第二章非参数统计分析(0303)[章节讲课]

1、第二章 单样本非参数检验 1章节课件 思考的要点 各种检验方法的思路 各种检验方法统计量的构造 各种检验方法的应用场合 在SAS与R中如何完成 2章节课件 第一节第一节 符号检验符号检验 第二节第二节 Cox-StuartCox-Stuart趋势检验趋势检验 第三节第三节 游程检验游程检验 第四节第四节 WilcoxonWilcoxon符号秩检验符号秩检验 第五节第五节 正态记分检验正态记分检验 第六节第六节 与参数检验相对效率比较与参数检验相对效率比较 3章节课件 符号检验的统计量为B=得正号的个数。 符号检验符号检验。设随机变量X1，Xn是从某个总体 X中抽出的简单随机样本。且分布函数F(

2、X)在X=0是 连续的。假设检验问题 00 :(HF 1 ） 2 10 :(HF 1 ） 2 检验的统计量可以取B。 第一节第一节 符号检验符号检验 在原假设为真的条件下，B服从参数为n和0.5的二项分布 b(n,0.5)。由于原假设为真时，B应该不太大，也不太小，如 果B太大或太小，应该拒绝原假设。 4章节课件 精确的符号检验是指检验的p值是由精确的概率给出 的。 我们我们利用正号和负号的数目，来检验某假设，这是 一种最简单的非参数方法。 【例4】联合国人员在世界上71个大城市的生活花费 指数(上海是44位，数据为63.5)按自小至大的次序排列如 下。 一、精确中位数的符号检验一、精确中位数

3、的符号检验 5章节课件 有人说64应该是这种大城市花费指数的中位数，有 人说64顶多是低位数（下四分位数），进行检验。数 据如下： 122.4,109.4,105,104.6,104.1,100.6,100,99.3,9 9.1,98.2,97.5,95.2,92.8,91.8,90.8,90.3,89.5, 89.4,86.4,86.2,85.7,82.6,81,80.9,79.1,77.9, 77.7,76.8,76.6,76.2,74.5,74.3,73.9,71.7,71.2, 67.7,66.7,66.2,65.4,65.3,65.3,65.3,64.6,63.5, 62.7,60.

4、8,58.2,55.5,55.3,55,54.9,52.7,51.8, 49.9,48.2,47.6,46,45.8,45.2,41.9,38.8,37.7,37. 5,36.5, 36.4,32.7,32.7,32.2,29.1,27.8,27.8 6章节课件 Histogram of x x Frequency 20406080100120 0246810 7章节课件 通常在正态总体分布的假设下，关于总体均值的假设 检验和区间估计是用与t检验有关的方法进行的。然而， 在本例中，总体分布是未知的。为此，首先看该数据的直 方图从图中很难说这是什么分布。假定用总体中位数来表 示中间位置，这意味着

5、样本点，取大于me的概率应该与取 小于me的概率相等。所研究的问题，可以看作是只有两种 可能“成功”或“失败”。 8章节课件 符号检验的思路，记 成功：X-0大于零，即大于中位数M，记为“+”； 失败：X-0小于零，即小于中位数M，记为“-”。 令 S+=得正符号的数目 S=得负符号得数目 可以知道S+或S 均服从二项分布B（65，0.5）。则可以 用来作检验的统计量。其假设为： 0010 :HH 0010 :HH 0010 :HH 9章节课件 关于非参数检验统计量需要说明的问题关于非参数检验统计量需要说明的问题 在非参数检验中，可以得到两个相互等价的统计量， 比如在符号检验中，得负号与得正好

6、的个数，就是一对 等价的统计量，因为S+S-=N。那么我们在检验时应该 用那个呢？约定选择统计量 min(,),ks s 10章节课件 01 :64:64HH 28 71 71 0 (28)(0.5) (1 0.5)0.04796 iii i p SC (28)0.04796p S 假设 检验统计量S-=28是得负号的个数 得正号的个数43。 P-值 检验的结果拒绝零假设 结论中位数大于64 11章节课件 该检验R的代码 x- c(122.4,109.4,105,104.6,104.1,100.6,100,99.3, 99.1,98.2,97.5,95.2,92.8,91.8,90.8,90.

7、3,89.5, 89.4,86.4,86.2,85.7,82.6,81,80.9,79.1,77.9, 77.7,76.8,76.6,76.2,74.5,74.3,73.9,71.7,71.2, 67.7,66.7,66.2,65.4,65.3,65.3,65.3,64.6,63.5, 62.7,60.8,58.2,55.5,55.3,55,54.9,52.7,51.8, 49.9,48.2,47.6,46,45.8,45.2,41.9,38.8,37.7,37.5, 36.5, 36.4,32.7,32.7,32.2,29.1,27.8,27.8) y=sum(sign(x-64)=1) p

8、binom(71-y,71,0.50) 12章节课件 二、大样本的情形 当样本容量足够大，我们可以利用二项分布的正 态近似来对该问题进行检验。因为计数统计量在原 假设为真时，服从b(n,0.5)。且其均值为0.5n，方 差为0.25n。则检验的统计量为 足够大）n n nB z( 25. 0 5 . 0 13章节课件 第二节第二节 Cox-StuartCox-Stuart趋势检验趋势检验 人们经常要看某项发展的趋势但是从图表上很难看出是 递增，递减，还是大致持平 【例5】我国自1985年到1996年出口和进口的差额(balance) 为(以亿美元为单位) 149.0 119.7 37.7 77

9、.5 66.0 87.4 80.5 43.5 122.2 54.0 167.0 122.2 从这个数字，我们能否说这个差额总的趋势是增长，还是减， 还是都不明显呢?下图为该数据的点图从图可以看出，总趋势似 乎是增长，但1993年有个低谷；这个低谷能否说明总趋势并不是增 长的呢?我们希望能进行检验 14章节课件 Case Number 10987654321 Value VAR001 200 100 0 -100 -200 15章节课件 三种假设： 有增长趋势无增长趋势；: 10 HH 有减少趋势无减少趋势；: 10 HH 有趋势无趋势；: 10 HH 怎么进行这些检验呢?可以把每一个观察值和相

10、隔 大约n2的另一个观察值配对比较；因此大约有n2个对 子然后看增长的对子和减少的对子各有多少来判断总的 趋势具体做法为取 和 。这里 i x ci x 16章节课件 在这个例子中n=12，因而c6。这6个对子为 (x1,x7)，(x2，x8)，(x3，x9)，(x4，x10)，(x5， xl1)，(x6，x12)。 /2 (1)/2 nn c nn 如果 是偶数 如果 是奇数 17章节课件 用每一对的两元素差Di=xi-xi+c的符号来衡 量增减。令S+为正Di=xi-xi+c的数目，而令S-为 负的Di=xi-xi+c的数。显然当正号太多时，即S+ 很大时(或S-很小时)，有下降趋势，反之

11、，则 有增长趋势在没有趋势的零假设下它们应 服从二项分布b(6,0.5)，这里n为对子的数目 (不包含差为0的对子)。该检验在某种意义上 是符号检验的一个特例。 18章节课件 类似于符号检验，对于上面1，2，3三种检验，分别 取检验统计量K=S+,K=S-和K=min(S+,S-)。在本例中，这 6个数据对的符号为 5负1正， 所以我们 不能拒绝原假设。 1094. 0) 1( SP 假设统计量 P值 K=min(S+,S-) P(Kk) K=min(S+,S-) P(Kk) K=min(S+,S-) 2P(Kk) 有增长趋势无增长趋势；: 10 HH 有减少趋势无减少趋势；: 10 HH 有

12、趋势无趋势；: 10 HH 19章节课件 【 例6 】天津机场从1995年1月到2003年12月的 108个月旅客旅客吞吐量数据如下： 54379 45461 55408 59712 60776 57635 63335 71296 70250 76866 75561 66427 61330 58186 67799 76360 86207 75509 83020 89614 75791 80835 72179 61520 66726 60629 68549 73310 80719 67759 70352 82825 70541 74631 68938 53318 62653 58578 6329

13、2 69535 73379 62859 72873 87260 67559 76647 70590 58935 58161 64057 63051 58807 63663 57367 70854 79949 66992 80140 62260 55942 58367 56673 61039 74958 85859 67263 87183 97575 79988 88501 68600 58442 68955 56835 67021 81547 85118 70145 95080 106186 86103 88548 70090 65550 69223 85138 89799 99513 981

14、14 68172 97366 116820 95665 109881 87068 75362 88268 85183 87909 79976 27687 50178 100878 131788 116293 120770 104958 109603 讨论是否存在显著的增长趋势。 20章节课件 020406080100 400006000080000100000120000 Index x 21章节课件 SPSS无此检验，我们用R完成该检验，代码如下。 x- c(54379,45461,55408,59712,60776,57635,63335,71296,70250,76866,75 561,

15、66427,61330,58186,67799,76360,86207,75509,83020,89614,75791, 80835,72179,61520,66726,60629,68549,73310,80719,67759,70352,8282 5,70541,74631,68938,53318,62653,58578,63292,69535,73379,62859,72 873,87260,67559,76647,70590,58935,58161,64057,63051,58807,63663, 57367,70854,79949,66992,80140,62260,55942,58

16、367,56673,61039,7495 8,85859,67263,87183,97575,79988,88501,68600,58442,68955,56835,67 021,81547,85118,70145,95080,106186,86103,88548,70090,65550,69223, 85138,89799,99513,98114,68172,97366,116820,95665,109881,87068,75 362,88268,85183,87909,79976,27687,50178,100878,131788,116293,120 770,104958,109603)

17、 d=x1:54-x55:108 y=sum(sign(d)=1) pbinom(y,54,0.5) 直接得到p值=0.0019190.05，拒绝无趋势的原假 设原假设。 22章节课件 补充：检验的p值 在假设检验中，常常通过检验的p值来决策。 p值 为拒绝原假设的最小概率。对于t检验，如果计算出的 统计量的值为t0，则 左尾检验的p值为概率p(t t0) 右尾检验的p值为概率p(t t0) 双尾检验的p值为概率p(|t| t0|)。 但是对于非参数检验来说由于有两个等价的统计量， 如得正号的个数与得负号的个数之和等于样本容量n； 两个总体的秩和等于N（N+1)/2。 23章节课件 比如是左侧

18、检验，如果总体真实的中位数 比假设的小，则检验的统计量w+表现出过小， w-表现出大,检验的p值为p( w+w小)，此时 用的最小的统计量。对于右侧检验，如果总 体真实的中位数比假设的大，则检验的统计 量w+表现出过大， w-表现出小。检验的p值 为p( w+w大)。实际上 p( w+w大) = p( -w+-w大) = pN(N+1)/2-w+ N(N+1)/2 -w大 = pw-w小 可见检验的统计量用k=min（w+，w-）是 合理的。另外双侧检验的p值是单侧的两倍。 24章节课件 游程检验是样本的随机性检验，其用途很广。 例如当我们要考察生产中次品出现是随机的，还 是成群的，一个时间序

19、列是平稳的还是非平稳的。 第三节 游程检验 25章节课件 从生产线上抽取产品检验，是否应采用频繁抽取 小样本的方法。在一个刚刚建成的制造厂内，质检员需要 设计一种抽样方法，以保证质量检验的可靠性。生产线上 抽取的产品可以分成两类，有瑕疵，无瑕疵。检验费用与 受检产品数量有关。一般情况下，有毛病的产品如果是成 群出现的，则要频繁抽取小样本，进行检验。如果有毛病 的产品是随机产生的，则每天以间隔较长地抽取一个大样 本。现随机抽了28件产品，按生产线抽取的顺序排列： 0000111111111111110001111111 检验瑕疵的产品是随机出现的吗？ 有瑕疵的产品是随机出现 有瑕疵的产品是成群出

20、现 : 0 H : 1 H 26章节课件 随机抽取的一个样本，其观察值按某种顺序排列，如果研究所 关心的问题是：被有序排列的两种类型符号是否随机排列，则可以 建立双侧备择假设组为 H0 H0： 序列是随机的序列是随机的 H1H1： 序列不是随机的（双侧检验）序列不是随机的（双侧检验） 如果关心的是序列是否具有某种倾向，则应建立单侧备择，假设 组为 H0 H0： 序列是随机的序列是随机的 H1: H1: 序列具有混合的倾向（右侧检验，游程过多）序列具有混合的倾向（右侧检验，游程过多） H0H0： 序列是随机的序列是随机的 H1: H1: 序列具有成群的倾向（左侧检验，游程过小）序列具有成群的倾向

21、（左侧检验，游程过小） 游程：连续出现的具有相同特征的样本点为一个游程。游程：连续出现的具有相同特征的样本点为一个游程。 27章节课件 检验统计量。在H0为真的情况下，两种类型符号 出现的可能性相等，其在序列中是交互的。相对于一 定的m和n，序列游程的总数应在一个范围内。 若游程的总数过少，表明某一游程的长度过长， 意味着有较多的同一符号相连，序列存在成群的倾向； 若游程总数过多，表明游程长度很短，意味着两 个符号频繁交替，序列具有混合的倾向。选择的检验 统计量为R游程的总数目。 28章节课件 2 2(2) ( ) (1) mnmnnm Var R mnnm ( )21 nm E R mn 可

22、以证明 )1 , 0( )( )( N RVar RER Z 则 29章节课件 游程R的分布为，奇数时 m nm k n k m k n k m C CCCC kRp 1 1 1 1 11 ) 12( m nm k n k m C CC kRp 1 1 1 1 2 )2( 关于此可以做如下的考虑 游程R的分布为，偶数时 30章节课件 先在m+n个抽屉里随机选择m个，抽出的抽屉里 放入“1”，没有的放入“0”，所有可能基本的基本 事件数为： m nm C 有种。 或先在m+n个抽屉里随机选择n个，抽出的抽屉里 放入“0”，没有的放入“1”，所有可能基本的基本 事件数为： n m n C 有 种。

23、 mn m nm n CC 31章节课件 1、必定有k+1个由“1”构成的游程和k个由 “0”构成的游程； 2、或必定有k+1个由“0”构成的游程和k个 由 “1”构成的游程。 如果游程数为奇数R=2K1，这意味着： 32章节课件 这就必须在m1个位置中插入K个“隔离 元”，使有 “1”有k+1个游程，可以有 种，同样可以在n-1个“0”的n-1个空位上插 入K-1个“隔离元”，有 种。共有有利基 本事件数 。 k m C 1 1 1 k n C 1 11 k n k m CC 33章节课件 在第二种情形下，有 故： 1 11 k m k n CC m nm k n k m k n k m C

24、 CCCC kRp 1 1 1 1 11 ) 12( m nm k n k m C CC kRp 1 1 1 1 2 )2( 2 2(2) ( ) (1) mnmnnm Var R mnnm ( )21 nm E R mn 得 同理 34章节课件 备择假设P值 序列具有混合的倾向右尾概率 序列具有聚类的倾向左尾概率 序列是非随机的较小的左尾概率的两倍 1 ) 1( )2(2 )( 2 mnnm mnmnmn RVar ) 1 , 0( )( )( N RVar RER Z 35章节课件 【例7】，在我国的工业和商业企业随机抽出22 家进行资产负债率行业间的差异比较。有如下资 料： 这两个行业的

25、负债水平是否相等。 首先，设 “1”为工业，“2”为商业，将两个 行业的数据排序，得行业编号得游程： 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 工业64 76 55 82 59 82 70 75 61 64 73 83 商业77 80 80 65 93 91 84 91 84 86 86 36章节课件 游程检验的菜单选择。 37章节课件 38章节课件 Runs Test 1.4286 12 9 21 6 -2.190 .029 Test Valuea Cases = Test Value Total Cases Number of Runs Z A

26、symp. Sig. (2-tailed) 资产负债 Meana. 游程检验的结果：共有21个个案，12个小于 1.4286，9个大于等于1.4286。游程6个。检验的 统计量的值为-2.19，相应的渐近p值=0.029，则 拒绝原假设。 39章节课件 【例8】公司委托市场调查公司进行随机抽样 调查。为了对调查表的真伪进行判断，市场调查公 司按顺序抽取了20份问卷。其中消费者每年消费该 公司的产品的花费数据如下表，分析问卷数据是否 真实。用游程检验。 样本编号12345678910 消费额405205245465257234445375291291 样本编号111213141516171819

27、20 消费额261210305295125257260197160150 40章节课件 Runs TestRuns Test 258.50 10 10 20 10 -.230 .818 Test Value a Cases = Test Value Total Cases Number of Runs Z Asymp. Sig. (2-tailed) 消费支出 Median a. 检验结果说明p值=0.808，不能拒绝随 机数据的原假设。 41章节课件 第四节第四节 单样本的单样本的Wilcoxon符号秩检验符号秩检验 一、 Wilcoxon符号秩检验 0100 :MMHMMH 0100 :M

28、MHMMH 0100 :MMHMMH 前面几种推断的方法都只依赖于数据的符号，即方 向。没有考虑数据的大小，Wilcoxon符号秩检验是检验关 于中位数对称的总体的中位数是否等于某个特定值，检验 的假设： 42章节课件 检验的步骤检验的步骤: 1. 计算 ，它们代表这些样本点到 的距离； | 0 MX i 0 M 2. 把上面的n个绝对值排序，并找出它们的n个秩；如果有 相同的样本点，每个点取平均秩(如1，4，4，5的秩为1，2.5， 2.5，4)，然后分别将得正号的秩和得负号的秩相加。另 1 (0) n ii i WRXM 1 (0) n ii i WRMX (0) i MX指满足括号里的条

29、件等于1,不满足等于零。 43章节课件 0010 :HMMHMM?右 0010 :HMMHMM?左 3. 双双 在零假设下， 和 应差不多因而，当其中之一非常小时， 应怀疑零假设；取检验统计量T=min( ， )； 0100 :MMHMMH W WW W 44章节课件 1 ()(0) (0) 11(1) 224 n ii i ii E WE RXM nE R EXM nn n n 1 2 1 ()(0) 1(1)(21) 424 n ii i n i Var WVar RXM n nn i 统计量的均值和方差如下： 45章节课件 5. 根据得到的T值，查Wilcoxon符号秩检验的分布 表以得

30、到在零假设下p值如果n很大要用正态近似：得到 一个与T有关的正态随机变量Z的值，再查表得P值或直接 用计算机得到P值。 (1)/ 4 (0,1) (1)(21)/ 24 Tn n ZN n nn 46章节课件 Wilcoxon符号秩检验表符号秩检验表 )(2tTp )(tTp min(,)TW W )(tTp 假设检验的统计量P值 0100 :MMHMMH 0100 :MMHMMH min(,)TW W min(,)TW W 0100 :MMHMMH 47章节课件 【例9】 欧洲10个城镇每人每年平均消费酒类 相当于纯酒精数（单位：升）。 4.12 5.81 7.63 9.74 10.39 1

31、1.92 12.32 12.89 13.54 14.45。人们普遍认为其中位数为8。检 验该假设。 x- c(4.12,5.81,7.63,9.74,10.39,11.92,12.32,12.89, 13.54,14.45) wilcox.test(x-8) 48章节课件 Wilcoxon signed rank test data: x - 8 V = 46, p-value = 0.06445 alternative hypothesis: true location is not equal to 0 49章节课件 【例10】为了了解垃圾邮件对大型公司决 策层工作的影响程度，某个网站收集

32、了19家 大型公司的CEO每天收到的垃圾邮件件数， 得到如下数据： 310,350,370,375,385,400,415,425,440,195, 325,295,250,340,295,365,375,360,385 检验收到的垃圾邮件的数量的中间位置是 否超过了320封。 50章节课件 x- c(310,350,370,375,385,400,415,425,440,19 5, 325,295,250,340,295,365,375,360,385) wilcox.test(x-320) data: x - 320 V = 146, p-value = 0.04207 alternati

33、ve hypothesis: true location is not equal to 0 51章节课件 注 Holdges-Lemmann 估计量 定义2.1 假设X1, X2, Xn为简单随机样本， 计算任意两个样本点的平均数，从而得到一个样本 长度为n(n+1)/2的新的数据，这组数据称为Walsh 平均值，即 :, 2 ij u XX WAXXij 52章节课件 定理 由定义2.1，Wilcoxon符号秩统计量 W+可以表示为 #0, 2 ij XX Wij 即W+是Walsh平均值中符号为正的个数。如果中 心是，则定义 #, 2 ij XX Wij 即W+()是检验 0010 :H

34、H 的统计量。 53章节课件 定义2.2 假定假设X1, X2, Xn为F(X) 的简单随机样本，如果F(X)为对称，则定义 Walsh中位数如下： ,1,2, 2 ij XX medianijn 作为的Holdges-Lemmann 估计量。 54章节课件 从应用的角度看，这种中位数的计算对 于样本容量非常小时，更为合理。比如X11 季节调整中，季节变动和不规则变动相对数 的平均值，就是计算的Holdges-Lemmann 中位数估计量。 补充： X11季节调整。 55章节课件 定理 假定假设X1, X2, Xn为F(X)的简单 随机样本，如果F(X)为对称，则定义Walsh平均， 记为 W

35、A(1)，WA(），WA（）,则 其中 /2 (1)(1)(21) 224 n nn nn kz (1) 2 n n N (1)() , kN k WAWA 56章节课件 x- c(4.12,5.81,7.63,9.74,10.39,11.92,12.32,12. 89,13.54,14.45) walsh=NULL i 例如正态记分检验统计量为正态记分检验统计量为 64章节课件 正态积分检验的统计量为： 1 1 (0) 1 n i i i R TI XM n 65章节课件 (二) 检验 检验的假设为： 0100 :;:MMHMMH 0010 :;:HMMHMM 0010 :;:HMMHMM

36、66章节课件 则检验的统计量为 1 1 () (0) 1 n i i i TI XM n 1 1 () (0) 1 n i i i TI XM n 或 1 1 1 ()()0 21 n i i E Tnac nn 2 1 1 1 ()() 141 n i ni D T nn () (0,1) var() TE T TN T 当样本足够大时， 67章节课件 34:;34: 10 MHMH 例、下面的数据是亚洲10个国家的新生儿死亡率 （） 33 36 31 15 9 6 4 65 77 88 68章节课件 秩 符号秩 平方 3311 0.090909-1.33518-1.335181.78270

37、1 3622 0.181818-0.90846-0.908460.825295 3133 0.272727-0.60459-0.604590.365523 15194 0.363636-0.34876-0.348760.121631 9255 0.454545-0.11419-0.114190.013038 6286 0.5454550.1141850.1141850.013038 4307 0.6363640.3487560.3487560.121631 65318 0.7272730.6045850.6045850.365523 77439 0.8181820.9084580.908458

38、0.825295 885410 0.9090911.3351781.3351781.782701 合计 6.216376 i X |34| i X 1 i n 1( ) 1 i n 69章节课件 1 1 () (0) 1 n i i i TX n ()0E T 2 1 1 1 ()() 141 n i ni D T nn 2 1 1 10 1 ()1.727 9 41 n i i n 0.908460.6045850.908458 1.335178 1.94 70章节课件 () TE T z Var T 1.941.94 =1.47 1.314() z Var T 2 (1.47)2 0.07

39、0.140.05pp z 接受原假设。接受原假设。 71章节课件 假定表示犯第一类错误的概率，而表示 犯第二类错误的概率（检验的势为1- ）。对 于任意的检验T，理论上总可以找到样本容量 n，使该检验满足固定的和。显然为了达到 这个要求，需要样本容量大的检验就不如需要 样本容量小的检验效率高。为了达到同样的 和，检验T1需要n1个样本点，检验T2需要 n2个样本点.我们用n1/n2来定义T2相对于T1 的效率。当然这个比值越大,T2需要的样本容 量越小， T2的效率越高。定义渐近相对效率 ARE为 1 2 lim n n 72章节课件 第六节 单个总体渐近相对效率的比较 假定假设X1, X2,

40、 Xn为F(X)的简单随机 样本，我们来讨论符号检验，Wilcoxon符号秩检 验和t检验三者的渐近相对效率。我们需要检验 01 :0,:0HH 前面我们已经学习了关于线性符号秩统计 量，在一些条件成立下，线性符号秩统计量有 计算功效的公式。 73章节课件 1 线性符号秩统计量 一类线性符号秩统计量为 1 () n ii i SaR (0) ii I X 假定( )() 1 in i aib n 这里 是非降非负平方可积函数。() 1 i n 74章节课件 Wilcoxon线性符号秩统计量 1 n ii i WR ( )aii ( ) ( )()() 11 1 n uu ii ai n bn n 75章节课件 符号检验的统计量 1 n i i B ( )1ai ( )1 ( )()1 1 11 n u i ai n b 76章节课件 可以证明效力因子 1 0 12 0 ( )( ,) () ( ) n uu f du eff S udu 其中 1 1 11 () 22 ( ,) 11 () 22 f Fu u f f Fu F(x)是总体的分布函数，f是总体的密度函数。 77章节课件 利用这个结论我们可以计算W+检验的功效 1 0 12 0 ( )( ,) () ( ) n uu f du eff S udu 1 1 0 1 1 2 0