小学奥数4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型(二).教师版

1、4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型例题精讲板块一三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1，则三角形面积与原来的一3样这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化同时也告诉我们：一个三角形

2、在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图s:s=a:b12abs1s2abcd夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图acd=，则可知直线ab平行于cdacd=s等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；bcd反之，如果sbcd三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比板块二鸟头模型两个三角形中有

3、一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图在abc中，d,e分别是ab,ac上的点如图(或d在ba的延长线上，e在ac上)，则sabc:sade=(abac):(adae)daadeebcbc4-3-2三角形等高模型与鸟头模型题库page1of10方厘米，求abc的面积图图【例1】如图在abc中，d,e分别是ab,ac上的点，且ad:ab=2:5，ae:ac=4:7，adeaa=16平ddeebcbcade:s=ae:ac=4:7=(45):(75)，所以s=(24):(75)，设s=8份，abe:s=16平方厘米，所以1份是

4、2平方厘米，35份就是70平方厘米，abc的面积是70平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相【考点】三角形的鸟头模型【难度】2星【题型】解答【解析】连接be，s=ad:ab=2:5=(24):(54)，abe:sabcadeabcade则=35份，abcade等角或互补角)两夹边的乘积之比【答案】70【巩固】如图，三角形abc中，ab是ad的5倍，ac是ae的3倍，如果三角形ade的面积等于1，那么三角形abc的面积是多少？aadedebcc又ab=5adb【考点】三角形的鸟头模型【难度】2星【题型】解答【解析】连接beec=3aes=3sabcabes

5、【答案】15ade=sabe5=sabc15，sabc=15sade=15【巩固】如图，三角形abc被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，bd=dc=4，be=3，ae=6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？aaeb甲cb又bd=dc=4，乙d【考点】三角形的鸟头模型【难度】2星【题型】解答【解析】连接adbe=3，ae=6ab=3be，s=3sabdbdee甲d乙cs【答案】5abc=2sabd，sabc=6sbde，s=5s乙甲4-3-2三角形等高模型与鸟头模型题库page2of10【例2】如图在abc中，d在ba的延长线上，e在ac上，且ab:ad=5:2，ae:ec=3:2，ade=12平方厘

6、米，求abc的面积ddaaeebcbcade:sabe=ad:ab=2:5=(23):(53)abe:s【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【解析】连接be，ss=ae:ac=3:(3+2)=(35):(3+2)5，abcs:s=(32):5(3+2)=6:25，设s=6份，则=25份，=12平方厘adeabcadeabcade米，所以12平方厘米，25份就是50平方厘米，abc的面积是50平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【答案】50【例3】如图所示，在平行四边形abcd中，e为ab的中点，af=2cf，三

7、角形afe(图中阴影部分)的面积为8平方厘米平行四边形的面积是多少平方厘米？dcfaeb【考点】三角形的鸟头模型【难度】2星【题型】解答=【解析】连接fb三角形afb面积是三角形cfb面积的2倍，而三角形afb面积是三角形aef面积的2倍，所以三角形abc面积是三角形aef面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形abc面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形afe面积的（32）6倍因此，平行四边形的面积为86=48(平方厘米)【答案】48【例4】已知def的面积为7平方厘米，be=ce,ad=2bd,cf=3af，求abc的面积afdbecbde:scef:sabc=(cecf):(cbca

8、)=(13):(24)=3:8adf:sabc=(adaf):(abac)=(21):(34)=1:6【答案】24【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【解析】s=(bdbe):(babc)=(11):(23)=1:6，abcss=24份，则s=4份，s=4份，s=9份，abcbdeadfcefdef平方厘米，所以=24平方厘米abc=24-4-4-9=7份，恰好是74-3-2三角形等高模型与鸟头模型题库page3of10111三角形def的面积【例5】如图16-4，已知ae=ac，cd=bc，bf=ab，那么等于多少?546三角形abc的面积【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题

9、型】解答【关键词】迎春杯，决赛，第一题，9题【解析】如下图，连接ad，be，cf.abe=sabe,即=saef=sabc=saef=abc.cde=sabc=sbdf=sabc=s455638saeae有abe，abc的高相等，面积比为底的比，则有abe=，所以ssacacabcaf151同理有ssab566141111类似的还可以得到s，sabcabc5abc=1sabcbdf)=(1-abc=所以有sdef=sabc-(saef+scde+s11161-)s658120sabc三角形def的面积61即为三角形abc的面积120【答案】61120【例6】如图，三角形abc的面积为3平方厘米

10、，其中ab:be=2:5，bc:cd=3:2，三角形bde的面积是多少？abcdeabcdeabc:s=6份，恰好是3平方厘米，所以份是0.5平方厘米，25份就是250.5=12.5平方厘米，三角bde的面积是12.5平方厘米【考点】三角形的鸟头模型【难度】2星【题型】解答【解析】由于abc+dbe=180，所以可以用共角定理，设ab=2份，bc=3份，则be=5份，bd=3+2=5份，由共角定理s=(abbc):(bebd)=(23):(55)=6:25，设bdesabc【答案】12.5【例7】如图所示，正方形abcd边长为6厘米，ae=平方厘米11ac，cf=bc三角形def的面积为_33

11、4-3-2三角形等高模型与鸟头模型题库page4of10fc【解析】由题意知ae=ac、cf=bc，可得ce=ac根据”共角定理”可得，cef:s故s=+12-6=10(平方厘米adeb【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【关键词】走美杯，五年级，初赛112333s=(cfce):(cbac)=(12):(33)=2:9；而s=662=18；所以sabcabc同理得，s:=2:3;，s=1832=12，s=cdeacdcdecdfdef=scef+sdec-sdfc【答案】10cef=4；【例8】如图，已知三角形abc面积为1，延长ab至d，使bd=ab；延长bc至e，使ce=2b

12、c；延长ca至f，使af=3ac，求三角形def的面积ffaceacebbdds1同理可得其它，最后三角形def的面积=18【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【解析】(法1)本题是性质的反复使用连接ae、cdsabc=1，s=1，abcdbcs=1dbc(法2)用共角定理在abc和cfe中，acb与fce互补，同理可得s【答案】18acbc=11=sabc=1sfcce428fce又s=1，所以s=8abcfce所以s=s+s+s+sdefabcfceadf=6，s=3adfbdebde=1+8+6+3=18【例9】如图，把四边形abcd的各边都延长2倍，得到一个新四边形efgh

13、如果abcd的面积是5平方厘米，则efgh的面积是多少平方厘米?【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】方法一：如下图，连接bd，ed，bg，4-3-2三角形等高模型与鸟头模型题库page5of10有ead、adb同高，所以面积比为底的比，有sabead=easabd=2sabd=3s=6sabdadacd，=6(s)=6sabcd=30平方厘米.同理s=seaheadead有s+s+sefbdhgabcacdahfcgbcdeahfcgabdefbabcdhg连接ac，af，hc，还可得s=6s，s=6s类似的，还可得s=6s，有s+s=6(s+sbcd)=6sabcd=30

14、平方厘米有四边形efgh的面积为eah,fcg,efb,dhg,abcd的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米.)方法二：连接bd，有eah、abd中ead+bad=180又夹成两角的边ea、ah，ab、ad的乘积比，eaah=23=6，所以sabadeah=6sabdabcd=30平方厘米类似的，还可得s=6s，有s+s=6（s+sfcgbcdeahfcgabd连接ac，还可得s=6s，s=6s，有s+s=6（s+s）=6sefbdhgabcacdefbabcdhgacdbcd)=6sabcd=30平方厘米有四边形efgh的面积为eah，fcg，efb，dhg，abcd的面积和，即为3

15、0+30+5=65平方厘米【答案】65【例10】如图，平行四边形abcd，be=ab，cf=2cb，gd=3dc，ha=4ad，平行四边形abcd的面积是2，求平行四边形abcd与四边形efgh的面积比hhabeabegdcgdcff4-3-2三角形等高模型与鸟头模型题库page6of10【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】连接ac、bd根据共角定理在abc和bfe中，abc与fbe互补，所以saeh+scfg+sdhg+sbef+s所以sabcdsabc=abbc=11=1fbebebf133又=1，所以s=3abcfbe同理可得s=8=15，s=8gcfdhgaeh=s

16、efghabcd1=s3618efgh【答案】1=8+8+15+3+2=3618【例11】如图，四边形efgh的面积是66平方米，ea=ab，cb=bf，dc=cg，hd=da，求四边形abcd的面积hhdcgdcgfaeabbef【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答bcd:s同理sahe=1:2sahe=2sahe+scbd+sdhg+s四边形efgh=sahe+scgf+shdg+s四边形abcd=66=13.2平方米:sabdabd所以s=2(s)=scgfadb四边形abcd连接，同理可以得到s=2ss所以s【答案】13.2【解析】连接bd由共角定理得s=(cdcb):(c

17、gcf)=1:2，即scgfbef四边形abcdbef+s四边形abcd=5s四边形abcdcgf=2scdb【例12】如图，将四边形abcd的四条边ab、cb、cd、ad分别延长两倍至点e、f、g、h，若四边形abcd的面积为5，则四边形efgh的面积是bafeebfacdgcdg于是s再由于ae=3ab，ah=3ad，于是s于是s那么s【答案】60h【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】连接ac、bd由于be=2ab，bf=2bc，于是s=4s，同理s=4sdbefdabcdhdgdadc+s=4s+4s=4sdbefdhdgdabcdadcabcd=9s，同理s=9sd

18、aehdabddcfgdcbd+s=9s+9s=9sdaehdcfgdabddcbdabcd=s+s+s+s-s=4s+9s-s=12sefghdbefdhdgdaehdcfgabcdabcdabcdabcdhabcd=604-3-2三角形等高模型与鸟头模型题库page7of10【例13】如图，在abc中，延长ab至d，使bd=ab，延长bc至e，使ce=若abc的面积是2，则def的面积是多少？af12bc，f是ac的中点，bced【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【解析】在abc和cfe中，acb与fce互补，同理可得s=2，s=3def=abc+cef+sdeb-sabc=

19、acbc=22=4fcefcce111又s=2，所以s=0.5abcfceadfbde所以s【答案】3.5adf=2+0.5+3-2=3.5【例14】如图，abc=1，bc=5bd，ac=4ec，dg=gs=se，af=fg求sfgsafbdgsec【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况fgs=最后求得sfgs的面积为4321115432210【答案】110【

20、例15】如图所示，正方形abcd边长为8厘米，e是ad的中点，f是ce的中点，g是bf的中点，三角形abg的面积是多少平方厘米？aedaedffggbcbc【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】连接af、egbcf=82=16，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积因为cde144-3-2三角形等高模型与鸟头模型题库page8of10或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到s【答案】12比等于夹这个角的两边长度的乘积比”s=8，s=8，再根据”当两个三角形有一个角相等aefefg=16，s=32，bfcabfes=24，所以s=12平方厘米abfabg【例16】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积fhaebgcd【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形def，则dagf与dceh都是正三角形假设正六边形的边长为为a，则dagf与dceh的边长都是4a，所以大正三角形def的边长为42-1=7，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以