第七章假设检验

1、7.4 般总体均值的假设检验 般总体均值的大样本假设检验 1. 一个总体均值的大样本假设检验 n 、（Xj -X）2。 n - 1 i 4 H 0:% i H1，在大样本情况（样本容量 设样本（Xi,X2，,Xn）取自非正态总体 X，记总体均值 E（X）m二。样本均值及 1 n 2 样本方差分别为X =丄 Xi，S2 n i 二 如果我们要做双侧检验： 1 X _岀 n 一30）下可选 Z二0为检验统计量，由中心极限定理知，它在H。成立时近 SM-n 似服从 N（0,1）。检验的P值近似为2P（Z耳 |卜=叫）=2（1（|z |），其中检验 X - K 统计量 Z的观测值为 zO0 。 s/

2、Tn 例 7.4.1 一种机床加工的零件尺寸绝对平均误差为1.35mm。生产厂家现采用一种新的 机床进行加工以期降低误差。为检验新机床加工的零件平均误差与旧机床相比是否 有显著降低，从某天生产的零件中随机抽取50个进行检验。50个零件尺寸的绝对 误差数据（mm）如下所示： 1.26 1.19 1.31 0.97 1.81 1.13 0.96 1.06 1.00 0.94 0.98 1.10 1.12 1.03 1.16 1.12 1.12 0.95 1.02 1.13 1.23 0.74 1.50 0.50 0.59 0.99 1.45 1.24 1.01 2.03 1.98 1.97 0.9

3、1 1.22 1.06 1.11 1.54 1.08 1.10 1.64 1.70 2.37 1.38 1.60 1.26 1.17 1.12 1.23 0.82 0.86 利用这些数据，检验新机床加工的零件尺寸的平均误差是否显著降低？（： =0.01） 解：这里研究者所关心的是新机床加工的零件尺寸的平均误差与旧机床相比是否有 显著降低，也就是新机床加工的零件尺寸的误差的数学期望E（X） 1是否小于1.35, 因此属于单左侧检验。提出的假设如下： H0_1.35， H1：1.35 X35 1.35 现在n -50，检验统计量可选为Z=1.35n（0,1）; S/Jn 由数据得：x = 1.2

4、1 5 , s二0.366 ,故检验统计量Z的观测值为 1 21535 zo2.608，所以检验的P值近似为 0.366/竝 P（Z 乞一2.608 J =1.35） ：（ 一2.608） = 0.0046。 因为P 1.027 山一p2 =0.05)拓 10(1.027)=10.848 = 0.152。 因为P 0.05，故不拒绝原假设，即现有数据不足以支持该厂质量检验人员的观点。 3.单个总体比率的精确检验 上面讨论的都是大样本情形下的近似检验。事实上，在实际工作中，只要知道总体 的分布类型，我们就完全有能力利用计算机强大的计算功能或直接应用统计软件考虑精 确的检验方法，下面以单个总体比率

5、的检验为例。 设样本(X1,X2/ ,Xn)取自0-1分布总体 X B(1, p)，对右单侧检验问题： H : p乞pH1 : p p0 ,检验统计量我们可以选为 n T =二 Xi , i J 它在P = P0时服从B(n, P0 )( P67 , -8 ) o所以检验的P值为 n P(T to P = P。)=1 - P(T辽t。-1 P二P。)，其中t。= 7 Xi为检验统计量T的样本 im 观测值。这是单个总体比率的精确检验方法，大小样本都适合！ 例7.4.6某地区主管工业的负责人收到一份报告，该报告中说他主管的工厂中执行环境 保护条例的厂家不足 60%,这位负责人认为应不低于60%,

6、于是他在该地区众多的 工厂中随机抽查了 60个厂家，结果发现有33家执行了环境条例，那么由他本人的 调查结果能否证明那份报告中的说法有问题(-0.05)? 解：这位负责人想知道真正的比率p是否少于60%，这是一个左侧检验问题: H 0 ： p - p0 = 60% I 比：p ： p0 法一：由于n =6030，而且min(np0, n(1 - p0) = 245，可以用正态分布 进行检验。检验统计量为 X P0 X(1 -X)/n X P0 . p(1 - p)/n 它们在p = P0时都近似服从 N(0,1) o 现在又=33/60 =0.55，检验统计量 Z和 才 的样本观测值分别为 0

7、.550.6 ZO -: JO.550 0.55)/60 值近似为P(Z冬_0.778H0) -0.778和 zO = 0.55-0.6 0.60-0.6)/60 -0.791 o 检验的 :0.218或 P(Z 0.791H。)： 0.214。 因为检验的P值都大于显著性水平0.05，故不拒绝 H0，即没有充分理由认为遵守 法则的工厂的比率不足 60%。尽管观察的样本比率小于 60%，但它并未显著地低于 60%。 n 法二：采用单个总体比率的精确检验方法。检验统计量为T = Xj二nX，它 i 4 在 P 时服从 B(60,0.6)。 现在T的样本观测值为to = 33，故检验的P值为P(T乞33 p = p。)、0.254。 因为检验的P值大于显著性水平 0.05，故不拒绝H0,结论与法一同。 例7.4.7 某厂生产的产品次品率为10%。近期抽查20件，发现次品有4件之多。试问: 在=0.05下能否认为次品率仍为 10% ？ 解：这是关于次品率 p的右侧检验问题： H 0 ： p 乞 p0 = 10% H1 : pp0 由于是小样本，采用精确检验方法。检验统计量为 n T 八 Xi 二 nX， i出 它在p = p0时服从B(20,0.1)。 现在T的样本观测值为to =4，故检验的P值