圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结

1、8Ill圆锥曲线（椭圆，双曲线，抛 物线）的定义、方程和性质 知识总结NUL-DDQTY-KII标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-W楠圆的定义、性质及标准方程1椭圆的定义：第一定义：平面内与两个定点仆 竹的距离之和等于常数(大于闪的|)的 点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦 距。第二定义：动点M到定点F的距离和它到定直线/的距离之比等于常数 e(Oe b 0)中 心在原点，焦点在x轴上2 2+ 丨=1(。0) cr lr中心在原点，焦点在y轴上图形范围卜卜仙卜bxbfy0)応的|=2c(c0)离心率 = (0 1) a = (0 ? Ojn

2、 H h) o玖曲线的定义.方程和性质知识要点:1. 定义(1)第一定义：平面内到两定点Fi、F2的距离之差的绝对值等于定长2a(小于IF1F2I)的点的轨迹叫双曲线。说明： IIPFil-IPF2ll=2a (2aIFiF2IBt无轨迹。 设M是双曲线上任意一点，若M点在双曲线右边一支上，贝IJ|MFJIMF2l,IMFil-IMF2l=2a ；若1在双曲线的左支上，则IMFill)的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L叫相应的准线。2.双曲线的方程及几何性质标准方程2 2 l(a 0,b 0)图形/广Z7 、焦点Fi (-c, 0) , F2 (c, 0)Fi (0, -c) , F2

3、(0, c)顶点Ai (a, 0) , A2 (-a, 0)Ai (0, a) , A2 (0, -a)对称轴实轴2a,虚轴2b,实轴在x轴 上，c2=a2+b2实轴2a,虚轴2b,实轴在y 轴上,c2=a2+b2离心率c IMF. 1 a MDc 1 MF. 1 a MD准线方程a2a2准线间距离为羊a2a2i ：y *2 ：y- 准线间距离为羊渐近线方程=0, = 0 a babx y c x y c =0, = 0 b ah a3几个概念（1）等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为y二土x,离心率为血。（2）共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲

4、线的共轴双曲线，例：4-4=i的共轴双曲线是匚-4=-io a- ba b双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线c但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共轴双曲线；）双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。抛物线栋准方程与几何性质一、抛物线定义的理解平面内与一个定点F和一条定直线/的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定 点尸为抛物线的焦点，定直线/为抛物线的准线。注：定义可归结为“一动三定：一个动点设为M ； 一定点F （即焦 点）；一定直线/ （即准线）；一定值1 （即动点M到定点尸的距离与它到定直 线/的距离之比1） 定义中的隐含条件：焦点F不在准线/上。若尸在/上，抛物线退化为过 F且垂直

5、于/的一条直线 圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点尸和定直线/的距离之比为常数e 的点的轨迹，当Ovevl时，表示椭圆；当el时，表示双曲线；当 = 1时，表 示抛物线。 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在 解题中常将抛物线上的动点到焦点距离(称焦半径)与动点到准线距离互化，与 抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。二、抛物线标准方程1. 抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条 坐标轴建立直角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方 程不含常数项，形式更为简单，便于应用。2. 四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系

6、时，该坐标轴有四种不同 的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式。抛物线标准方程的四种形式 为：y2 =2/?Xp0), -V2 =2/0),其中： 参数的几何意义：焦参数是焦点到准线的距离，所以恒为正值； 值越大，张口越大；彳等于焦点到抛物线顶点的距离。 标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次 项，方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决 定抛物线的开口方向，即对称轴为X轴时，方程中的一次项变量就是匚 若X的 一次项前符号为正，则开口向右，若X的一次项前符号为负，则开口向左；若对 称轴为)轴时，方程中的一次项变量就是儿 当y的一次项前符

7、号为正，则开口 向上，若y的一次项前符号为负，则开口向下。三、求抛物线标准方程求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确 地选择抛物线标准方程. 待定系数法：因抛物线标准方程有四种形式，若能确定抛物线的形式， 需一个条件就能解出待定系数几因此要做到“先定位，再定值角注：当求顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线时，若不知开口方向，可设 为y2 =ox或x，=ay ,这样可避免讨论。 抛物线轨迹法：若由已知得抛物线是标准形式，可直接设其标准式；若 不确定是否是标准式，由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法求之。四、抛物线的简单几何性质方程设抛物线y2 = 2px(p o

8、)性质焦点范围对称性顶点离心率准线通径x03原点 = 122p注：,焦点的非零坐标是一次项系数的;4对于不同形式的抛物线，位置不同，其性质也有所不同，应弄清它们 的异同点，数形结合，掌握方程与有关特征量，有关性质间的对应关系，从整体 上认识抛物线及其性质。五、直线与抛物线有关问题1 .直线与抛物线的位置关系的判断：直线与抛物线方程联立方程组，消去X 或y化得形如cix1 +bx + c = O （*）的式子： 当时，（*）式方程只有一解，即直线与抛物线只有一个交点，此时 直线与抛物线不是相切，而是与抛物线对称轴平行或重合； 当（心0时，若（时式方程有两组不同的实数解O直线与抛物 线相交；若=（

9、） O （*）式方程有两组相同的实数解O直线与抛物线相切；若AVOO （*）式方程无实数解O直线与抛物线相离.2. 直线与抛物线相交的弦长问题 弦长公式：设直线交抛物线于AyiB（x2,y2）,则AB = y/i+k -xA-xH或网=+存M-曲 若直线与抛物线相交所得弦为焦点弦时，借助于焦半径公式处理：抛物线y2 =2/?Xp0）一点M（儿，儿）的焦半径长是MF = x0 + -y,抛物 线，=2/?（/? 0）上一点M （儿）,凡）的焦半径长是|MF| = 土儿+ y六、抛物线焦点弦的几个常用结论设A3为过抛物线V2 = 2/?Xp 0）焦点的弦，设4（“儿）,3（小,儿），直线A3 的倾斜角为7贝IJt也=_P-；4 AB =2psin2 0= x+x2 + p 以AB为直径的圆与准线相切； 弦两端点与顶点所成三角形的面积；2 sin 05 M + M=7 ;G）焦点F对A、B在准线上射影的张角为90。；七、抛物线有关注意事项1 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时