概率论5-1-2-习题课[章节课堂]

1、第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 5.1 大数定律大数定律 5.2 中心极限定理中心极限定理 第一节第一节 大数定律大数定律 一、问题的引入一、问题的引入 二、基本定理二、基本定理 三、典型例题三、典型例题 四、小结四、小结 第一章引入概率概念时，曾经指出，事件发第一章引入概率概念时，曾经指出，事件发 生的频率在一、二次或少数次试验中具有随机性生的频率在一、二次或少数次试验中具有随机性 的，但随着试验次数的，但随着试验次数n的增大，频率将会逐渐稳的增大，频率将会逐渐稳 定且趋近于概率。特别，当定且趋近于概率。特别，当n很大时，频率与概很大时，频率与概 率会非常率会非常

2、“接近接近”的。这个非常的。这个非常“接近接近”是什么是什么 意思？意思？ 这与高等数学中的极限概念有否联系？本章将从这与高等数学中的极限概念有否联系？本章将从 理论上讨论这一问题。理论上讨论这一问题。 一、问题的引入一、问题的引入 定理定理1 设随机变量的数学期望设随机变量的数学期望EX= ，方差方差DX= 2， 则对任意的正数则对任意的正数 ，不等式，不等式 (1) 成立。这个不等式称为契贝雪夫成立。这个不等式称为契贝雪夫(Cheby shev)不等式。不等式。 2 2 | XP 证证 我们仅就连续型随机变量情形加以证明。我们仅就连续型随机变量情形加以证明。 设设X的概率密度为的概率密度为

3、 f(x)，于是于是 xx dxxf x dxxfXP)( )( )(| 2 2 2 2 2 2 2 )()( 1 DX dxxfx 22 2 | DX XP 式式(1)表明当表明当DX很小时，概率很小时，概率P|X- -EX| 更小。更小。 这就是说在上述条件下，随机变量这就是说在上述条件下，随机变量X落入落入EX的的 邻域邻域 之外的可能性很小，也即落入之外的可能性很小，也即落入EX的的 邻域内可能性邻域内可能性 很大。由此说明很大。由此说明X的取值比较集中，也即离散程度较的取值比较集中，也即离散程度较 小，这正是方差的意义所在。小，这正是方差的意义所在。 契贝雪夫不等式在理论研究和实际应

4、用中都有契贝雪夫不等式在理论研究和实际应用中都有 很重要的价值。很重要的价值。 (1) 例例1 已知正常男性成人血液中，每一毫升血液中白细已知正常男性成人血液中，每一毫升血液中白细 胞的平均数是胞的平均数是7300，均方差是，均方差是700。试估计每毫升血。试估计每毫升血 液中白细胞数在液中白细胞数在52009400之间的概率。之间的概率。 解解 设每一毫升血液中白细胞数为设每一毫升血液中白细胞数为X ，则由上式有，则由上式有 2100|7300|94005200 XPXP 契贝雪夫不等式也可以写成如下等价形式契贝雪夫不等式也可以写成如下等价形式 2 2 1| XP 的的值值。不不等等式式估估

5、计计 试试用用切切比比雪雪夫夫的的标标准准差差为为思思考考题题：设设随随机机变变量量 5 . 7| , 5 . 2 EXXP X . 9 8 2100 700 1 2 2 ! 9 1 5 . 7 5 . 2 5 . 7| 2 2 EXXP 定理定理2 （伯努利（伯努利(Bernoulli)大数定律）设大数定律）设 是是n次独立次独立 重复试验中事件重复试验中事件A发生的次数，发生的次数，p是事件是事件A在每次试验在每次试验 中发生的概率，则对任意正数中发生的概率，则对任意正数 0，有，有 A n 1 lim p n n P A n 或或 0 lim p n n P A n 证证 令令 )1(

6、.,0 ,1 ni iA iA X i 次次试试验验中中不不出出现现在在第第 次次试试验验中中出出现现在在第第 则则X1，X2，Xn是是n个相互独立的随机变量，且个相互独立的随机变量，且 nippDXpEX ii , 2 , 1, )1 (, 易知易知 nA XXXn 21 于是，于是， 2 | DX EXXPp n n P A 由契贝雪夫不等式得由契贝雪夫不等式得 , n n X A 令令 pEn nn n EEX A A 1 则则 又由又由X1，X2，Xn的独立性可知的独立性可知 n pp nD nn n DDX A A )1( )( 1 2 从而有从而有 )(0 )1 (1 | 22 n

7、 pp n DX p n n P A 上述伯努利大数定律从理论上给出了频率上述伯努利大数定律从理论上给出了频率“接接 近近”概率这种概率这种“现象现象”的更加确切的含意，它反的更加确切的含意，它反 映了大数次重复试验下随机现象所呈现的统计规映了大数次重复试验下随机现象所呈现的统计规 律性。律性。 设设Y1，Y2，Yn，是一个随机变量序列，是一个随机变量序列，a 是一个常数，若对任意的正数是一个常数，若对任意的正数 ，有，有 1|lim aYP n n 则称随机变量序列则称随机变量序列Yn依概率收敛依概率收敛于于a，记作记作 )( naY P n 定理定理2 是是n次独立重复试验中事件次独立重复

8、试验中事件A发生的次数，发生的次数， p是事件是事件A在每次试验中发生的概率，则在每次试验中发生的概率，则 A n )( np n n P A 定理定理3（契贝雪夫大数定律）（契贝雪夫大数定律）设设X1，X2，Xn，是是 相互独立的随机变量序列，又设它们的方差有界，即相互独立的随机变量序列，又设它们的方差有界，即 存在常数存在常数c0，使得使得 , 2 , 1 , icDX i 则对任意的则对任意的 0，有，有 证明（略）证明（略） 1 11 11 lim n i n i ii n EX n X n P 或或 0 11 11 lim n i n i ii n EX n X n P 伯努利大数定

9、律是契贝雪夫大数定律的特例伯努利大数定律是契贝雪夫大数定律的特例, 在在 它们的证明中它们的证明中, 都是以契贝雪夫不等式为基础的都是以契贝雪夫不等式为基础的, 所所 以要求随机变量具有方差。但进一步的研究表明，以要求随机变量具有方差。但进一步的研究表明， 方差存在这个条件并不是必要的。即有下面的独立方差存在这个条件并不是必要的。即有下面的独立 同分布的辛钦大数定律。同分布的辛钦大数定律。 定理定理4 (辛钦辛钦()大数定律大数定律)设设X1，X2， Xn，是相互独立的随机变量序列，且数学期望存是相互独立的随机变量序列，且数学期望存 在在: , 2 , 1, iEX i 则对任意的则对任意的

10、0，有，有 证明（略）证明（略） 1 1 1 lim n i i n X n P )( 1 1 nX n X n i P i 这就为寻找随机变量的期望值提供了一条实际这就为寻找随机变量的期望值提供了一条实际 可行的途径。可行的途径。 伯努利大数定律说明了当伯努利大数定律说明了当n很大时，事件发生的频很大时，事件发生的频 率会非常率会非常“接近接近”概率，而这里的辛钦大数定律则概率，而这里的辛钦大数定律则 表明，当表明，当n很大时，随机变量很大时，随机变量X在在n次观察中的算术平次观察中的算术平 均值均值 也会也会“接近接近”它的期望值，即它的期望值，即 X 三、典型例题三、典型例题 ? 2 1

11、1 1 2 1 0 , 222 21 理理问是否满足契比雪夫定问是否满足契比雪夫定 具有如下分布律：具有如下分布律： 相互独立相互独立设随机变量设随机变量 nnn P nanaX XXX n n 解解 独立性依题意可知独立性依题意可知, 检验是否具有数学期望？检验是否具有数学期望？ )( n XE 2 2 22 2 2 1 ) 1 1(0 2 1 n na nn na , 0 例例2 说明每一个随机变量都有数学期望说明每一个随机变量都有数学期望, 检验是否具有有限方差？检验是否具有有限方差？ 222 22 2 2 11 1 2 1 )(0)( nnn P nanaX n )( 2 n XE,

12、2 1 )(2 2 2 2 a n na )( n XD 22 )()( nn XEXE . 2 a 说明离散型随机变量有有限方差说明离散型随机变量有有限方差, 故满足契比雪夫定理的条件故满足契比雪夫定理的条件. 有有意正数意正数 证明对任证明对任且且 独立同分布独立同分布设随机变量设随机变量 , 2 , 1,)(, 0)( , 2 21 kXDXE XXX kk n 解解 . 1 1 lim 2 1 2 n k k n X n P 是相互独立的，是相互独立的，因为因为, 21n XXX 也是相互独立的，也是相互独立的，所以所以, 22 2 2 1n XXX , 0)( k XE由由 22 )

13、()()( kkk XEXDXE 得得, 2 由由辛钦定理辛钦定理知知 有有对于任意正数对于任意正数 , . 1 1 lim 2 1 2 n k k n X n P 例例3 四、小结四、小结 三个大数定理三个大数定理 契比雪夫定理的特殊情况契比雪夫定理的特殊情况 伯努利大数定理伯努利大数定理 辛钦定理辛钦定理 频率的稳定性是概率定义的客观基础频率的稳定性是概率定义的客观基础, , 而伯而伯 努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳 定性定性. . 第二节第二节 中心极限定理中心极限定理 一、问题的引入一、问题的引入 二、基本定理二、基本定理 三、小结

14、三、小结 一、问题的引入一、问题的引入 在第二章介绍正态分布时曾经特别强调了它在第二章介绍正态分布时曾经特别强调了它 在概率论与数理统计中的地位与作用，为什么会有在概率论与数理统计中的地位与作用，为什么会有 许多随机变量遵循正态分布？仅仅是经验猜测还是许多随机变量遵循正态分布？仅仅是经验猜测还是 确有理论根据？这当然是一个需要弄清的问题。确有理论根据？这当然是一个需要弄清的问题。 实践表明，客观实际中有很多随机变量，它实践表明，客观实际中有很多随机变量，它 们往往是由大量的相互独立的随机因素的综合作用们往往是由大量的相互独立的随机因素的综合作用 所形成的。而其中每一个别因素在总的影响中所起所形

15、成的。而其中每一个别因素在总的影响中所起 的作用是微小的。的作用是微小的。 下面将要介绍的中心极限定理从理论上阐明了下面将要介绍的中心极限定理从理论上阐明了 这样的随机变量总是近似地服从正态分布的。这样的随机变量总是近似地服从正态分布的。 定理定理5（独立同分布的林德贝尔格（独立同分布的林德贝尔格-勒维勒维(Lindeberg Levy)中心极限定理）中心极限定理）设设X1，X2，Xn，是相是相 互独立，且服从同一分布的随机变量序列，并具有数互独立，且服从同一分布的随机变量序列，并具有数 学期望和方差：学期望和方差： , 2 , 1, 0, 2 iDXEX ii 则对任意的则对任意的x有有 证

16、明（略）证明（略） dtex n nX P x t n i i n 2 1 2 2 1 lim 二、基本定理二、基本定理 两点说明：两点说明： 1无论随机变量无论随机变量X1，X2，Xn，服从同一分布服从同一分布 的情况如何，只要的情况如何，只要Xi满足定理的条件，则随机变量满足定理的条件，则随机变量 序列：序列： n nX Y n i i n 1 当当n无限增大时，总以标准正态分布为其极限分布。无限增大时，总以标准正态分布为其极限分布。 或者说，当或者说，当n充分大时，充分大时，Yn近似服从标准正态分布。根近似服从标准正态分布。根 据这一点，在实际应用中，只要据这一点，在实际应用中，只要n充

17、分大，我们便可把充分大，我们便可把 n个独立同分布的随机变量的和当作正态随机变量。个独立同分布的随机变量的和当作正态随机变量。 2因为对因为对 n i i n i i n n X n nX Y 1 1 中每一被加项中每一被加项 n X i 有有 n XD nn X D i i 1 )( 1 2 故有故有 0 1 limlim nn uX D n i n 即即 Yn中每一被加项对总和的影响都很微小，中每一被加项对总和的影响都很微小， 但它们迭加的和却以标准正态分布作为极限。但它们迭加的和却以标准正态分布作为极限。 例例1 设有设有100个电子器件，它们的使用寿命个电子器件，它们的使用寿命 X 1

18、， ， X2，X100均服从参数为均服从参数为 =0.05(h-1)的指数分布，的指数分布， 其使用情况为：第一个损坏第二个立即使用，第二个其使用情况为：第一个损坏第二个立即使用，第二个 损坏第三个立即使用等等。令损坏第三个立即使用等等。令 表示这表示这100个电子器件个电子器件 使用的总时间，试求使用的总时间，试求X超过超过1800h小时的概率。小时的概率。 解解 由于由于Xi 服从参数为服从参数为 = 0.05的指数分布。因此的指数分布。因此 100, 2 , 1,400 1 ,20 1 2 iDXEX ii dte t 2 1 2 2 1 1 1 200 2000X P 10020 20

19、1001800 10020 20100 1800 X PXP 1 200 2000 1 X P )1(1 .8413.0)1( 又由题设知又由题设知 ，因此由定理，因此由定理5得：得： 100 1i i XX 作为定理作为定理5的推论有的推论有 定理定理6（德莫佛（德莫佛拉普拉斯拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理定理） 在在n重贝努里试验中，事件重贝努里试验中，事件A在每次试验中出现的概率在每次试验中出现的概率 为为p，Yn为为n次试验中事件次试验中事件A出现的次数，则对任意的出现的次数，则对任意的x， 有有 dtex pnp npY P t x n n 2 2 2 1 )1

20、( lim 证证 由由5.1的定理的定理2的证明可知，的证明可知，Yn可以看成是可以看成是n个个 相互独立，且服从同一相互独立，且服从同一(0-1)分布的随机变量分布的随机变量X 1， ， X2，Xn之和，即之和，即 )1(,ppDXpEX ii 且且 n i in XY 1 由定理由定理5得：得： dtex pnp npY P t x n n 2 2 2 1 )1( lim 定理表明，二项分布的极限分布是正态分布。因此，定理表明，二项分布的极限分布是正态分布。因此， 当当n充分大时，我们可以利用上式来计算二项分布的概率。充分大时，我们可以利用上式来计算二项分布的概率。 下面的图形表明下面的图

21、形表明:正态分布是二项分布的逼近正态分布是二项分布的逼近. 定理定理7（李雅普诺夫（李雅普诺夫Liapunov定理）定理）设随机变量设随机变量 X1，X2，Xn ，相互独立，且相互独立，且 n i iniiii BiDXEX 1 2 2 2 ), 2 , 1( , 0, ，记，记 若存在若存在 0，使得，使得 )(0| 1 2 1 2 nXE B i n i i n 则对任意的则对任意的x，有有 证略。证略。 x t n i ii n n dtex B P 2 1 2 2 1 )( 1 lim 对于相互独立但不同分布的随机变量和的分布对于相互独立但不同分布的随机变量和的分布 的极限问题的极限问

22、题, 有李雅普诺夫中心极限定理。有李雅普诺夫中心极限定理。 不难看出，当不难看出，当n很大时，很大时， n i n i n i ii n ii n n X B X B Y 111 1 )( 1 近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布N(0，1)，也即也即 n i inn n i i YBX 11 近似服从正态分布：近似服从正态分布： ),( 2 1 n n i i BN 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪已知每遭受一次海浪 的冲击的冲击, 纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率为的概率为1/3, 若船舶遭受若船舶遭受 了了90 000次波浪冲击次波浪冲击, 问其中有问其中有

23、29 50030 500次次 纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率是多少？的概率是多少？ 解解 将船舶每遭受一次海将船舶每遭受一次海 浪的冲击看作一次试验浪的冲击看作一次试验, 并假设各次试验是独立的并假设各次试验是独立的, 在在90 000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为的次数为 X, 则则 X 是一个随机变量是一个随机变量, . ) 3 1 ,00090( bX且且 例例2 所求概率为所求概率为 3050029500 XP. 3 2 3 1 90000 30500 29501 90000 kk k k C 分布律为分布律为 kXP , 3 2 3 1 00090 90

24、000 kk k C .00090, 1 k 直接计算很麻烦，利用直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理 3050029500 XP )1( 30500 )1()1( 29500 pnp np pnp npX pnp np P )1( 30500 )1( 29500 2 de 2 1 2 pnp np pnp np t t )1( 29500 )1( 30500 pnp np pnp np , 3 1 ,90000 pn 3050029500 XP 2 25 2 25 .9995. 0 某保险公司的老年人寿保险有某保险公司的老年人寿保险有1万人参加万人参加,每每 人每年交人每

25、年交200元元. 若老人在该年内死亡若老人在该年内死亡,公司付给家公司付给家 属属1万元万元. 设老年人死亡率为设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在试求保险公司在 一年内的这项保险中亏本的概率一年内的这项保险中亏本的概率. 解解设设 X 为一年中投保老人的死亡数为一年中投保老人的死亡数, ),(pnBX则则 ,017. 0,10000 pn其中其中 由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知, 例例3 2001000010000 XP200 XP )1( 200 )1(pnp np pnp npX P 321. 2 )1(pnp npX P .01. 0)321. 2(1 保险公司亏本

26、的概率保险公司亏本的概率 ., 1 , ), 2, 1()1, 1( , 1 2 21 并指出其分布参数并指出其分布参数正态分布正态分布 近似服从近似服从随机变量随机变量充分大时充分大时证当证当 试试上服从均匀分布上服从均匀分布在区间在区间 且且相互独立相互独立设随机变量设随机变量 n i n in i X n Zn ni XXXX 证证 ), 2 , 1(, 2 niXY ii 记记 )()( 2 ii XEYE )( i XD , 3 1 22 )()()( iii YEYEYD .)()( 24 ii YEXE 例例4 1 1 44 d 2 1 )( iii xxXE因为因为, 5 1

27、2 3 1 5 1 )( i YD所以所以 , 45 4 , 21 相互独立相互独立因为因为 n XXX ., 21 相互独立相互独立所以所以 n YYY 根据根据独立同分布的中心极限定理，独立同分布的中心极限定理， n i n i XZn 1 2 n i i Y 1 , 45 4 , 3 nn N近似服从正态分布近似服从正态分布 . 45 4 , 3 1 n NZ 近似地服从正态分布近似地服从正态分布故故 例例5 随机变量随机变量X 表示对概率为表示对概率为p的事件的事件A做做n次重复独次重复独 立试验时，立试验时，A出现的次数。试分别用契贝雪夫不等式出现的次数。试分别用契贝雪夫不等式 及中

28、心极限定理估计满足下式的及中心极限定理估计满足下式的n： %99 2 1 DXp n X P 解：解：记记 n X Y 由于由于Y B(n，p)，故故EX=np，EY=p， n pp n DX DY )1( 2 (1)根据契贝雪夫不等式，有根据契贝雪夫不等式，有 DXEYYPDXp n X P 2 1 | 2 1 %99 4 1 2 n 为为使使 .20 n解解得得 2 2 4 1 ) 2 1 ( 1 n DX DY (2)以以Xi 表示每次试验时表示每次试验时A出现的次数，则出现的次数，则Xi 服从参数服从参数 为为p的的0-1分布，且分布，且EXi =p，DXi =p(1-p) ，而而 n

29、 i i n X n X Y 1 是是n个独立同分布的随机变量之和，故由中心极限定个独立同分布的随机变量之和，故由中心极限定 理知理知 )1, 0( N DY EYY 因此有因此有 DXp n X P 2 1 DY DX DY EYY P 2/ ,99. 01 2 2 n 为为使使 DXEYYP 2 1 1 2 21- 2 2 n DY DX 6,16. 5 nn即即查查表表得得 例例6 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一 种疑难的血液病的治愈率为种疑难的血液病的治愈率为0.8。医院检验员任意抽。医院检验员任意抽 查查100个服用此药品的人，如果其

30、中多于个服用此药品的人，如果其中多于75人治愈，人治愈， 就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。 (1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接，问接 受这一断言的概率是多少？受这一断言的概率是多少？ (2)若实际上此药品对这种疾病的治愈率为若实际上此药品对这种疾病的治愈率为0.7，问接，问接 受这一断言的概率是多少？受这一断言的概率是多少？ 解：解：(1)以以X表示表示100人中治愈人数，则人中治愈人数，则X B(100，0.8) 所求概率为所求概率为 2 . 08 . 0100 8 . 010075 2 . 08 .

31、 0100 8 . 0100 75 X PXP 8944. 025. 11 (2)依题依题X B(100，0.7) 3 . 07 . 0100 7 . 010075 3 . 07 . 0100 70. 0100 75 X PXP 1379. 08621. 0109. 11 所求概率为所求概率为 三、小结三、小结 三个中心极限定理三个中心极限定理 独立同分布的中心极限定理 独立同分布的中心极限定理 李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理 德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理 中心极限定理表明中心极限定理表明, 在相当一般的条件下在相当一般的条件下, 当独立随机变量的个数增加时当独立随机变量的个数增加时,

32、其和的分布趋于其和的分布趋于 正态分布正态分布. 第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理 习习 题题 课课 二、主要内容二、主要内容 三、典型例题三、典型例题 一、重点与难点一、重点与难点 一、重点与难点一、重点与难点 1.重点重点 中心极限定理及其运用中心极限定理及其运用. 2.难点难点 证明随机变量服从大数定律证明随机变量服从大数定律. 大数定律大数定律 二、主要内容二、主要内容 中心极限定理中心极限定理 定定 理理 2 定理定理3 定理定理4 定理定理2 的另一种表示的另一种表示 定理定理5 定理定理6 定理定理7 契比雪夫定理的特殊情况契比雪夫定理的特殊情况 有有数

33、数 则对于任意正则对于任意正的算术平均的算术平均 个随机变量个随机变量作前作前 和方差：和方差：且具有相同的数学期望且具有相同的数学期望 相互独立相互独立设随机变量设随机变量 , 1 ), 2, 1()( ,)( , 1 2 21 n k k k k n X n X nkXD XE XXX . 1 1 lim|lim 1 n k k nn X n PXP 定理一的另一种表示定理一的另一种表示 . , 1 ), 2, 1()( ,)( , , , , 1 2 21 P n k kk k n X X n XkXD XE XXX 即即依概率收敛于依概率收敛于 则序列则序列 和方差：和方差：且具有相同

34、的数学期望且具有相同的数学期望 相互独立相互独立设随机变量设随机变量 伯努利大数定理伯努利大数定理 有有则对于任意正数则对于任意正数 率率在每次试验中发生的概在每次试验中发生的概是事件是事件的次数的次数 发生发生次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件是是设设 , 0 , , Ap AnnA . 0lim1lim p n n Pp n n P A n A n 或或 辛钦定理辛钦定理 ), 2 , 1( )( , , , , 21 k XE XXX k n 且具有数学期望且具有数学期望服从同一分布服从同一分布 相互独立相互独立设随机变量设随机变量 有有则对于任意正数则对于任意正数, . 1 1

35、lim 1 n k k n X n P 独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理 则随机变量之和的则随机变量之和的 和方差：和方差：且具有数学期望且具有数学期望同一分布同一分布 服从服从相互独立相互独立设随机变量设随机变量 ), 2 , 1(0)( ,)(, , 2 21 kXD XE XXX k k n . 1 11 n k k n k k n k k n XD XEX Y标准化变量标准化变量 满足满足对于任意对于任意的分布函数的分布函数xxFn)( x t xt).(de 2 1 2 2 x n nX PxF n k k n n n 1 lim)(lim 李雅普诺夫定理李雅普诺夫定

36、理 , 0| 1 , , ), 2 , 1(0)(,)( , 1 2 2 1 22 2 21 n k kk n n k kn kkkk n XE B n B kXDXE XXX 时时使得当使得当若存在正数若存在正数 记记 和方差：和方差：们具有数学期望们具有数学期望 它它相互独立相互独立设随机变量设随机变量 则随机变量之和的标准化变量则随机变量之和的标准化变量 n k k n k k n k k n XD XEX Z 1 11 n n k k n k k B X 11 满足满足对于任意对于任意的分布函数的分布函数xxFn)( x B X PxF n n k k n k k n n n 11 l

37、im)(lim x t xt).(de 2 1 2 2 德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理 恒有恒有对于任意对于任意则则的二项分布的二项分布 服从参数为服从参数为设随机变量设随机变量 ,)10( ,), 2 , 1( xp pnn n x t n n tx pnp np P.de 2 1 )1( lim 2 2 三、典型例题三、典型例题 解解 . , 1 , : 4). 3, 2,1,()( , , 1 2 21 指出其分布参数指出其分布参数 并并近似服从正态分布近似服从正态分布随机变量随机变量大时大时 充分充分当当证明证明已知已知样本样本 的简单随机的简单随机是来自总体是来自总体假设假设 n i in k k n X n Z nkXE XXXX , , 21 独立同分布独立同分布因为因为 n XXX , , 22 2 2 1 也独立同分布也独立同分布所以所以 n XXX 例例1 ,)( 2 2 i XE且且 ,)()()( 2 24 2242 iii EXXEXD 根据根据独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极