1.切线.高考函数试题一条亮丽的风景线

1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明切线.高考函数试题一条亮丽的风景线高考函数图像切线试题的基本类型 导数几何意义的直接应用是求函数图像的切线方程,并由此研究切线的性质;自导数进入中学数学后,关于函数图像的切线问题始终是高考的热点问题,并逐渐形成一条亮丽的风景线.母题结构:(切线方程)曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0)处的切线方程为:y-f(x0)=(x0)(x-x0),即y=(x0)x+f(x0)-x0(x0),其中切线在y轴上的截距是f(x0)-x0(x0).母题解析:对于曲线切线的认识不能停留在对圆的切线的认识上,

2、由曲线的切线方程知,如果函数f(x)在点x0处的导数值(x0)存在,那么曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0)处就有切线,据此我们可得:曲线的切线与曲线的交点可能有:一个(即切点)、两个、有限个、无限个;实质上,切线与曲线的位置可通过凸凹函数进行深入的研究. 1.求曲线y=f(x)的切线方程 子题类型:(2002年课程高考试题)己知a0,函数f(x)=,x(0,+).设0x1,记曲线y=f(x)在点m(x1,f(x1)处的切线为l.()求l的方程; ()设l与x轴的交点为(x2,0),证明:(i)0x2;(ii)若x1,则x1x2.解析:()由(x)=-切线l:y-f(x1)=(x1)(x-

3、x1),即l的方程:y=-x+-a;()由-x2+-a=0x2=-ax12+2x1;(i)由0x10,且x2=-a(x1-)2+0x2;(ii)由x1x2=-a(x1-)2+0x1x20).()求f(x)在0,+)上的最小值;()设曲线y=f(x)在点(2,f(2)的切线方程为y=x,求a,b的值.解析:()设t=ex(t1),则y=at+b=a-=(t+)(t-);当a1时,0y=at+b在1,+)上单调递增当t=1时,即当x=0时,f(x)在0,+)上的最小值=f(0)=a+b;当0a-1,c0,函数f(x)=x+b的图像与函数g(x)=x2+bx+c的图像相切.()求b与c的关系式(用c

4、表示b); ()设函数f(x)=f(x)g(x)在(-,+)内有极值点,求c的取值范围.6.(2013年课标高考试题)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=4x+4.()求a,b的值; ()讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.7.(2013年课标高考试题)已知函数f(x)=x2e-x.()求f(x)的极小值和极大值;()当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.8.(2008年课标高考试题)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为:7x-4y-12=0.()求y=f

5、(x)的解析式;()证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.9.(2012年南开大学数学试点班招生试题)已知曲线c:y=x3-3px2,斜率为m的两条直线分别与c相切于点a、b.()求证:ab的中点在曲线c上; ()已知ab:y=-x-1,求p、m的值.10.(2015年广东高考试题)设a1,函数f(x)=(1+x2)ex-a.()求f(x)的单调区间; ()证明:f(x)在(-,+)上仅有一个零点;()若曲线y=f(x)在点p处的切线与x轴平行,且在点m(m,n)处的切线与直线op平行(o是坐标原点),证明:m-1.11.(2013

6、年天津高考试题)设a-2,0,已知函数f(x)=.()证明:f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增;()设曲线y=f(x)在点pi(xi,f(xi)(i=1,2,3)处的切线相互平行,且x1x2x30.证明:x1+x2+x3-.12.(2013年全国高中数学陕西初赛联赛试题)已知曲线c1:f(x)=(ex+e-x),曲线c2:g(x)=(ex-e-x),直线x=a与曲线c1、c2分别交于点a、b,曲线c1在点a处的切线为l1,曲线c2在点b处的切线为l2.()证明:直线l1与l2必相交,且交点到直线ab的距离为定值;()设a-1,c0)b=2-1;()由(x)=3x2

7、+4bx+b2+c=16b2-12(b2+c)0b23c(2-1)23cc(0,7-4)(7+4,+).6.解:()由f(x)=ex(ax+b)-x2-4x(x)=ex(ax+a+b)-2x-4;由曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=4x+4f(0)=4,(0)=4b=4,a+b-4=4a=4,b=4;()由()知f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)(ex-),由此列表如下:由表知,f(x)在(-,-2)和(-ln2,+)上单调递增,在(-2,-ln2)上单调递减,f(x)的极大值=f(-2)=4(1-e-2).7.解:()由

8、f(x)=x2e-x(x)=-x(x-2)e-x,由此列表如下:由表知,f(x)在(-,0)和(2,+)上单调递增,在(0,2)上单调递减,f(x)的极大值=f(0)=0,f(x)的极小值=f(2)=4e-2;()设切点为(t,f(t),则切线l:y-t2e-e=-t(t-2)e-t(x-t)切线l的斜率=-t(t-2)e-t0t2;切线l在x轴上的截距x(t)=t+=(t-2)+3;当t(-,0)时,x(t)=-(2-t)+3-3+3=0;当t(2,+)时,x(t)=(t-2)+32+3.综上,截距的取值范围是(,0)2+3,+).8.解:()由f(x)=ax-(x)=a+;由曲线y=f(x

9、)在点(2,f(2)处的切线方程为:7x-4y-12=0f(2)=,(2)=2a-=,a+=a=1,b=3f(x)=x-;()设p(x0,y0)为曲线上任一点,则曲线在点p处的切线方程为:y-(x0-)=(1+)(x-x0),令x=0得y=-切线与直线x=0的交点a(0,-),令y=x得y=x=2x0切线与直线y=x的交点b(2x0,2x0)三角形oab的面积s=|-|2x0|=6为定值,此定值=6.9.解:()设a(a,a3-3pa2),b(b,b3-3pb2),由=3x2-6pxm=3a2-6pa=3b2-6pba+b=2p(a3-3pa2)+(b3-3pb2)=(a3+b3)-3p(a2

10、+b2)=(a+b)(a+b)2-3ab-3p(a+b)2-2ab=-4p3ab的中点(p,-2p3)在曲线c上;()由ab的中点(p,-2p3)在ab:y=-x-1上2p3-p-1=0(p-1)(2p2+2p+1)=0p=1a+b=2;由a(a,a3-3a2),在ab:y=-x-1上a3-3a2+a+1=0(a-1)(a2-2a-1)=0 (a=1舍去)a2-2a-1=0m=6a2-6a=3.10.解:()由(x)=(x+1)2ex0f(x)在r上为增函数;()由f(0)=1-a0f(x)仅有一个零点;()由p(-1,2e-1-a)kop=a-2e-1;由(m)=kop(m+1)2em=a-

11、2e-1;又由emm+1(m+1)3a-2e-1m-1.11.解:()设g(x)=x3-(a+5)x(x0),h(x)=x3-x2+ax(x0),则g(0)=h(0)=0f(x)在r上连续;由(x)=3x2-(a+5)0(-1x0),(x)=(3x-a)(x-1)当0x1时,(x)1时,(x)0f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增;()不妨设x10x2x3,由(x1)=(x2)=(x3)3x12-(a+5)=3x22-(a+3)x2+a=3x32-(a+3)x3+a(x2-x3)3(x2+x3)-(a+3)=0x2+x3=0x2x3;设t(x)=3x2-(a+3)x+a,则t()t(x2)t(0)=a3x12-(a+5)=t(x2)a-x1-+;令t=,则-+=-t+t2+=(t-1)2-.12.解:()由(x)=(ex-e-x),(x)=(ex+e-x)k=(a)=(ea-e-a),k=(a)=(ea+e-a);若k=ke-a=0,矛盾kk直线l1与l2必相交;由直线l1:y-f(a)=(a