21二次根式知识点典型例题习题

1、21.1二次根式知识点1.二次根式的相关概念：像这样一些正数的算术平方根的式子， 我们就把它称二 次根式。因此，一般地，我们把形如 品 (a0)的式子叫做二次根式，“ y ” 称为二次根号。二次根式罷的特点:在形式上含有二次根号、厂，表示a的算术平方根。被开方数a 0,即必须是非负数。 a可以是数，也可以是式。既可表示开方运算，也可表示运算的结果。(1)被开方数不小于零。(2)(3)(4)2.二次根式中字母的取值范围的基本依据：(2)分母中有字母时，要保证分母不为零。3.二次根式的相关等式：好=a(a 0)肩=a ia(a 0)-a(a cO)相关例题1.二次根式的概念例题一：下列各式中 7i

2、5,j3a, Jb2 -1, Ja2 + b2, Jm2 +20,7 ,二次根式的个数是 考点： 分析：()二次根式的概念.二次根式的被开方数应为非负数，找到根号内为非负数的根式即可.解：3a，b2 -1有可能是负数，-144是负数不能作为二次根式的被开方 数，所以二次根式的个数是3个。点评： 本题考查二次根式的概念，注意利用一个数的平方一定是非负数这个知 识点.变式一：下列各式中，ja，Jy + z，J孑，Ja2 +3，Jx2 +6x + 9,解答:Jx2-1 一定是二次根式的有()个。解：被开方数a有可能是负数，不一定是二次根式; 被开方数被开方数y+z有可能是负数，不一定是二次根式； a

3、6 一定是非负数，所以一定是二次根式;被开方数a2+ 3 定是正数，所以一定是二次根式;被开方数被开方数+ 6x + 9 =(x +3)2 定是非负数，所以一定是二次根式;-1有可能是负数，不一定是二次根式；一定是二次根式的有 3个，故选C.点评：用到的知识点为：二次根式的被开方数为非负数；一个数的偶次幕一定 是非负数，加上一个正数后一定是正数.2. 二次根式中字母的取值范围的基本依据1例题二：函数y= 中自变量x的取值范围是VX 3考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件. 分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于 0,分母不等于 0,列不等式即可求

4、解.解答： 解：依题意，得x -30,解得x3.点评： 本题考查的是函数自变量取值范围的求法. 函数自变量的范围一般从三 个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表 达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被 开方数是非负数.变式二：若式子有意义，则x的取值范围是x二次根式有意义的条件；分式有意义的条件. 根据二次根式及分式有意义的条件解答即可.解：根据二次根式的性质可知：x+10,即x- 1,考点： 分析： a为负数时，没有意义，故本选项错误;a为正数时不成立，故本选项错误；B、C、J a a,故本选项错误.考点分析解答又因为

5、分式的分母不能为0, 所以x的取值范围是x- 1且x工0. 点评：此题主要考查了二次根式的意义和性质: 概念：式子ja （a0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数， 否则二次根式无意义；当分母中含字母时，还要考虑分母不等于零.3. 二次根式的相关等式例题三：对任意实数a,则下列等式一定成立的是（）A.7a=aB.护一aC.40=aD.Ja2=忖二次根式的性质与化简.专题：计算题.根据二次根式的化简、算术平方根等概念分别判断.解答： 解：AD点评：算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键.故本选项正确.故选D.本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、1练习题

6、1 .下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： J2、丁3、一、jx （x0）、x2、当x是多少时，J3d在实数范围内有意义? 13、 当x是多少时，丄在实数范围内有意义?X +14、下列式子中，是二次根式的是（）.-B .C . yfx.下列式子中，不是二次根式的是（已知一个正方形的面积是.5 B .亦 Cx5，那么它的边长是（）1- D .以上皆不对5.形如的式子叫做二次根式.面积为a的正方形的边长为.9.负数平方根.10、计算1.) 2 (x 0)2. (JO2) 23.( J a2+2a+1) 2课后作业1 .某工厂要制作一批体积为正方形，试问底面边长应是多少?1m3的产品包装盒，

7、其高为 0.2m，按设计需要，？底面应做成2.当x是多少时,m+x2在实数范围内有意义?x3. 若J厂x+（二3有意义，则庆4.使式子J-（X-5）2有意义的未知数x有（）个.A. 0 B. 1C. 2 D.无数5.已知a、b为实数，且Ja -5 +2 Jl0 -2a =b+4，求 a、b 的值.6、计算（1） （） 2(2) - ( ) 2(-3) 2(5)(2 43+372)(2 73-372)练习题与课后作业答案练习题1、解：二次根式有:貶、仮(x0)、贞、-Q、JX + y (x 0, y 0)；不是二次根式的有：丁3、2、解：由 3x-1 0,得：x1 当x1时，J3口在实数范围内有

8、意义.3解：依题意，得(2x+30X+1 工0由得：x -2由得：XM -1当 x -3 且 XM -12A 5. D 6. B时，J2K +丄 在实数范围内有意义.x+17. Va ( a0)& ja 9 .没有10、解：（1）因为 x 0，所以 x+10(Jx +1 ) 2=X+1(2) v a20,.( 70) 2=a2(3) v a2+2a+1= (a+1) 2又( a+1) 2 0,二 a2+2a+1 0 ,a21 =a2+2a+12 2 2 2(4)v 4x -12x+9= (2x)-2 2x 3+3 = (2x-3)2又( 2x-3) 20 4x2-12x+9 0,.( J4x2

9、-12x+9 ) 2=4x2-12x+9作业题1 .设底面边长为X,则 0.2x2=1，解答：x= .I3|2x+30 lx -2依题意得:,-3且xM 0时，J2x+3 + X2在实数范围内没有意义.2X13.4. B5. a=5, b=-46、(1) (79 ) 2=91 13(2) - J3 ) 2=-3(3) ( V6 ) 2= X 6=2 422=9x2-=6(5)-63知识点1.二次根式的乘法21.2次根式的乘除法掐-Tb = Jab(a Mb 0)Tab = ja Tby 0,b 0)2. 二次根式的除法有两种常用方法:(1)禾I用公式： 伞=H(a0,b0)VbVb濡哼(QQb

10、AO)(2)把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算。3. 化简二次根式的步骤：(1) 将被开方数尽可能分解成几个平方数。(2) 应用 Jab + Ja rjb(3) 将平方式(或平方数)应用7a2=a(a0)把这个因式(或因数)开出来, 将二次根式化简。相关例题二次根式的乘法及其化简例4 .计算(1) X 万 (2) X Vo (3) Vo X 5/27(4) X Vo分析：直接利用薦 Jb =后 (a0, b0)计算即可.护厝宀血解：（1） yf5 乂打=V35(2)y/9 X J27 = J9 X 27 = y/9_咒 3 =9i/3变式四(1)分析:x =J6化简J9x16(2)

11、J16x81(3) J81x100（5）754利用 jab = ja !b (a 0, b 0)直接化简即可.解：(1) J9 冥 16 = J9 X JT6=3x 4=12J16X81 =716 X 屈=4X 9=36血 X100 =阿 X yT00=9x 10=909x2y2 =7? X Jx2 y2 =73 x Tx2 x /y2 =3xyy/54 = J9 X6 = f3 X 5/6 =3yf6（5）二次函数的除法及其化简例题五计算：（1）班 （2）733 .824764(4) 78分析：上面4小题利用 暮（a0，b0）便可直接得出答案.&底=0=薜=尼2(3咒8 =73 X =23变

12、式五化简:/64b(2七r5x(1697分析：直接利用呂=更 (a0, b0)就可以达到化简之目的.b Tb解：(1)_73764 _ 8l64b2 J64b28b9a2J9a2-3a1 9x/9x3ylx64y2J64y2 8y5x=75xTsx213y的结果是).B.D.2 阅读下列运算过程:1 _ 船_73天733 .分母有理化：(1)1;(2)兀=4. 已知 x=3, y=4, z=5,那么 Tyz 子Jxy的最后结果是X2 15. 已知层h茫，且x为偶数，求(1+x)汽4的值.6.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式:1=1x(72-1)血-1 = 72

13、1似 2-72)/2+1(72 +1)(72-1) 2-1 事-罷=巧_血73+72（炉72）（73-72）_ 3-2，1同理可得：一产= J4-J3,从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算逅+173+72 + 74十長十厂 _)(J2002+1)的值.J2002 + J2001答案1. A 2. C3.(1)/3/3Tie 4245 42T訂3)2/524525.分析：式子存存，只有a A 0, b0时才能成立因此得到9-X0且x-60,即60x6 6x 0)14-x2042. aj-弓 化简二次根式号后的结果是3.已知亞区Vx-6=盘三，且X为偶数，求（1+x） J.YX2严+4的值.X

14、2 173: 1, ?现用直径为3届(2)-3+( 3呼八产(a0)2V a2Vm-n4 .有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少?5. 计算（需心馬（m0, n0）6已知a为实数，化简： Jg-aJW，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，？请写出正确的解答过程:解：J-a3 -a J-丄 =a J -a -a 丄 J -a = (a-1) J-a7 .若X、y为实数，且y=，求尸则百的值.答案 1. X Jx2 + y22. - J-a -13.分析：式子ja = ；a，只有a0, b0时才能成立.因此

15、得到9-X 0且x-60,即6xW 9，又因为X为偶数，所以x=8.解：由题意得9-x工0，即Ix-6a0 60因为1 ，所以a0I a原式= J-a 出2 -a .J-弓=7 TO-a-! x? - 4 3 017 . 5 o- x-4=0 , x= 2，但 X+2M 0, x=2, y=-jE=Jx2-y2 -JA =爭=x vx+6i/xy21.3二次根式的加减法知识点1. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这 几个二次根式就叫做同类二次根式。2. 二次根式加减运算的步骤：(一化，二找，三合并 )(1) 将每个二次根式化为最简二次根式。(2) 找出其中的同类

16、二次根式。(3) 合并同类二次根式。3. 二次根式的混合运算：原来学习的运算律(结合律、 适用。相关例题 同类二次根式 例题七计算交换律、分配律)仍然(1)J8+J18(2)J16M+J6衣分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式; 次根式进行合并.第二步，将相同的最简二解：(1)亦+丿18=272+3=(2+3) 72=5 5/2(2) J16x + J64x =4 Vx+8 vx= (4+8) 7x=12Vx2 J变式七 已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求(2/9x +y23)-)的值.得分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，1即x=-，y=3 .其次

17、，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式,2类二次根式，最后代入求值.2 2解：4x +y -4x-6y+10=02 2/ 4x -4x+1+y -6y+9=02 22x-1) + ( y-3) =0，?再合并同=2xiX + fxy -x vx +5 Jxy当 x= , y=3 时,2原式=1 X F+6化返+3苗2 V2 V24(2)相同的最简二次根式进行合注意 (1)不是最简二次根式的，应化成最简二次根式;并.二次根式的加减计算：例题八 (1)(s/6 + J8)x J3(2) (4J6-3J2)*2近? 所以直接可用整式的运算分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律

18、, 规律.解：(1)( U6 + 亦)x=辰 X 巧 + 恵 X Vs= 尿 + 阪 =3恵+2亞解：(4 J6 -3 J2)* 2 J2 =4 J6 * 2 J2 -3 J2 *22=2巧-32变式八 已知 口=2-0，其中a、b是实数，且a+bM 0,ab化简伫-迄+伫+迄，并求值.Vx +1 +Vx vx +1 -Vx分析：由于(7x +1 + JX)(JX +1 -JX)=1,因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可.(7+仮)2解：原式-(Jx+ 1-Vx)2(Jx+1 +仮)(Jx +1 -依)(Jx+1 -依)(Jx+

19、1 + 依)(T-仮)2(7+7x)2=+(x + 1)-x (x+ 1)-x=(x+1) +x-2/x(+x+2/x(=4x+2X -ba =2 -x-ab b (x-b ) =2ab-a (x-a )2 bx-b2=2ab-ax+ a2 2( a+b) x=a +2ab+b( a+b) x=(a+b)2a+bM 0 x=a+b原式=4x+2=4 (a+b) +2二次根式的混合运算例题九下列运算正确的是（J25 = 5B. 4J3 27 = 1考点：二次根式的混合运算。分析：根据二次根式运算的法则，分别计算得出各答案的值，即可得出正确答案.I解答：解：A . &25 = 5,.故此选项错误;

20、4 J3 J27 = 4*6 3罷=丿3，故此选项错误;C.訴8十恵= 3，故此选项错误;故此选项正确.点评：此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的变式九计算：扁-4=4 ;课后作业4.下列根式中,A.是最简二次根式的是(B.J12a-12bC.Jx2 -y2D.75ab25.若 iYxY2，A. 2x -1 B.2x +1则丿4 -4x +x2 + Jx2 +2x + 1化简的结果是(C. 3 D. -36.若=10，则x的值等于（A. 4 B.C. 2 D.47.若73的整数

21、部分为x，小数部分为y，则73x - y的值是（A.17.3若3 B. 品 C. 1 D. 3 计算及化简：2 2馆+I to丿I to丿a-b a +.18.答案4a)xy + y仮 y仮-xT?a+27ab+b Taa-bVb 亠 Va(a+vab b-Vab 丿 b+vab已知:甘営，求4 r 2 3的值。品-丘 屁近x4y+2x3y2+x2y31.C 2.C 3.C 4.C 5.(1 )4(2 ).27b,(3). 一2以+y),(4 ).1 ;y-x6. 5 ;二次根式单元练习题、选择题1 .使J3-X +有意义的x的取值范围是（Jx12个自然数的算术平方根为a（a0），则与这个自然

22、数相邻的两个自然数的算术平方根为()(A) a-1,a+1 ( B) J a-1,Ja +1 ( C) J a2 -1, Ja2 +1 (D) a-la+l(A) 0(C) 2x4.若 a vO,b 0 ,(B) -2x则右b化简得(D) 0 或 2x(A) _a J-ab(B) aab(C)a Jab(D) a vanm，则立的结果为(迦7(A) m2 +2(B) m2-26. 已知a,b是实数，且Ja2 -2ab + b2 =b-a，则a与b的大小关系是(A) ab(D) ab J(3-兀)2 -|3-兀I =6 ; J a2 + b2 = a +b .2 a2 +(3 ) =(a+3 2

23、-3 );其中正确的有()(A) 0 个 (B) 1 个若4 栏虫与化成最简二次根式后的被开方数相同，则m的值为)(A) 20 (B) (C)-3268当 a 丄时，化简 J1-4a+ 4a2 + 2a -1 2(A) 2(B) 2-4a(C) a10.化简 J4x2 -4x+1 -(j2x-3)2得(D) 79.(A) 2(B) Yx+4(C) -2等于(D) 0(D) 4x4二、填空题11.若2x+l的平方根是5 ，则J4x+1 =12.当 x时，式子昔手有意义.13.已知：最简二次根式7荷帀与a返 的被开方数相同，则a+b =14 .若x是屈的整数部分，y是處的小数部分，则x =, y =15. 已知（2009=仮+jy，且0xcy，则满足上式的整数对（X, y ）有16. 若一1 x c1，贝U J(x1 ) 解：若腰长为 1,则有20了V 5西，故此情况不合题意，舍去; +|x+1 = 17.若 xy H0，且 7X37 =-xy TX成立的条件是 18.若00, a+bv 0, av 0, bv 0,被开方数应 为a, b不能做被开方数，（故 错误），xVT=i,（故正确）,a船簷1，17岸-b,= -b,（故正确）.5.故选：B.丁得：k=3 ,