39、平面向量的数量积

1、第39课时平面向量的数量积.知识梳理1.平面向量数量积的概念r r(1)向量a与b的夹角r ruir r urn已知两个非零向量 a和b，如图所示，作 OA二a,OB则=班0乞二乞二)叫做向量a与b的夹角.(2)a与b的数量积已知两个非零向量 a和b，它们的夹角为 二，则a b =，a b叫做a与b的数量T2积(或内积)，并规定，零向量与任一向量的数量积为 ;特别地a =_.若为直角，则a b =，若v为锐角，则a b，若二为钝角，则a b_.思考：反之又如何？(3)平面向量数量积的几何意义数量积a与b等于a的长度a |与b在a方向上的投影的乘积.(4)平面向量数量积的坐标表示若 a =(人,

2、y1), b =(x2 ,y2)，则 a b =，若 a _ b，则.基础训练1.正厶ABC边长为a，则CCA (A 屈的值是2.已知 a =10, b =12，且(3)a(r r3S -，则a与b的夹角的大小ur rrir r ritr3.若m, n是夹角为60的两个单位向量，则a =2m n和b = -3m 2n的夹角为rrir r r r r ru r4. 已知 a=(4,3), b= (-1,2), m= a- b, n= 2a b,当，=时,m _ n;当ur r怎二 时，m n.5. 若向量；=(x,2x),b =(-3x,2)，且a,b的夹角为钝角，则x的取值范围是 L1 I6.

3、 MBC中O为中线AM上一个动点 若AM =2,则OA(0B +0C)的最小值是 .三.例题精讲rr例1.已知向量a =(sin日,1),b =(1,cosT), 一上丈日 2 2 r rr r(1 )若a丄b，求8 .( 2 )求a+b的最大值.例 2. ( 1)设向量 a,b,c 满足 a - b c =0 ,|a| = 1,|b| = 2,|c|= .2,则 a b b c c a(2 ) 设 向 量 a, b,c 满 足 a b 0 ,且(a-b)_c, a_b ,若 |a|=1 ,则2 2 2|a|b|c| 二3 3x x444 422(1)求a b 及 a+b ；(2)若 f(x)

4、 = a b 例 3.已知向量 a =(cosx,sinx), b =(cos , -sin ),且 x ,.3 4b，求f(x)的最大值和最小值.(1 )求 AB BC(2)若D为BC中点，求 AD BC ;若点 G是:ABC的重心，求 7G BC .(3)若点H为BC中垂线上任一点，求 AHBC四.课后作业 1. a,b 的夹角为 120 ,|a|=1 , |b|=3 则 |5a _b|=_2.若a:若a =1, b =72且(才)丄a,则a和?的夹角是3.已知两个非零向量a与b ，定义|a b冃a|b|si nr,其中二为a与b的夹角，若 a b =(-3,6) , a-b=(-3,2)

5、，则 |a b| 的值等于4 HT TT T=1,e,Q的夹角为60 ,若向量2tei 7e2与向量ei te2的夹4. 已知向量a = (1,sin ), b = (1,cos),则| a - b |的最大值是5. 设两向量e ,ez ,满足e =2,佥 角为钝角，则数t的取值范围是6. 已知a, b是两个互相垂直的单位向量，且c a =1,c b =1 ,|c| = 2 ,则对任意的正实数t1 | c +ta +-b I的最小值是 .7. 扇形OAB的半径为2,圆心角 AOB =60，点D是弧AB的中点，点C在线段OA上,且 OC 丸3，贝y CD OB = 8.已知点G是 ABC的重心，

6、若.A =120 , ABAC二-2,则| AG|的最小值是9.已知a,b都是非零向量，且a 3b与7a -5b垂直，a - 4b 7a _2b垂直，求a与b夹角的大小.0.10.已知.ABC的面积为3,且满足0乞AB AC乞6 .设AB和AC的夹角为(1 )求0的取值范围；(2)求函数f (F = 2sin2()- 3cos2二的最大值与最小值.411.设向量 a=（4cos 二,sin _：i）,b=（sin ： ,4cos ： ）,c =（cos ：,-4sin ：）444（1 ）若a与b -2c垂直，求tan（很亠卩）的值；（2）求|b c|的最大值；II44（3 ）若 tan 篇tan ： =16，求证：a / b .12.在 ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向