(下)t分布F分布)

1、第七章第三节(下)t分布和F分布三、t分布定理设XN(0,1)，Y(n)的概率密度为n +1且X与Y相互独立，则随机变量(/ t2 f(t)= (V-)n2,(7.5)称T服从自由度为nI的分布， 记作Tt(n).X2T证 X的概率密度是 fx(X)=eY的概率密度fY(y)由式(7.3 )给出, X,Y的联合概率密度是1上；e 2 fY (v),7 / 17于是,P(x)= P(u2e 2 fY(v)dudv作变量替换:它的雅可比行列式是J =cucS cvcuct =cvt2VSTScSct10亍是n_JP(x)(*)2dsdt02则）dtck|)dt=J二 jrv(_Q)2n1fzeT缶

2、由于_(仆2)z2)(1+12)所以X(n+ 12)(n)2“ u (1+ n)；dunj!式两边对X求导,即得式(7.5).fn(t) =r ()”)=Cn(1+L)nn +2n*ht2limH2 imw t2_tj n_j1n2-be化化t 21= Lfn(t)dt = LCn(1 +) 2dt, n4=ct -o1 = iime(1 + i)dt讼+2t 2=lim G lim打)dt=limCi 匚e2dt= limCi 历, limC 总，lim fn(t)= lim CnO + J)21 7Fe图7-2给出了当i=1,4,10时 的t(i)分布的密度函数曲线 图形关于t=0对称，

3、且当iT + -时,有,它的1 上险匚 Tre2，N(0,1)分布与故当i很大时,t分布近似于 然而对于比较小的i的值,t 正态分布之间有较大的差异xF(x)= PT 0,F(x)严格单增，F；(_8, + 8)t (0,1)是一一对应， Ct 对给定a ：0 1,存在唯一 ta(n), 使得F(ta(n),即对于给定的 : 0 a ti/n)=-数t G(n),满足aPTi, n) H1- p2则 P|Tt(n)=1;2P| T 卜 J(n)= “ ,2称1划2(n)为双侧a分位点.当n45时,t分布表中没有列出, 此时可查标准正态分布表，得 有t,np Zx .例5设Xi,X2,)II,X

4、32为来自于正态 总体N* ,42)的样本，令16送(Xji)Y=蔦店(Xji)求Y的分布。解由题设条件，得162 (Xj - 4)N(0,16 42)1616S (Xj - 4) = 16沢i=1丄送(Xj -卩)=16U16i_1i其中U1 16Z16 i=1(Xi-4)N(0,1),32S (Xj-)j丄7=16送(Xj 卩)2 =16V4其中V32 X 4弋7(十)2心6)，11 / 17显然U与V相互独立，16Z (Xj - A) i?16U由t分布的定义知，32.J= f , 一 t(16),Y j7于是Y服从自由度16的t分布。定理四设 Xi,X2； ,X相互独立，且都服从NF2

5、),则有X冲口t(n=1)、一证因为X N(4 ,/n),所以N(0,1)7nU,(n-1)0-S2(n-1)S2O(n-1)S2O(n-1)(n-1)显然U与V相互独立，亍是L U = J *n = t(n - 1)% 仁.定理五 设X , X2，Xm和Y1 , 丫2，Yn分别是从正态总体 N ( H 的独立样本，则1,)和 N (卩2,)中所抽取J(m-1)S； + (n -1)S；t(m + n - 2),证因为(7.7)X N(b 21),mYNL,)nT= (X-丫厂件七)/mn(m + n-2)所以X - Y N (卩 1 -c 2),n亍是(X-Y )-(4N(0,1)由定理三知

6、5一2 上(1)曲2-心-1),2 C且它们相互独立。由定理二可知V=(S12 + S2272(m+ n 2)c又由定理三知U,V独立，于是按t分布的定义得(X - Y)-(S - 寫)mn(m+ n- 2)如-1& + (门-1)&m+ n21 / 17而帚百2)。例6 设总体 XN(H1,b 2),)，X与丫相互独立，丫N(卩2 2X,人，Xn；丫1 , 丫2，Ym分别是来自X和Y的 样本，X , 丫分别是两个样本的样 本均值，S12 =送(Xi -X)2/(n-1)，=1试求下面统计量的分布：1 0 J1/n 帑 1/mo记住结论解由正态总体样本函数的分布 知X N*1,b因而/n),Y

7、 N(卩 2, 2/m)，X - Y NL -经标准化得到2 24 2,b /n + b /m)，X-Y (J-J)b 冷 1/n + 1/m又由定理三知N(0,1)2(n -1)S1工b22(n-1),0 J1/n + 1/mt（n_1）。四、F分布定理 设X 72（门1）,丫八（门2），且X与Y相互独立，则随机变量fQ的概率密度为51 + n2）/2 n niYnpmFMQxBu产(1 + 叭严 f(u)=(也)(上)n2 n2n2I 22L0,我们称F服从自由度为（m, n2）的F分布，记作F -Fgm）。证明略f（u）的图形入图7-3所示。对于给定的： 0 a aW (Xi - 1)

8、= 0.95, j 43i已知 F0.95(12,6)= 4 ,即 PF(12,6)兰 4 - 0.95,求常数a的值。由18吩(Xjj =43T)解12 a送(Xi - 1)2 = 0.95,i 二12ZPY2送(Xjj圭(Xi-1)2-1)2= 0.952a因为12送(Xi壬182送(Xjj 士-1)1)212 Y12 y u1 18 -z6g-)2(十(12,6),所以有12a4，即亡=0.125 .定理设总体XN(4J2),X1，X2，Xn为来自于总体 X的 样本；总体丫N*自于总体丫的样本,XX =-Z Xi ,n ynZiA m_S2 =亠2 (Yj -Y)2,m 1 j二X.-出

9、 2 m Yi -卩2 22(_L1)2 書()272(n + m)；Wj=12忖s2厂(m-1)；62|12), 丫1，丫2,，丫m 为来 与Y独立.X例 8 设 T r2X N(0,1)，丫7 (n),且 相互独立，求T2的分布. 解因为X N(0,1),所以 由题设知 Y72(n),由x52(MX与丫相互独立,得到X2与丫相互独立,xV故 TVF(1, n)./n例 9设X1,X2，Xn为来自总体 的样本，试确定常数c，c(X-打2因为服从F分布。所以X N(“ 2/n),X- 4N(0,1),b /vn2 / 2(n T)s2 “ 2(n-1),且 2二与口 S2相互独立,b hfn由于(W(X -4)21c S2c n(n - 1 s2 /齐n-1)所以当c= n时，服从F(1,nT)分布。c(X-H)2s2注意Y分子分母的不同例10设X1,X2,Xn是来自正态总 体N (0,1)的样本，仁m n , 试确定常数C，一m服从F分布。(送 Xi)2使丫-S Xi2i 二m41因 X1,X2，,Xm,Xm+1ll,Xn 相互独立同服从N(0,1),服从正态分布N(O,m),m送Xii =1m艺 Xi N(0