不等式及不等式选讲概念方法题型易误点及应试技巧总结

1、概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 不等式及不等式选讲（ 4-5 ） 一不等式的性质 ：1同向不等式可以相加； 异向不等式变向相加 ：若a b,c d ，则a c b d（若a b,c d，则 a （ c） b （ d ） ），但异向不等式不可以直接相加；同向不等式不可以相减；2 左右同正不等式：同向的不等式可以相乘 ，但不能相除； 异向不等式取倒相乘 ，但不能11相除：若 a b 0,c d 0，则ac bd（若a b 0,0 c d，则 a b ）；cd3左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方 ：若 a b 0，则 an bn或 n a n b ；1 11 14若ab 0，a b，则

2、1 1；若 ab 0，a b，则 1 1 。如a ba b（1）对于实数 a,b,c 中，给出下列命题：若a22b,则ac2 bc 2； 若 ac2bc2,则a b ；若ab 0,则a 2ab b 2 ；若ab 0, 则1 1 ；ab若ab 0,则 ba 若 ab 0, 则a b ；ab若ca b 0, 则a b ；若ab, 1a 1b，则 a 0,b 0 。c a c bab其中正确的命题是 （答：）；（2）已知1 x y 1，1 x y 3 ，则 3x y的取值范围是 （答： 1 3x y 7）； 不等式大小比较的常用方法 ：1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2作

3、商（常用于分数指数幂的代数式） ；3分析法；4平方法； 5分子（或分母）有理化；6利用函数的单调性；7寻找中间量或放缩法 ；8图象法。 其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如1 t 1（1）设a 0且a 1,t 0，比较 1 log a t和log a t 1的大小221 t1 1 t1（答：当a 1时，1logatlogat1（t1时取等号）；当0a 1时，1logatloga t1（t12 2 2 2时取等号）；12（2）设 a 2， p a 1 ， q 2 a 4a 2，试比较 p,q的大小 a2（答： p q ）；（3）比较 1+log x 3与2 log x 2（x 0且x 1）

4、的大小（答：当0 x 1或x 4时，1+ log x 3 2log x 2 ；当1 x 4时，1+ log x 3 2log x2；当 x 43 3 3时， 1+log x 3 2log x2）三利用基本不等式求函数最值 时，你是否注意到： “一正二定三相等，和定积最大，积定和最 小”这 17字方针。 如（1）下列命题中正确的是A 、y x 1的最小值是 2xB 、y x 3 的最小值是 2x2 2C 、 y23x4(x x0） 的最大值是 243D 、 y23x4x(xx0） 的最小值是 243（答： C）；2）若x2y1，则 2x4y 的最小值是 _答： 2 2 ）；11（3）正数 x,y

5、满足 x 2y 1，则 1 1 的最小值为 xy（答： 3 2 2 ）；四. 常用不等式 有：（1） a 2b a 2b ab 1 2 1（ 根据目标不等式左右的运算结构选用 ） ； ab2）a、b、c R， a2 b2 c2 ab bc ca （当且仅当 a b c时，取等号 本质就是排序不等式你看出来了吗？ ）；（3）若 a b 0,m 0 ，则 b b m （糖水的浓度问题） 。a a m如 如果正数 a 、 b 满足 ab a b 3 ，则 ab 的取值范围是 （答： 9, ）五证明不等式的方法 ：比较法、分析法、综合法和放缩法 （ 比较法的步骤是：作差（商）后通 过分解因式、配方、通

6、分等手段变形判断符号或与 1 的大小，然后作出结论。 ）.1111111常用的放缩技巧有： 11112111 （裂项法 ）n n 1 n（n 1） n n（n 1） n 1 nk1 k 111kk1（有理化）k1k 2 k1k如（1）已知 a b c ，求证： a2b b2cc2a ab2 bc 22ca ；(2)已知 a,b,c R ，求证： a2b222 bcc2a2 abc(ab c) ；（3）11已知a,b,x, y R ，且 ,xy，求证： xy；abxayb(4) 若a、b、c是不全相等的正数，求证： lga2b lgb2c lgc2a lga lgb lgc；5)已知 a,b,c

7、 R，求证： a2b2 b2c2 c2a2 abc(a b c) ；(6) 若 n N，求证： （n 1）2 1(n 1)n2 1 n ；(7) 已知|a|b | ，求证：|a| |b|a b|a| |b| ；|a b|1 12 121 22 32 六简单的一元高次不等式的解法 ：根轴法：其步骤是： （ 1） 每一个因式中最高次项的系数为正 ；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右 上方依次通过每一点画曲线；并注意 奇穿偶不穿 ；（3）根据曲线显现8）求证：L 12 2 。 n2分解成若干个一次因式的积， 并使f （x） 的符号变化规律，写出不等式的解集。 如（1）解不等式 （x

8、1）（x 2）2 0答： x| x 1或x 2）；2）不等式 （x 2） x2 2x 3 0 的解集是答：x|x 3或x 1 ）；3)设函数 f (x) 、 g(x)的定义域都是 R，且 f(x) 0的解集为 x|1 x 2，g(x) 0的解集为 ，则不等式 f(x)gg(x) 0的解集为 (答： ( ,1)U2, ) )；(4) 要使满足关于 x的不等式 2x2 9x a 0 (解集非空)的每一个 x的值至少满足不等式 x2 4x 3 0和x2 6x 8 0中的一个，则实数 a 的取值范围是 .(答： 7, 881) ) 七分式不等式的解法 ：分式不等式的一般解题思路是 先移项 使右边为 0

9、，再通分并将分子分母 分解因式，并使 每一个因式中最高次项的系数为正 ，最后用根轴法求解。解分式不等式时， 一般不能去分母，但 分母恒为正或恒为负时可去分母 (或者说在已知条件给出的范围内分母 符号可判断，也可去分母) 。如(1)解不等式 2 5 x 1 x2 2x 3(答： ( 1,1)U (2,3) )；2)关于 x的不等式 ax b 0的解集为 (1, )，则关于 x 的不等式 ax b 0的解集为x2(答： (, 1) (2,)八绝对值不等式的解法 ：31零点分段法( 最后结果应取各段的并集 )：如解不等式 |2 3x|12 | x |42(答： xR)；2利用绝对值的定义；3数形结合

10、； 如解不等式 | x| | x 1| 3)(答： (, 1)U (2,4两边平方： 如若不等式 |3x 2| |2x a|对 xR恒成立，则实数 a 的取值范围为 。(答：4)九含参不等式的解法 ：求解的通法是“ 定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键 注意解完之后要写上： “综上，原不等式的解集是” 。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分 别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集即 讨论变量一致时先交后并， 否则不予交并 . 如2 （1）若loga2 1，则a的取值范围是 32 （答： a 1或0 a 2 ）；32（2）解不等式 ax x （a R）ax 111（答： a 0时

11、，x|x 0；a 0时，x|x或 x 0；a 0时，x| x 0或 x 0）aa提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示； （2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于 x的不等式 ax b 0 的解集为 （ ,1） ，则不等式 x 2 0的解集为 （答：（ 1,2 ）ax b 十含绝对值不等式的性质 ：a、b同号或有 0|a b| |a| |b| |a | |b| |a b |；a、b异号或有 0|a b | |a| |b| |a| |b| |a b|.如设 f(x) x2 x 13，实数a满足|x a| 1，求证： | f(x)

12、f(a)| 2(|a| 1)一不等式的（恒成立、能成立、恰成立）等问题 ：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常 应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征， 利用数形结合法）1）. 恒成立问题若不等式 f x A在区间 D上恒成立,则等价于在区间 D上 f xmin A若不等式 f x B在区间 D上恒成立,则等价于在区间 D上 f xmax Bmax如（1）设实数 x,y满足x2 （y 1）2 1，当x y c 0时， c的取值范围是 （答： 2 1, ）；2）不等式 x 4 x 3 a对一切实数 x恒成立，求实数 a的取值范围 （答： a 1 ）；3）若不

13、等式 2x 1 m（x2 1）对满足 m 2的所有m都成立，则 x的取值范围答：（72 1, 32 1)；224）若不等式 （ 1）na 2 （ 1） 对于任意正整数 n 恒成立，则实数 a 的取值范围是 n答： 2,23）；5）若不等式 x2 2mx 2m 1 0 对 0x 1 的所有实数 x 都成立，求 m 的取值范围 .1答： m 1 ）22）. 能成立问题若在区间 D 上存在实数 x使不等式 fA成立, 则等价于在区间D 上 f x max A ；max若在区间 D 上存在实数 x使不等式 fB成立, 则等价于在区间D上的 f x min B.如已知不等式 x 4 x 3 a 在实数集

14、R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围答： a 1 ）3）. 恰成立问题 若不等式 f xA在区间 D上恰成立 , 则等价于不等式 f x A的解集为D；若不等式 f xB在区间 D上恰成立 , 则等价于不等式 f x B的解集为D.二维柯西不等式1. 定理 1 （代数形式）：若 a、b、c、dR，则 （a2b2）（c2d2）（acbd）2如 已知 2x 4y3，则 x2 y2的最小值是（当且仅当 adbc 时，等号成立） 答：290）2 2 2 2 1 1 2 9 3 3析】 x2 y2 （ x2y2）（4 16）2020（x2 y4） 2 20.当且仅当 4x2y，即 y2x，即 x1

15、0，y5时等号成立，2.定理 23.定理 3向量形式）：设 、 是两个向量，则 | | | | |（当且仅当 是零向量或存在实数 k，使 k 时即共线，等号成立）三角形式）：设 x1，y1，x2，y2 R， 那么 x1 y1 x2 y2x1x2 y1y2（当且仅当 P1（ x1，y1） ， P2（ x2， y2） ， O（0,0） 三点共线且 P1，P2在 O两侧 时，等号成立）例 已知 2x 4y3，则 x2 y2的最小值是 （答：290）十三排序不等式1顺序和、乱序和、反序和的概念设 a1 a2 a3 an，b1b2b3 bn为两组实数， c1，c2， cn是 b1，b2， bn的任一排列

16、，则称 ai与 bi (i 1,2 ，n)的相同顺序相乘所得积的和 a1b1a2b2 anbn为顺序和，和 a1c1a2c2 ancn为乱序和，相反顺序相乘所得积的和 a1bn a2bn1 anb1称为反序和2排序不等式 (排序原理 )设 a1 a2 an，b1b2 bn为两组实数， c1，c2， cn是 b1，b2， bn的任一排列，则 a1bn a2bn 1 anb1 a1c1a2c2 ancna1b2a2b2 anbn，当且仅当 a1 a2 an或 b1 b2 bn时，反序和等于顺序和，此不等式简记为 反序和乱序和顺序和如 已知 a、 b、c 是正数，求证：b2c2c2a2a2b2abcabc.提示：不妨先证 b2c2c