弹塑性力学习题集

1、第二章 应力例题1 0 4ij0304 0 5求在 n面上的法向正应力和切向剪应力N T1l T2m T3n 12 (21 2 2) 1232122522722211解T1l 11m 21 n 3111101(4)12222221113T2l 12m 22 n 320302222T3l 13m 23 n 3311( 4) 1 0152522222112e2xsxysxs0,xy s(3) yh,0,m0,Y1)xy sxys(0, xy s1)1T12T22T33 2N 2 27 48 21)xy sq,xy s（1） 管的两端是自由的；应力状态为， z=0， = pR/t，r=0， zr=

2、r= z=01J2= 6 ( z r)2+( r )2+(6z)2+6( z2rr2 2z )1 2 1 2= 2(pR/t)2= (pR/t)2631 3= =pR/t对于Mises屈服条件 : J2 =k22 s2p3 st/R对于 Tresca屈服条件 : 1 3=k1=2 sp=2 st/R例2 如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为 ，试写出边界条 件解： 在x=0上，l= 1，m =0，X y Y 0( x)x=0 ( 1)+( yx)x=0 0 = y ( xy)x=0 ( 1)+( y)x=00 = 0( x)x=0= y ( xy)x=0 在斜边上 l=cos ， m =

3、sinx cosyx sin = 0xycosysin = 0第四章本构关系例. 一薄壁圆管，平均半径为 R，壁厚为 t，受内压 p作用，讨论下列两种情 况：（1） 管的两端是自由的；（2） 管的两端是封闭的；分别使用 Mises和Tresca屈服条件，讨论 p多大时管子开始屈服（规定 纯剪时两种屈服条件重合）解： 将Mises和 Tresca中的材料常数 k1和k2 都使用纯剪时的屈服极限表示， 并使得两种屈服条件重合，则有2Mises屈服条件 : J2= sTresca屈服条件 :1 3=2 s2）管段的两端是封闭的；应力状态为， z= pR/2t， = pR/t， r=0， zr= r

4、= z=01 1 3J2= 61(zr)2+(r)2+(z)2+6(2zrr22z )= 61 32(pR/t)21 3 = = pR/t对于Mises屈服条件： p =2 st/R例 . 一种材料在二维主应力空间中进行试验，所得屈服时的应力状态为（ 1，2）=（3t，t），假定此材料为各向同性，与静水压力无关且拉压屈服应力相等。（ 1）由上述条件推断在 1 2空间中的各屈服点应力。（2）证明 Mises屈服条件在 1 2空间中的曲线通过（ a）中所有点。解：由于静水压力无关的条件得出屈服在以下各点会发生：（ 1， 2， 3） = （3t，t，0）+ （ 3t， 3t， 3t）= （0， 2t

5、， 3t）（ 1， 2， 3） = （3t ，t， 0）+ （ t， t， t）= （2t，0， t）对于Tresca屈服条件： p=2 st/R还有，由于拉压屈服应力相等，因而可得到1 2空间中的另外再由于各向同性的条件，很容易看出点也是屈服点1 2 空间中的以下五个应力讨论:A 2 ：( 1 ，2，3) = (t， 3t，0)B1：( 1 ，2，3) =( 3t， 2t，0)B2：( 1 ，2，3) = ( 2t， 3t ，0)C1：( 1 ，2，3) = (2t， t， 0)C2 ：( 1 ，2，3) = ( t，2t， 0)六个应力屈服点A 3： ( 1， 2 ，3)= ( 3t， t

6、，0)A 4： ( 1， 2 ，3)= ( t， 3t，0)B3：( 1，2，3)= (3t，2t，0)B4 ： ( 1，2，3)= (2t，3t，0)C3： ( 1，2，3)= ( 2t，t，0)C4： ( 1，2，3)= (t， 2t，0)因此，根据这些点的数据，可以作出在1 2空间中的屈服面。容易证明 Mises屈服条件21 22 1 2 2 7t 2 通过以上所有屈服点hh杆 1最先到达塑性状态 ,当 1v1 h s弹塑性解 :1s,2s, P P1由基本方程可得于是桁架开始出现塑性变形的载荷为P1 s(1 343) P1 称为弹性极限载荷P E1 1 s(1 EE1) 2E 2 co

7、s300Ev(E1 3 3) (1 E1)h E 4 E当 2s时 , 即 2 3 v2 s 2 4 hs时,Phh33桁架全部进入塑性状态，对应的载荷为 P2 E1 1 s(1 E1) 2 s cos30E1vE1例 一薄壁圆管同时受拉 , 扭和内压作用，有应力分量z, 泊松比1,求：2hh33E1)s(1P)当应力分量之间保持始加载，问2 3 z 比例从零开z 多大时开始进入屈服？)开始屈服后，继续给以应力增量，满足 d z 0及 d z 2d 求对应的 d z 及 d 值分别对 Mises和 Tresca两种屈服条件进行分析在弹塑性阶段， 余两杆仍处于弹性阶段，杆的塑性变形受到限制， 整

8、个桁架的变形仍限制在弹性变形的量级，这个阶 段可称为约束的塑性变形阶段在塑性阶段，三杆 都进入塑性状态，桁架的变形大于弹性变形量 级 一般说来，所有的弹塑性结构在外力的作用 下，都会有这样三个变形的阶段杆虽然进入塑性状态，但由于其Mises ：屈服准则为221 z z3 2z s2 0z 2 3 z 代入上式得到 z屈服后，增量本构关系为：Tresca：2z2z22zd d z8G zz zz将其展开后得2因为z1,22f2z22z(sz2)2 0f2szsz2z2s2 0z67s时达到屈服将该式微分，得(s)d z( sz ) d2 zd z0第五章 弹塑性力学问题的提法例题qxzz 2 3

9、 z所以，屈服准则为：13d2dzdddz22z,230z2z22zsz 12 ddzGE1d2E2dzd ( sd(sz0)z)根据问题的对称性，位移应只是z 的函数w=w (z)体积应变是uxv yw dw z dz代入平衡微分方程2Gd2w dz2g0112g z A2 Bw2E1B代表刚度位移，应由位移边界条件确定应力是x= y= 1 g(z+A) z= g(z+A)xy = yz= zx=0应用边界条件求待定常数L=m=0, n=1 X Y 0 Z q边界条件是：z z=0=q解得：A=q/ g根据材料力学的方法 ,在圆拄体扭转时 , 截面上发生与半 径垂直且与点到圆心的距离成正比例

10、的剪应力Grzx sin zy cosGr sinx rGr cos其中 cos假设其余的应力分量全为零 , 则zxGy,zy Gxxyzxy 0上面的解在体力为零时, 是满足平衡微分方程的 .这里 表示单位长度的扭转角 . 将向 Ox 和 Oy 轴方向分解现在校核是否满足边界条件sin习题 5-1 用逆解法求解圆柱体的扭转问题zMz zOy边界条件 （侧面 ）.XvYvzxn zynZvxzlyzm在圆柱侧面上 , 有XvYvZv0xyl cos ,msin, n 0rr将应力代入上面 ,应力满足圆柱侧面上的边界条件zy考察圆柱的两端 , 在 z=l 处, l 0, m 0, n 1边界条件

11、变为XvzxYvzyZv即: 如果他们也静力等效于扭矩M , 则应力分量zx Gy,zy Gx就是圆柱体扭装时的解xyzxy 0事实上端面上的 主矢投影 为 :zxdxdyGydxdy 0zydxdyGxdxdy 0端面上的 主矩 为:M (x zy yzx)dxdy G(x22y2)dxdy GI pM根据题设条件 , 作用于 z=L端面上的外力 Xv,Yv,Zv 静力上等效于扭矩 M , 而其具体分布情况是不清楚的 ,因此, 对应力 分量 zx, zy, 也只能从放松的意义上要求它们满足 z=L 这一端的边界条件GIp第六章 弹塑性平面问题例 6.1 设一简支梁的中部上、下两表面，在2a范

12、围内对称地作用均布载荷 q. ( 如图6.7所示) 如此梁的厚度为 1个单位，不计体力， 试求其应力分量。图 6.7 局部受均布载荷简支粱由图 6.7 可知，所示载荷对称于y 轴，是 x 的偶函数，故式 (1) 的展开式只含E 0 , G0及余弦项，其中E0G01q(x)dx qdx qa(3)002ll 2la l而系数 En可由载荷展开式q(x) E cosn x (4)n 1 l 运用通常求富里叶系数的办法，两边乘以 cosm x ，并在区间 l,l 积分，有q(x) cosm xdxln1x m xdxEn cosn cos l n l l(m n)l Em (m n)由此可得Em 1

13、 q(x)cosm xdx 1 l nx 由于m为任意整数，所以可换成n ，于是得 En l l q( x) cos l dx同理也可得 Gn 。sh()sh,ch( )ch则可得nchntBnCn0CnBnchntntsh ntAnEnsh ntntch nt(9)nshnt2 nsh2 nt 2 ntDnAnn shntntch ntDn2Ennsh ntsh2 nt 2 nt所以式 (7) 中的常数可全部确定，将式 力分量，再加上式 x xy 0, y 力，即得梁总的应力分量计算式。如(9) 代入式 (7) ，即得相应的应 qa 中由均布载荷而产生的应 ly 的表达式为qa 4q sin

14、 na (sh l n 1 n(sh2 nt 2 nt)ntch nt)ch ny解：首先将载荷展开为富 里叶级数，最普遍的情况下，上部边界 ( y(qu )y t(qd)ytt ) 和下部边界 ( y t )的载荷分别表示为 nxE0En sin ln 1lG0Gn sin nlxn 1lnysh n tsh nycos n xEn cosn x1 n l n x Gn cos 1 n l(1)注意载荷实际作用区域为 qu qd 0, ( l x(aqu qd q,a，ax a)l)(2)式中 E0 ,G 0 表示整个梁的均匀分布载荷，式 1可用富里叶系数的公式求出将 q(x)由于常数a0anbn2l1l1lq 代入上式可得nx cos dx a(1)中的全部系数均ll q(x)dxnx q(x)cos dxl n x q( x)sindx2q sinn anlq aEn GnqlE0,G0,En,Gn, 的存在，该问题可理解为上、下分别作用均布载荷qa ，再加上后面的三角级数所表示的载荷 。 l于是，可以分别计算每一部分载荷所产生的应力，然后再叠加。qa ，相应