公差的等差数列，且奇数项为正，偶数 项为负，所以它的一个通项公式为 an (1)n 1（6n5）.1 3 5 7 9(2)数列化为 41，73，150，173，196，分子，分母分别构成等差数列，所以它的一个通项公式为an2n13n1221(3)数列化为 3 ，321 4215，7，5219，所 以 数 列 的 一 个 通 项 公 式 为 an ( 1)n n1 2 11.2n1 .类型二 利用递推公式求通项公式命题角度 1 累加、累乘 例 2 (1)数列 an满足 a11，对任意的 nN*都 有 an 1

6、a1ann，求通项公式； (2)已知数列 an 满足 a132，an1 nn 1an，求 an 考点 递推数列通项公式求法题点 一阶线性递推数列解 (1)an1ann1，an1an n1，即 a2a12，a3a23， ，anan1n，等式两边同时相加得 ana123 4n，即 an a1234n1234n n 1 n2an 1n(2)由条件知 an nn 1，分别令 n1,2,3，n 1， 代入上式得 (n1)个等式累乘之，a2 a3 a4 an 1 2 3n 1即aa12aa23aa43aann 1212334 n ，aan1n1，又a123，an32n.反思与感悟 型如 an1anf(n)

7、的递推公式求 通项可以使用累加法，步骤如下： 第一步 将递推公式写成 an 1anf(n)； 第二步 依次写出 anan1， a2a1，并将 它们累加起来；第三步 得到 ana1 的值，解出 an；第四步 检验 a1 是否满足所求通项公式，若成 立，则合并；若不成立，则写出分段形式 .累乘法 类似.跟踪训练 2 (1)已知数列 an中， a1 1， an 1 2nan(nN*)，则数列 an 的通项公式为 ()A. an 2n 1 B.an2nn(n 1)n2C.an 2 2D. an 22考点 递推数列通项公式求法题点 一阶线性递推数列答案 Can1解 析 由 an 1 2nan ， 得 2

8、n ， 即ana2 a3 a4a1 a2 a3an 212223 2n1，即 an21 an1a1 n(n 1)n(n 1)n( n 1)23 (n1)2 2 ，故 an 2 2 a12 2 .故选 C. (2)在数列 an中， a11，anan1n1 (n 2,3,4)，求 an的通项公式 .考点 递推数列通项公式求法题点 an 1pan f(n)型当 n 2 时，a2 a1 1， a3a2 2， a4 a3 3，这 n 1 个解 当 n1 时， a11，an an1n1，等式累加得，n n 1ana112(n1)n n1n2n 2故 an 2 a1 2 且 a11 也满足该 式，n2n2a

9、n2(nN*).例3命题角度 2 构造等差 比 数列 已知数列 an中， a1 1，an12an3，求an.考点递推数列通项公式求法题点一阶线性递推数列解 递推公式 an 12an 3 可以转化为 an1 t2（ant），即 an 1 2an t，则 t 3.故递推公式为 an132（an 3）.bn 1 an1 3 令 bnan3，则 b1a13 4，且an3bn2. 所以bn是以 4 为首项，2 为公比的等比数列 . 所以 bn42n 12n 1，即 an2n1 3. 反思与感悟 型如 an 1pan q（其中 p，q 为常 数，且 pq（p1）0）可用待定系数法求得通项公 式，步骤如下：

10、第一步 假设将递推公式改写为 an1 t p（an t）；第二步 由待定系数法，解得 t；p1q第三步 写出数列 an p1 的通项公式； 第四步 写出数列 an 通项公式 .跟踪训练 3 已知数列 an 满足 an1 2an 35n，a16，求数列 an 的通项公式 .考点 递推数列通项公式求法题点 an 1pan f（n）型解 设 an1x 5n12（anx5n）， 将 an12an35n 代入式，得 2an35n x5n 1 2an 2x5n，等式两边消去 2an，得 35nx 5n12x5n，两边除以 5n，得 35x 2x，则 x 1，代入 式得 an15n12（an 5n）.由 a

11、15165 10 及式得 an5n0，则 an15n1n 2，则数列 an5n是以 1 为首项， 2 an5为公比的等比数列，则 an5n2n1，故 an2n15n.类型三 利用前 n 项和 Sn 与 an 的关系求通项公 例 4 已知数列 an的前 n 项和为 Sn，若 Sn2an4，nN*，则 an 等于()A.2n1B.2nC.2n1D.2n2考点 an 与 Sn 关系题点 由 Sn 与 an 递推式求通项答案 A解析 因为 Sn2an 4，所以 Sn12an14， 两式相减可得 SnSn1 2an2an1，即 an 2an 2an 1，整理得 an 2an1，即 a 2，因为 S1 a

12、n1a12a14，即 a1 4，所以数列 an 是首项为 4，公比为 2 的等比数列， 则 an42n12n1， 故选 A.反思与感悟 已知 Snf(an)或 Sn f(n)解题步 骤： 第一步 利用 Sn 满足条件 p，写出当 n2 时，Sn1 的表达式； 第二步 利用 anSnSn1(n2)，求出 an 或者 转化为 an 的递推公式的形式；第三步 若求出 n2 时的an的通项公式， 则根 据 a1S1 求出 a1，并代入 an的通项公式进行验 证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形 式.如果求出的是 an的递推公式，则问题化归为 类型二.跟踪训练 4 在数列 an 中，a11，a12

13、a23a3n1 nann2 1an1(nN * )，求数列 an的通项 考点 an 与 Sn 关系题点 由 Sn 与 an 递推式求通项n1由 a12a23a3nan 2 an 1，得n当 n2 时，a12a23a3（n1）an1 2an，两式作差得 nann12 an 1得（n1）an13nan（n2）， 即数列 nan从第二项起是公比为 且 a1 1， a21，于是 2a2 2， nan23n2.3 的等比数列， 故当 n 2 时，1，n1，于是 an23n2n2.11. 在数列 an中， a1 3，an1ann n 1 ，则 通项公式 an 答案 4n1n11解析 原递推公式可化为 an

14、1an1 1 n n 11 1 1 1 则 a2a112，a3a22 3，11 a4a334，11 ，an 1 an2，ann 2 n111an1n1 1n1，逐项相加得ana11n1故 an 4 n1.2. 设数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S24，an12Sn1，nN*，则 a1 ，S5 考点 an 与 Sn 关系题点 由 Sn与 an 递推式求通项 答案 1 121解析 a1a24，a22a1 1，解得 a1 1，a2 3，再由 an12Sn1，即 an 2Sn11(n2)，得an1 an 2an，即 an 1 3an(n2)，又 a23a1， 135所以 an13an(n1)，S

15、5 121.133. 如果数列 an 的前 n 项和 Sn2an1，则此数 列的通项公式 an.考点 an 与 Sn 关系题点 由 Sn与 an递推式求通项答案 2n 1解析 当 n1 时， S12a11，a1 2a1 1， a11.当 n2 时， anSnSn1(2an1)(2an11）， an2an1， an是首项为 1，公比为 2 的等比数列，an2n1，nN*.4. 已知数列 an的前 n项和 Sn1 na，其中 0 证明 an是等比数列，并求其通项公式 . 考点 an 与 Sn 关系题点 由 Sn 与 an 递推式求通项1解 由题意得 a1 S1 1a1，故 1，a1，1a10.由

16、Sn1na，Sn1 1an1，得 an 1 na1 na，即 an1（ 1） na.由 a10，0 得 an 0，an1所以an11所以an是首项为 1 ，公比为 的等比数列，1 1所以 an111n11. 不论哪种类型求通项公式，都是以等差数列、 等比数列为基础 .2. 利用数列前若干项归纳通项公式，对无穷数列 来说只能算是一种猜想，是否对所有项都适用还 需论证 .3. 待定系数法求通项，其本质是猜想所给递推公 式可以变形为某种等差数列或等比数列，只是其 系数还不知道，一旦求出系数，即意味着猜想成 立，从而可以借助等差数列或等比数列求得通项 .4. 使用递推公式或前 n 项和求通项时，要注意

17、 n 的取值范围 .一、选择题1. 已知数列 an 中，a12，an1an2n(nN*)， 则 a100的值是 ()A.9 900 B.9 902C.9 904 D.11 000 考点 递推数列通项公式求法 题点 an 1pan f（n）型答案 B解析 a100（a100a99）（a99a98） （a2a1） a1 2（999821）299 9912229 902.2. 已知数列 an 中，a11，an11a2a ，则这个 数列的第 n 项为 （ ）A.2n 1 B.2n1 11C. D.2n 12n 1考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列答案 C解析 an1 an ， 1 a1

18、 2. 12anan 1 an11 a1n 为等差数列，公差为 2，首项 a11 1. 1an1(n1) 22n1，1 an.2n113. 在数列 an中， a12，an1anln 1n ，则 an 等于()A.2 ln n B.2 (n 1)ln n C.2nln n D.1n ln n 考点 递推数列通项公式求法 题点 an 1pan f(n)型 答案 A1解析 由 an1 an ln 1n 得1n 1an1anln 1n ln n ，（a2a1）（a3a2）（anan1）2 3 n ln 12ln 23ln nn13nln 223 nn 1 ln n，即 an a1ln n， an ln

19、 n2.4.已知数列 an 的首项为 a1121n，则此数列的通项公式 anA.2nB.n（n1）nn n 1C.2n1D. 2n考点递推数列通项公式求法题点an1panf(n)型答案C等于 ()1，且满足 an 1 2an11解析 an12an2n，2n1an12nan 2， 即 2n1an12nan 2.又 21a1 2， 数列 2nan是以 2为首项，2为公差的等差数列， 2nan2(n1)22n，n an .2n15. 数列 an满足 a1， a2 a1， a3 a2， anan1是首项为1，公比为 2 的等比数列，那么 an 等于( )A.2n1B.2n11C.2n1D.4n1考点递

20、推数列通项公式求法题点一阶线性递推数列答案解析由题意，得 an an12n1，a1（a2a1）（a3 a2）（anan1） 121222n112n2n112即 an 2n 1.6. 一个正整数数表如下 （表中下一行中的数的个 数是上一行中数的个数的 2 倍 ）：第1 行1第2 行23第345行67则第 8 行中的第 5 个数是（ ）A.68 B.132 C.133 D.260 考点 数列的通项公式题点 根据数列的前几项写出通项公式答案 B解析 前 7 行中共有 122226271 127个数，则第 8 行中的第 5个数是 1275132.二、填空题7. 若数列 an的前 n 项和为 Sn，a1

21、2，且对于任 意大于 1 的整数 n，点 （ Sn， Sn1）在直线 xy 2 0 上 ， 则 数 列 an 的 通 项 公 式 为 考点 an与 Sn 关系题点 由 Sn与 an 递推式求通项答案 an 4n2解析 由题意得 Sn Sn1 2，nN* ，n2， Sn 是首项为 S1 a1 2，公差为 2的等 差数列 . Sn 2n，Sn2n2， anSnSn12n22（n1）24n2，n N*，n2， a1 2 也适合上式 .an4n2，n N*.8. 数列an中，a13，an12an0，数列 bn的 通项满足关系式 anbn( 1)n(nN*)，则 bn 考点 递推数列通项公式求法题点 一

22、阶线性递推数列答案132n1解析 易知 an是首项为 3，公比为 2 的等比数 列，an32n1，bn1n1an 32n1n19.在数列 an中，a11，an1 n an，则数列 an的通项公式 an .考点递推数列通项公式求法题点累乘法求通项答案n解析an an 1 an an1 an 2a3 a2 a1 a2 a1n n 1 n 1 n232 n.21n.10. 已知数列 an 满足 an13an2，且 a11，则 考点 递推数列通项公式求法题点 一阶线性递推数列答案 23n11解析 设 an 1 A3（anA），化简得 an13an 2A.又 an13an2， 2A2，即 A1.an11

23、 an113（an 1），即3.an1数列an1是等比数列，首项为 a112，公比为 3.则 an123n 1，即 an2 3n11.2111. 若数列 an的前 n 项和 Sn3an3，则an的通项公式是 an考点an 与 Sn 关系题点由 Sn与 an 递推式求通项答案（2）n1解析当 n1 时， a11；22当 n2 时， anSnSn13an3an1，故 a 2，故 an （ 2）n 1 an1三、解答题12. 已知数列 an 是递增的等比数列，且 a1a4 9，a2a38.(1) 求数列an的通项公式；an1(2) 设 Sn 为数列 an的前 n 项和， bn，求SnSn1 数列 b

24、n的前 n 项和 Tn.考点 an 与 Sn 关系 题点 由 Sn 与 an 递推式求通项 解 (1)由题设可知 a1a4 a2a3 8，又 a1a4 9，a11，a1 8，可解得 或(舍去 ).a48a4 1由 a4a1q3 得公比 q2， 故 ana1qn1 2n1.所以 Tn b1b2 bn1 1 1 1S1 S2 S2 S3a1 1 qn 1 2n(2)Sn 1q 122n1，an1Sn 1 Sn 1 1又 bn Sn1SnSn1SnSn 1 Sn11 2n111 1 1 1 SnSn1 S1Sn1113. 已知 Sn 4 an 2n2，求 an 与 Sn.考点an 与 Sn 关系题点由 Sn与 an递推式求通项 Sn4an n12，2n2Sn14an12n3，1 当 n2 时， SnSn1 anan1an n n32n2 an12an1 21 n1anan 11 n 1 n 2， nn 122 2nan2n1an1