数值分析试卷及其答案7汇编

1、学习 - 好资料1. 为了使 20 的近似值的相对误差限小于 0.1%，要取几位有效数字？ （5 分）解、解：设20 有 n 位有效数字，由204.4 ，知 a1 4令r* (20 )110 ( n 1)1 10 ( n 1)0.1%2a18,取n4 ,r* (20) 0.12510 30.1%故204.4722 设方程的迭代法为证明对, 均有, 其中为方程的根 . （5 分）证明：迭代函数，对有，3设 1 span 1, x , 2 span x100 , x101，分别在1、2 上求一元素，使其为x2C0,1 的最佳平方逼近，并比较其结果。 （ 10 分）(1) 设 1*a0*a1* x因

2、(0,0 )121,(0, 1)111 dxxdx,002(1,1)x2dx1, (1,0)1 ,1032( f ,0 )x2 1dx( f , 1)xdx1 ,1 ,x2110304*1*1a02a13a0*1*(x)11 a0*1 a1*61x1a1*16234221ak* ( f ,k )0.005561 2f 2k05 分更多精品文档学习 - 好资料(2) 设 2* ( x) b0* x100b1* x101,( 0 ,1 )(1,0)x100x101dx1,(0 ,0 )( x100 )2 dx1110201020212dx1111x103dx(1 ,1)( x101 ),( f ,

3、0 )x102 dx,( f , 1 )0020301031*1*1201b0202b1103b0*375.242531*1*1b1*375.14825202b0203b11042* ( x)375.24253x100375.14825 x101 .1111 22fbk* ( f , k )x4dx 375.24253375.148252220103104k 0（4 分）由结果知（ 1）比（ 2）好。（比较 1 分）111x144、用列主元素消元法求解方程组543x212 .（10）211x3111114r1 r254312解：解：54312111421111211115431254312r2

4、1r1128r2r3131 79500r32r155555513179012850555555154312r3r2131791305550551313（8 分）回代得x31, x2 6, x13 。（2 分）5、对线性代数方程组（10）1.1040.16406更多精品文档学习 - 好资料2 x1x2x41x1x35x46x24x3x48x13x2x33设法导出使雅可比（ Jacobi ）迭代法和高斯赛德尔（ G-S）迭代法均收敛的迭代格式，要求分别写出迭代格式，并说明收敛的理由。解：2101110156 A | b1418013103r2r4r1 10r21971101013103014181

5、0156因其变换后为等价方程组， 且严格对角占优， 故雅可比和高斯赛德尔迭代法均收敛。（5 分）雅可比迭代格式为：x1(m 1)1 (7 x2(m)x3( m)10x4m 10)19x2(m 1)1( x1( m)x3(m)3)3( m 0,1,2, )1 ( x2(m)x3(m 1)x4(m )8)4x4(m 1)1 ( x1( m)x3(m )6)5（2 分）高斯赛德尔代格式为：x1( m 1)x2(m 1)x3( m 1)x4(m 1)1 (7 x2(m)x3( m)10x4m 10)191(x1(m 1)x3(m)3)3(m 0,1,2, )1 ( x2(m1)x4(m)8)41 (

6、x1(m1)x3(m1)6)5（3 分）更多精品文档学习 - 好资料6、取节点 x00, x10.5, x21 ,求函数 f ( x)e x 在区间 0,1 上的二次插值多项式 P2 ( x) ,并估计误差。（ 8 分）解：P2 ( x)e 0( x0.5)( x1)e 0.5(x0)( x1)( 00.5)( 01)(0.50)(0.51)e 1( x0)( x0.5)(10)(10.5)2( x0.5)( x1)4e 0.5 x( x1)2e 1x( x 0.5)又 f ( x) ex , f ( x)e x , M 3max | f( x) |1x0,15 分故截断误差| R2 ( x)

7、 |e xP2( x) |1 | x( x0.5)( x1)|。 3分3!7、用幂法求矩阵 A993按模最大的特征值及相应的特征向量，取330.9x0 (1,1)T ，精确至 7 位有效数字。（10）ykAxk 1993mkm a xy(k )解：幂法公式为， A0.9xkyk / mk33取 x0=(1,1)T，列表如下：kyTmkxT1(102，33.9)102(1,0.332353)2(99.997059,33.2991174)99.997059(1,0.3330009675)3(99.9990029,33.29970087)99.9990029(1,0.333000329)4(99.9

8、9900098,33.29970029)99.99900098(1,0.333000330)因为 | m4 m3 |1 10 5，所以21 99.99900098, v1(1,0.33300033) T更多精品文档学习 - 好资料8、用欧拉方法求y( x)x e t2dt0在点 x0.5, 1.0, 1.5, 2.0处的近似值。（8 分）解： y(x)x e t2dt 等价于0yex2y(0)0( x0 )（2 分）记 f ( x, y )e x 2 ,取 h 0.5 , x00, x10.5, x21.0, x3 1.5, x4 2.0 .则由欧拉公式yn 1ynhf ( xn , yn )

9、0,1,2,3 2 分y00n,可得y(0.5)y10.5,y(1.0)y2 0.88940,y(1.5) y31.07334,y( 2.0)y41.126044 分400，求 A1， A，|A|29、已知 A= 01110 分010解： |A|1 4, |A|4 ，（4 分）4004001600ATA 011011021010010011，1600|ATA E|021(16 )( 23 1)0011得35 ,16 所以| A|2 4 。（6 分）2，更多精品文档学习 - 好资料10、 n=3,用复合梯形公式求1 ex dx 的近似值（取四位小数） ,并求误差估计。（50分）110 e02(e

10、1 3e2 3) e1 1.7342解： ex dx T3023f ( x)ex , f ( x)ex ， 0x 1时， | f ( x) | e3 分| R |exT3 |ee0.0250.051232108至少有两位有效数字。2 分11、 下列方程组 Ax=b，考查用 Jacobi 法和 GS法解此方程组的收敛性. （ 8 分）解： Jacobi 法的迭代矩阵是即，故， Jacobi 法法收敛、（4 分）GS法的迭代矩阵为更多精品文档学习 - 好资料故，解此方程组的GS法不收敛。（4 分）12、写出用四阶经典的龙格库塔方法求解下列初值问题的计算公式： （无需计算）y xy, 0x 1;y

11、3 y(1 x ), 0x 1;1)1;2)y(0)y (0)1.解：令 h 0.2k1f ( xn , yn )xnynhhhhk2f ( xn2 , yn2 k1 )xn2yn2 k11.1(xnyn ) 0.11)h , ynh k2 )hh k2k3f ( xnxnyn1.11( xnyn )0.112222k4f (xnh, ynhk3 )xnhynhk3 1.222( xnyn )0.222yn 1ynh2k22k3k4 )0.2214 xn1.2214 yn 0.0214(k16k13 yn /(1xn )k23( yn0.1k1 ) /(1xn0.1)2)3( yn0.1k2 ) /(1xn0.1)k3k43( yn0.2 k3 ) /(1xn0.2)yn 1yn0.2 (k12k22k3k4 ).613、 若，求和解：由均差与导数关系于是更多精品文档学习 - 好资料14、确定下列求积公式中的待定参数，使其代