中值定理与导数的应用2

1、 4.求下列函数的最大值、最小值：(1)y=x4-8x2 2, -1xM3 ； (2) y = sinx cosx0,2n ;(3) y =x . 1 _x, 5 乞x 乞1 ；(4)y = ln(x1)1,2。知识点：导数的应用。思路：求函数f(x)在闭区间上最值的基本方法是先求 y =0的点或者y 不存在的点，然后求这些点处 的函数值及其闭区间端点处的函数值，比较函数值，最大的即是f(x)在该闭区间上的最大值，最小的即是f (x)在该闭区间上的最小值。解：(1)在一1,3上令 y = 4x3 16x = 0，得 Xj = 0， x2 = 2 ； y(1) = 5，y(0) =2，y(2)

2、= -14，y(3) =11，比较可得y =x4 -8x22, -1乞x3的最小值为y(2) - -14，最大值为y( 3) =11。n5 n(2)在0,2 n 上，令 y =cosx si nx=0，得 x1，x244：y(0) T，(/= 72，()=J2， y(2n=1，比较可得y = sin x cosx 0,2 n的最小值为 y(5nn = 2 ，最大值为 y2。(3)在5,1 上, y = _=o，得 x = ；27Tx4T y(-5) = -5 .6，y(4)=4，y(1)=1，比较可得y =x -.1 x, -5乞x空1的最小值为y(5) = -5 、6，最大值为y)=寸。2x

3、(4)在-1,2上令 y0，得 X = 0 ；X2 +1-y(-1) =ln 2，y(0) = 0, y(2) =1 n5，比较可得y = ln( x21) 1,2的最小值为y(0) = 0，最大值为y(2) = In5(1)2n知识点：导数的应用。思路：求数列f (n)的最大项最小项问题可转化为求函数f (x)在区间1, ：)内的最值问题；若x = x0为f(x)在区间1, 二)内的最小值点，则f (n)二f (x0)与f (n) = f(x0 1)中最小的一个为数f(X0)与列中的最小项；若x = x0为f (x)在区间1,亠)内的最大值点，则f (n)七f (n) = f (x01)中最

4、大的一个为数列中的最大项。10x解：设f (x)=亍，则在区间1, ：)内，令f (x)=9X(10 xIn2)“，得唯一驻点2xIn 2由 f (x)二x8(90 -20xln2 x21n22)2x10，得 7)1022(或者说：当f(X)： 0)-10为f(X)二在区间1, ：)内唯一的极大值点，也是最大值点;x10In 2卫=14，In 210In 2取得最大项。:1.00323 1，二当n =14时,n102n(2)设 f(X)二 xx，则在区间1, ：)内，令f (x) = xx(匕学)=0，得唯一驻点x二e；x当0 x : e时，有y 0，当 x e 时，有 y ： 0 ,丁 e=

5、2 , e十1=3，且 纟=81，二当n=3时，如下取得最大项。V3 9 6.从一个边长为a的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后按虚线把四边折起来做成一个 无盖的盒子(见图)，问要截去多大的小方块，才能使盒子的容量最大？图 3-5-6知识点：求最值问题思路：根据题意建立数学函数模型， 根据实际意义，确定自变量范围，在所确定的范围上求最值。 特别地， f(X)在某个区间内可导且只有一个驻点X。，且Xo是函数f(X)的极值点，则当f(X。)是极大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值；当f(x0)是极小值时，f(x0)就是f (x)在该区间上的最小值；f(x)在某个区间内可导且只

6、有一个驻点X。，且f(x)在该区间上确实存在最值，则f(x0)就是f (X)在该区间上的最值角军：设截去的小正方形的边长为X，则根据题意，得=(a - 2x)(a - 6x)a=0，得x(舍去)，2V(x) =x(a -2x)2， x(o,a)；令 dV2 dxaav V(0) =0,VH0,VH)二2627a3可得,当一个边长为a的正方形的四角上截去一块边长为a的小方块，才能使盒子的容量最大。6 7.欲制造一个容积为V的圆柱形有盖容器，问如何设计可使材料最省?又由S (r)=譽 4 n 知 S (r) r为S（r）的极小值点，也是最小值点;二当,h = 2r时，可使材料最省，即圆柱形容器的底

7、和半径相等时，可使材料最省。 8.从一块半径为积为最大？R的圆片中应切去怎样的扇形，才能使余下的部分卷成的漏斗（见图3-5-8）容解 :设漏斗的半径为r，高为h，容积为V，根据题意，得2n，h=昱勺 ，从而有2n莎匸沪0la2 +X2 + Jb2 +( t- x) 2 (0 c x c Ty . a2x20，得y在区间(0, T内的唯驻点x -，,b2(t x)2a bt最短的距离确实存在，当入射点 M在Ox上的点为x0 =芒上 时，光源S的光线所走的路径最短； a +b容易验证，此时入射角(记为a)等于反射角(记为 B),即arTtan B 二 T xoa b = T 二鱼=tan a，bb

8、 a +b a此为著名的光的反射定律。 12.甲船以每小时20里的速度向东行驶，同一时间乙船在甲船正北82里处以每小时16里的速度向南行驶，问经过多少时间两船距离最近？解军：设两船的距离为 S，且经过t小时两船距离最近，则根据题意得S(t)二 一 (8216t)2(20t)2 (t 0)令 S(t)656t -1312 (82 -16t)2 (20t)2=0，得S(t)在区间(0, ：)内唯一的驻点t = 2 ;丁两船最短的距离确实存在，t =2时，S(t) (82-16t)2 (20t)2(t 0)取得最小值，即经过2小时后两船距离最近内容概要名称主要内容（3.6）3.6函渐近线的概念：数图

9、形的描绘1）水平渐近线：若函数 y = f （x）的定义域是无穷区间，且lim f （x） = C，则称直线y = C为曲线y = f （x）的水平渐近线；2）铅直渐近线：若函数 y = f （x）在x0处间断，且lim f （x）=血，则称直线x = x0为曲线y = f （x）的铅直渐近线；3)斜渐近线：设函数y = f (x)，若 lim f (x) -(ax + b) = 0，则称 y = ax + b 为xf ( x)y = f (x)的斜渐近线，其中 a = lim(a 式 0), b = lim f (x) - ax。x注：若lim f（x）不存在，或虽然它存在但limf （x）

10、 ax不存在，则y-f（x）不存在斜 x渐近线。函数图形描绘的步骤：1） 确定函数f （x）的定义域，求出函数的一阶导数f T x）和二阶导数f ”（x）；2） 求出f （X）和f （X）的全部零点，f（X）的间断点，f （X）和f （X）不存在的点；用这些点把函数定义域划分成若干个部分区间；3） 确定在这些部分区间内厂（X）和f “（X）的符号，并由此确定函数的增减性和凹凸性，极值 点和拐点；4）确定函数图形的渐近线以及其他变化趋势；5）算出f （X）和f （X）的全部零点及其不存在时的点所对应的函数值，并在坐标平面内描出相应的点，有时适当补充一些辅助点，根据以上步骤画岀函数大致图形。习题3

11、-6 1.求下列曲线的渐近线:(1)(2)(3) y 二 x e知识点：渐近线的概念。思路：求出函数f（X）定义域；在间断点处或无穷大时，讨论f（X）的极限情况，用以求出 f（X）的水平渐近线和垂直渐近线；讨论 丄凶、f （x） - ax无穷大时的极限，用以求出斜渐近线1 1=1,解：(1) y = e x的定义域为(-o,0)U(0, + o) ； / lim e x = xc，lim e 0_x_pc=0为铅直渐近线，y=1为水平渐近线，容易验证该函数没有斜渐近线。(2)exy的定义域为(_ ：: , 1)(1, - - ) ； v |im1 xx J，lim 1 x j ：1 xxe =

12、0，(3)=_1为铅直渐近线，y =0为水平渐近线，容易验证该函数没有斜渐近线。y = x 的定义域为（_：,：） ；：Tim （x e）-：:，二函数不存在铅直渐近线及水平x :.渐近线,x + e d而 Jim1 二 a， lim (x e)一ax = 0 二 b，-y = x为函数y = x e的斜渐近线。 2.描绘下列函数的图形:x2(1)厂4(x_1)(5) y 匹x知识点：函数的性质及导数的应用。思路：根据函数的定义域、周期性、奇偶性、单调性和极值、凹凸性和拐点、渐近线及其关键点的坐标,描绘函数图形。解：（1）1）2x2y 2的定义域为x -1(一:，一1) (一1,1) (1,:

13、);2 24x(x -1)-2x 2x2 2(x -1)二一2 4x 2 =0，得驻点x = 0 ； x=1时y不存在；（x -1）y =吟二=0无解;(x2-1)3xs-1)-1(-10)0(0,1)1(1,2)fg+不存在+0不存在f“(x)+不存在不存在+f(x)不存在/ C极大值点 C不存在x24 ) limx 7 x -12x2 lim x Q x -1x2limx ：1- x -1x2limx x -1lim其x x2 -1=2,二x二1为铅直渐近线,讨二2为水平渐近线,容易验证，函数y2x2x2 -1没有斜渐近线;2x2 y 2 x5）根据以上讨论，可描绘岀函数-1的图形如下:-

14、1 0 1图 3-6-2-1注：也可以利用函数的奇偶性，只讨论函数在（0,1）（1J ：）内的情况，描绘出此区间上函数图形，然1） y2的定义域为（_：,：）；1 +x22x 1 一 x 2x(x2 1)(x2 1)得驻点x1,2 = 1 ；2x 一 6x23(x 1)=0，得x3,4 = 73, X5 =o ；(3) 1)x(x-3)24(x -1)的定义域为（-：,1）（1,x3） T y牙为奇函数，.在（0, ：）内列表讨论其单调性和极值， 凹凸性和拐点:1 xx(0,1)1(13)73（码严）(x)+0f 7x)0+f(x)/ C极大点f (1) =1/2 C拐点:-v 3f3)=4x

15、x4）lim 2 =0，二y = 0为水平渐近线，容易验证，函数y歹没有斜渐近线;x1 x1 x5）根据以上讨论和函数xy2的奇偶性，可描绘岀该函数的图形如下:1 x2x3 =1时，y不存在；y3 = 0无解;4(x -1)4)limx 1(x-3)24(x -1)lim (x 一3)x =1为铅直渐近线,x1- 4(x -1)容易验证，函数y2(x-3)4(x -1)没有水平渐近线;而lim(x -3)2X 厂4x(x -1)(x-3)24(x -1)-ax = limx-pC(x-3)24(x -1)一丄 x 5443）现列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点:x(皿,-1)-1(-1,1)

16、1(1,3)3（3严）（X）+0不存在0+f Ir(x)不存在+f(x)/c极大点 rx不存在极小占八、15y x为斜渐近线。4 4又 f （-1） 一2 , f =05）根据以上讨论，可描绘出该函数的图形如下:图 3-6-2-3(4)1)y=x.3_x 的定义域为(一：,3；2)令 y = J3_x + x In x2)令y20，得驻点x1x= 3x = o，得驻点 x = 2 ; x2 = 3时，y 不存在；2y/3-x2j3 x3 3 -x (6 -3x)12、3二x2(3-x)3x -1234(3 -xf3)现列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点:x(s,2)2(2,3)3(X)+0不

17、存在f “(X)不存在f(x)/C极大值占八、04)容易验证，函数 y = x3 - X没有渐近线。又 f (2) =2, f(3) =0, f(0) =05)根据以上讨论，可描绘出该函数的图形如下:(5)1)In x图 3-6-2-4的定义域为(0j二)；2ln x -33x3=0，得 x2 二 e23)现列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点:x(0,e)e3(e,e2)3e。3(e2,f (x)+0f (x)0+f(x)/c极大值占八、 c拐点 2In x In x4)lim, lim0二x=0为铅直渐近线，y =0为水平渐近线；函数无斜渐近线X )D XXT， x内容概要名称主要内容(3

18、.7)3.7曲率弧微分计算公式：ds = Ji+(y/)2 dx，其中s = s(x)为弧函数，其性质为单调增加。曲率计算公式：设曲线方程为y = f (x)， f (x)具有二阶导数，则曲线 y = f (x)在点x处的曲率计算公式为LZ yl口昇厶丄J”K 3。(仆1)曲率圆与曲率半径：设曲线y=f(x)在点M (x, y)处的曲率为K(K式0),在点M处的曲线的法线上，在凹的一侧取点 D，使得 的圆成为曲线在点M处的曲率圆。曲率圆的圆1 _DM =P。以D为圆心，P为半径K哥心D称为曲线在点 M处的曲率圆心。曲率2)圆的半径r称为曲线在点 m处的曲率半径。y = f(x)在点M(x,y)

19、处的曲率圆的圆心记为 ，)，则其计算公式为:x y/(i (y/)2)二 X -/y1 (y/)2 y / y习题3-7 1.求曲线y = In x的最大曲率知识点：曲率的计算公式及最值的应用。思、路：根据曲率计算公式，计算函数的导数及其二阶导数，代入公式，得关于x的曲率函数，然后求该函数的最大值，便得原来函数的最大曲率，最小值便为原来函数的最小曲率。11解：y ， y2，二得函数y=l nx在x处的曲率为xxK(x)二yl33(1 (y)2f (1 Tx3 (x 0)，(1 x2)。下面求K (x),( x 0)的最大值:由 K(x)二一-3 2x1-2x2(1 x2)22(1 x2)2(1

20、 x2)25=o，得x二丄2；舍去x25 2 2时,K (x)0 ;K(X)： 0,K(x)在(0, ：)内取得极大值K) =，也是 K (x)在(0, + )内的最2 332大值，即曲线y = In x的最大曲率为33思路：利用曲率及曲率半径的公式即可。解: -目=2x3, y =2，二函数2=x亠3x亠2在x处的曲率和曲率半径分别为K(x)二yl3(1 (y)2)2 (1 (2x 3)2)，R(x) 1K(x)K(x)、R(x)中，得曲率和曲率半径为 K =1,R = 13、26。13 . 26 3.计算摆线= a(t-sint)在-n处的曲率。= a(1-cost) 2解：dysintx

21、(t) t 于 1 -cost 2d2ydx2=(恶)xn,处的曲率为K =22cost(1 -cost) -sin t2(1cost)a(1-cost)(1 (y)2)2(1 1)24a 4.曲线弧y =sin x(0 ： x :冗)上的哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径。知识点：同1。思、路：同1。解:V y =cosx ,=-sinx，二得函数 y = sinx在x处的曲率半径为r7(1 (y)2f(1 cos2 x)2yl(o x v n，sin xV R(x)和In R(x)的单调性一致，二可通过求In R(x)的最值得到R(x)的最值3 2ln R(x) ln(1 cos

22、 x) Tn sin x,(0 ： x n22“ 3 2cosxsinx cosxcosx(3sin x+1+cos x)(ln R(x)21 cos2 xsin x(1 cos2 x)sin xn得唯一的驻点x=-2，n当 0 ：x 时，(ln R(x) ：0 ；n二当x 时，ln R(x)也是R(x)在(0,冗)内取得极小值 R(；) = 1，也是R(x)在(0,冗)内的最小nz当 x ： n时,2(In R(x)0 ；冗、nn值，即曲线弧八sinx(X s力在x =-处的曲率半径最小，且该点处的曲率半径为R(尹1。注：此题也可通过求曲率 K (x)的最大值点和最大值得到结果。 5.求曲线

23、y =1 n(x / x2)在(00)处的曲率。d2ydx2dydxx =0曲线yx1 x2x(1x2)2Xz0= 1X z0= 0 ；=In(x .1 x2)在(0,0)处的曲率为K =03 _3(1 (y)2f(1 仆y| 6.汽车连同载重共 5t，在抛物线拱桥上行驶，速度为 21.6km/h，桥的跨度为 025m，求汽车越过桥顶时对桥的压力。10m，拱的矢高为知识点：曲率在物理中的应用。思、路：根据题意，利用数学知识,结合物理问题，建立数学模型。解 :取桥顶为原点，垂直向下为y轴正向，则抛物线方程为2 ,y 二 ax (a 0)，从而桥端点坐标为(5,0.25)在抛物线上，a=0.01,

24、 y = 0.01x2 ； / y (0) =0,y (00.02，53=50 ；二顶点处抛物线的曲率半径 R(0) = (1 (y )233利用物理知识，得顶点处汽车的离心力 F =mv 5 10(216 10 )2二3600(N)，R 5060 汉 60二得汽车越过桥顶时对桥的压力为 G = mg _ F = 5 103 9.8 _ 3600 = 454009(N)。 7.求曲线y =1 nx在其与x轴的交点处的曲率圆方程。知识点：曲率圆的概念和计算公式。思路：先根据曲率半径公式，计算曲率圆半径，然后再根据渐屈线的方程求曲率圆的圆心，得出曲率圆方程。解:y = ln x与x轴的交点为(1,

25、0)，y x4=-xyl3(1 (y)1 2)21，二曲率圆的半径为2.2R二丄=2 2 ；又由渐屈线方程的参数方程得K_x y1+(y)2)E(1,0)_ x: y2 L 昇+一n(1,0)- y 丁 ”(1,0)(1,0) = 3二-2即曲率圆的圆心为(3,-2)，从而曲线y =1 nx在其与x轴的交点处的曲率圆方程为 (x-3)p /y(y2)2 =8。 8.求曲线y2 =2px的渐屈线方程。知识点：渐屈线的概念。思、路：根据渐屈线的参数方程公式求方程。- 22*. p - - pyp解：由 y=2px，得 2yy=2p， y ， y 23y y yy(1 (y)2) _ y2y 2p_

26、(p y)(1 (p y)2) _3y2 2p2.1 (y)2-p2/y32p3y2 2p22p(y为参数)总习题二 1.证明下列不等式：(1 设 a b 0,n1,证明：nbn tab) ： anbn ： nan(ab)；(2)设ab 0,证明：冬勺：l门？ ：。a b b知识点：拉格朗日中值定理。思路：关键是寻找y二f (x),用公式f，当确定了 f () 的范围，b a即可定f (b) - f (a)的范围，从而证明结论。b a证明：设f(x)=xn，易见f (x)在b, a连续，在(b,a)可导，且f (x) = nxn，,由拉格朗日中值定理可知，至少存在一 ：=(b,a)使 f (a

27、) - f (b) = f) 即 an _bn = n En(a _ b)，又 b ： 己：a, (a -b) 0，故 nbn(a -b) ： an -bn : nan(a -b)。 2.设 f (x)在0,1上可导，且 0 ： f (x) : 1，对于任何 x (0,1)，都有 f(X)= 1，试证:在(0,1) 内，有且仅有一个数 E,使f( E)二E。知识点：零点定理，罗尔中值定理或者单调性的应用。思、路：从结论出发构造辅助函数，利用零点定理证明存在性，利用反证法和罗尔中值定理证明唯一性；或者是利用单调性证明唯一性。证明：1)存在性。设F(x)二f (x) -X，易见函数在0,1上连续，

28、二(0,1)，使 F( ) =0 ,即 f()=。且 F(0) = f (0)0，F(1)= f (1)一1 ：0，由零点定理可知，至少存在一点假设存在另一点(0,1),使f()二，则F(X)在，(,)上连续，在相应开区间内可导，且F( J =F( )=0，由罗尔定理可知，至少存在某，)(0,1)，使F)= 0,从而f ( J - 1 = 0, f ( ) = 1，这与f / (x) = 1矛盾，故有且仅有一个数E，使f ( E) = E。 3.若 a :：: b时，可微函数 f (x)有 f (a) = f (b) =0, f (a) ： 0, f (b) ： 0，则方程 f (x) = 0

29、 在(a,b)内()(A)无实根；(B)有且仅有一实根；(C)有且仅有二实根；(D)至少有二实根。知识点：极限的保号性，零点定理，罗尔中值定理。思、路：根据保号性及零点定理， 可得f (x)在(a,b)内有零点，再两次利用中值定理便得结论。解：由 f (a) : 0,得 lim f(x)一: 0,t x _ab-af (x) - f (a)根据保号性，知a 0 (岛 )，当axva + 5)时，有 0,2 x a从而有 f (x) ： f (a) = 0，取 x0 (a,a 5)，则有 f (x0) ： 0 ；:x ： b 时，有 f (x) f (b) = 0，”b-a同理，由 f (b)

30、c0 可知，m 5 = 0 ( 5 12x J|x 1 ln(x 2)111(4)lim (Sin-x)1_cosx ;(5)lim (si nx ex)x ;(6) lim(sin-x)x oX 0 Xx 0、x 0x知识点：洛必达法则。0O0思、路：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：一型与 型未定0式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于二一二型与0二型的未定式，可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式；对于 0型、1 -型与：0型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，还可 以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。2ln(1

31、- x )解：(1) limxT sec x cos x2cosx ln( 1 x ) =lim1 - cos x2. x =lim2x 21 cos2x=lim1。x 2 cosx sin xnx a-x)tan三nx(1x)si n=lim = limx 1nx x mcos2-11 - Xlimnx i1n . nx ncossin22 2(3)lim 丄x 1ln(x 2)ln(x +2) _x _1 limx；1 (x 1) ln(x T 1)limx -.4ln(x 2) - x-1(x 1)2-1一(1 x)x z 2(x 1)x 2(x 1)(x2)In sin x -In x

32、cosx 1sin x(4)叶)1 -cosx= lime5xx01 sin xIn二 limx 0limx0sin x xxcosx-sin xx cosx-sin x-xsin xx3二 lim e 3xx )0(5)方法:lim (sin x ex)x-ln(sin x ex)excos xex= lxm0esin x exsin x ex -4方法:lim(sin x +ex )x=Jim1 + (sinxsin 乂计 AT)又lilim 1 (sin xex -1)sinx 心 =esin x；ex _!sin x=lim = lim = =2, x -flx 01故 lim (si

33、n x ex)x 二 e1 2。cosx 11In sinx _ln xsin x 7?(6)lim( )x -lim e xsin x x2X-xcosx _sin x2x2sin xe-xsin xx cosx-sin x6x14.设 lim f (x) = k，求 lix_im f (x a) - f (x)。知识点：拉格朗日中值定理。思、路：结论中含有函数改变量，可联想到利用中值定理求得结论。解：由朗格朗日中值定理得，f (x a) - f (x) = f ( E) a( E介于x与x a之间),从而有limx L :f (x a) - f (x) = lim f (E) a = li

34、m f ( E a = ksin 3 xa 15.当a与b为何值时，lim (3- b) = 0x 0 x x知识点：极限和洛必达法则。思、路：根据题意和已有的结论得关于a与b等式，求得a与b的值。解：由题意知limsin3x axxj-b，在该式左边应用洛必达法则可得3cos3x a limx 03x2上式成立，必须Iim(3cos3x a) =0，故a - -3，代入上式后，左边再应用洛必达法则， 得xT-9si n3x limx 0 6x-9 3x6x99b，从而有 a 一 -3， b =22 16.设f(x)=l n(1，x),x(-1,1)，由拉格朗日中值定理得：-x - 0, 0

35、(0,1),使得知识点：拉格朗日中值定理。思路：根据已知条件，求岀 V的表达式，再利用求极限的方法求岀极限。证明：由题意知,x -In(1x)0 =xln (1 +x)xln(1 x)x -In(1 x)x-l n(1x)x2x2x(1 x)11 -1 XI f (x)x 0- f(x)在X。=0的某个邻域内有二阶导数，.有f(0) = im f(x) = 0，仃.设f (x)在x0 =0的某个邻域内有二阶导数，且叫(1 - x f (x) x = e3，求f(0),f (0), f (0)。知识点：导数的定义。思路：求抽象函数在具体某一点处的导数值，根据题意和导数定义，分别求岀各阶导数值。1=0，从而 lim f (x) = 0 ；xx_p解：