概率论试题及答案

1、螆 For personal use only in study and research; not for commercial use 螄 芃试卷一 艿 螈一、填空(每小题2分，共10分) 膆1.设4 肀 H 薇则一 YI；勺厂； 羄 I) /(I . 螃】 肆 蚄9. B 袄 薁 10. B 蒅；二一 / 蒄丄 l.J：二 蚂故 P (A) + P (B) -P (C) PABa+b-rlb 袅故 莃 蒈 艿 薆 賺 螀 蚈试卷二 莆 膂一、填空（每小题2分，共10分） 衿1.若随机变量 I的概率分布为 肇2.设随机变量 八，且X豈则一 肆3.设随机变量 X服从皿-1, 4),则?+10

2、= 芄4.设随机变量 匸5二，则W 薄3.下列函数为随机变量分布密度的是 （）。 芁5.若随机变量T的概率分布为 蒇才 袇0 7T 肁2 荿开 羆P 芃 0.2 膂 0 5 蒈 0.3 莅则D（血X） =。 肃 2分，共20分） 膄二、单项选择（每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题 为使 恥卜码（”-姐（M 是某一随机变量的分 布函数，在下列给定的各组数值中应取（） (B) 聿(A) (D) 羁2.设随机变量二的概率密度为 羈(A). 蒈(C) A j4cos X 0 x- 2 其它，则小（ (B): (D)- P(E = 0 x 2 0 i其它 p(R=

3、(B) n 3jt sinx , 0 2 0,其它 莁(C) (D) 袈4.下列函数为随机变量分布密度的是( )。 P(X)= 一 輕 (B) 芅(A)、. 葿5.设随机变量二的概率密度为 Ph) ，:上，则的概率密度为( (B) i-pb) (D) 肅(C)门 袁6.设二服从二项分布 二，则( (B) D(2X-1) = 4 砂(1*)+1 (D) 螅7.设：，则( 羃(A)- (B)- 羀(C) 一 1 祕 X)= g 4 (-00 X +co) 膆8设随机变量二的分布密度为,则( 蒆(A) 2 (B) 1 羄(C) 1/2 (D) 4 肇9.对随机变量一来说，如果 EXDX ，则可断定二

4、不服从( 衿(A)二项分布 (B)指数分布 芆(C)正态分布 (D)泊松分布 ）。 螁10 设二为服从正态分布的随机变量，则1（ (B) 6 (D) -3 蒁(A)9 芈(C)4 袃三、计算与应用题（每小题 8分，共64分） 蕿1.盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个是旧球。采取不放回抽取，每次取一个，直到取到新球为止 螈求抽取次数二的概率分布。 羄2.车间中有6名工人在各自独立的工作，已知每个人在1小时内有12分钟需用小吊车。 羂求（1）在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少？ 膇（2）若车间中仅有2台小吊车，则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少？ 螁3.某种电子元件的寿命 |是随机变

5、量，其概率密度为 注 100 去（兀）=（X2 肀0 z 100 薇求（1）常数； 羄（2）若将3个这种元件串联在一条线路上，试计算该线路使用150小时后仍能正常工作的概率。 膈4.某种电池的寿命（单位：小时）是一个随机变量 肆求（1）这样的电池寿命在 250小时以上的概率; 蚄（2） 0.9 袄 蒅求 / 二:亠 蚂6.若随机变量二服从泊松分布，即，且知 二-。 虿求 - - 膅7. 设随机变量二 的概率密度为 薈8. 一汽车沿一街道行使，需耍通过三个均没有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独 立，求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以丄表示该汽车未遇红灯而连续通过

6、的路口数。 羅求（1）二的概率分布; 蒀（2） 羇四、证明题（共6 分） 上，服从均匀分布 蚅设随机变量二服从参数为2的指数分布 薂证明: 蒆 薃 蚀 祎 膆试卷二 莀参考答案 蝿一、填空 芆1.6 咻胡二1 袇由概率分布的性质有 蒂即11, 賺得L - C： 1 罿2._ 八7 ；则；：；: /；：二、 薃Hl： 1 - 3 - 5 - 9 - 75 莈 3. 0.5 膃- A = 螀 3. ( J) 蚈由概率密度的性质, p(M必二二 |o2 sin=1 莆 4.(-) 膂由密度函数的性质, p(x)=4沪可必=亠严十呛(2兀+1)=1 中JjFJ；T 是单减函数，其反函数为 求导数得；：

7、1 肆；由公式，y=-x的密度为耳(M=pg(y)g仞*卜刃 芄 6. (_ ) 芁由已知丄服从二项分布，则二”剑* I” 蒇又由方差的性质知 m I 袇7.() 肁丁 U；. 荿二丄 羆于是X(X-2) =說-2瞭=図+(脳-2駆=4 芃8. ( A)由正态分布密度的定义 由以畫)= g * (-co ux 2=i-f -CO + C 齐 dx 1 (2) )串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作，而这里三个元件的工作是相互独立的，因此，若 表示“线路正常工作”，则 P(J4) = F(Z150)J 昭50口 羅而 + 100 , 2 dx ?3 莆故 蒃4.解: 蚅（1） _8_

8、 27 PZ250) = l-FJrs 250 = 1-0 f 250-3001 35 *埶皿（好1-（釘） 薂- .-：1-：!：! 肇一（查正态分布表） 蒅.LJ： 芆即 P300-aX300+a 二 芅(2)由题意 二 蚀 a 35 仝3 2查表得 f 300+-3001 35 f 300-(2-300 - 35 肂5.解: y2x 齬对应的函数单调增加，其反函数为 “心）4站,求导数得则, Px （力二 羆又由题设知 L 0, lx2 其它 肃故由公式知: 丹卜）二必冷仞|了（刃|=2/ 0, y 其它 賺6.解: 护 奠：X服从曲松分布P，则胡二订訂（U2T 蚆而二 _.:! 膅由题

9、设知 SX2 = 2 蒃即 肀可得 1 F（壮 4） = 1- P（X4）T亍 莇故 2-0 A0 芁又由 得连续，单调，存在反函数 -如(1-y) 膈_ 祎当小时，二V则 : 蚂故 如小以或刃啦仞I =4 蚃 0,其它 J 0 y1 螁 -+- 芁 莇 袀试卷三 肇1.设二维随机变量 (I) 蚀一、填空（请将正确答案直接填在横线上。每小题 2分，共10分） 的联合分布律为, 膀 螈 蚃 y 0 1 h 节x 莀 蕿 蚄0 1 一戊 1 4 1 2 螅 螃 薈1 b- r 1 j 1 2 羈则 n 二，b 二. 芈2.设随机变量_和相互独立，其概率分布分别为, 薃 X 袁 莈1 螅 薄 罿 袇

10、 -1 蒅1 蚅 P 1 莂2 薁 1 2 芆 蒃 蒀 P 1 羀2 1 羆2 蒄则 PX=Y 袃3.若随机变量二与相互独立，且爲;.L I心仁 荿则 y+y 服从分布. 螆4.已知 二与* 相互独立同分布，且 薆 X 羁( 蝿 蒇 P 莃 01 莃 0.9 1 羇(A)(B) 芇5.设随机变量二的数学期望为、方差 DX = ，则由切比雪夫不等式有 用厂业2切. =hir 蒂 2分，共20分) 蚇二、单项选择(在每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题 羇1.若二维随机变量 (兀y) 的联合概率密度为 -,m 二4,-:，则系数 _2 (D) 2 蒆(A). 薀

11、(C) 一 莁2.设两个相互独立的随机变量 二和分别服从正态分布 ：!和“ 则下列结论正确的是( px+y() = -p+yi = - 螈(A)_(B)- 芃(C)_(D)- j _+(y-Da py) = 2 羃3.设随机向量(X , Y)的联合分布密度为，则() (B) X与Y不独立 螀(A) (X , Y)服从指数分布 莄4.设随机变量 XY 相互独立且都服从区间0,1上的均匀分布，则下列随机变量中服从均匀分布的有（ (B) (D) .1/ 羅5.设随机变量二与随机变量 目互独立且同分布，且 P（Y= = P（Y=门=1 莆,则下列各式中成立的是（） 蒃(A) 叱汀）（B）p伉汀）=l（

12、c） P(Z+X = O) = 1 P(XY = 1)=- 4 (D)4 虿6设随机变量，i的期望与方差都存在，则下列各式中成立的是（） 蚅（A）l：二丄： （B） ；：； m 膃y (D)h 薂7.若随机变量丁是二的线性函数， 沁-（）. 且随机变量二存在数学期望与方差，则二与的相关系数 肇(A) “ (B)(C) 蒅8.设是二维随机变量，则随机变量 U 与/:不相关的充要条件是（ 芅(A) EX = EY 蚀(B) EX2-(EXf = EY2-EY 蒈(C) EX2 + (EXy = EY2EY 膆(D) EX2 = EY2 芆9.设亠一!是、个相互独立同分布的随机变量, 购刃，域二4（

13、匕12讦） 肂则对于 P X-u 3 (D) 肃10.设，为独立同分布随机变量序列，且 Xi（ i = 1,2,）服从参数为入的指数分布，正态分布 N ( 0, 1 ) (4) lim P (C) lim P 的密度函数为 ,则（ (3) lim P $1 nA e() 中（或 薁三、计算与应用题（每小题 8分，共64分） _r表示有球的盒子个数. 蚆1.将2个球随机地放入3个盒子，设二 表示第一个盒子内放入的球数, 膅求二维随机变量的联合概率分布. 蒃2.设二维随机变量的联合概率密度为 0, z 0j y Q 其它 莇（ 1）确定的值; 羂求二二；. 蚂3.设的联合密度为 0 I l, 其它

14、 肅.设x瞅均匀分布中4, f服从扌鐵分布球），且x与y相互独立 肂求（1） （x y） 的联合概率密度; (2) +!； 袂6. (3) D(X-2Y). 设 仏Y） 的联合概率密度为 0, 0 x2, 0 j 蒆即1 I 膂选择(B). 莁 莀 2. (B) 薇由题设可知，“广川花工二 薅故将 二-标准化得 PX+Y 螁 蚃选择(B). 膀 3. (C) 1确严厅 = e 2 知，尸 a 则 佔(疋,？)=0 2tt 薇圮厂用川 莆.选择(C). 螂 4. (C) 1,07, 1 0,其它 虿丁随机变量 XY 相互独立且都服从区间0,1上的均匀分布，则 芇 蒈二选择(C). 膄 5. (A

15、) 丫 ?(x = r)= p(x = i)p(f=i)+ p(x = _i)p(y = -i) 11111 =x X = 莃 肇二选择(A). 芅 6. (A) 节丁由期望的性质知 螂茁工丁 螈.选择(A). 芆 7. (D) EXY-EXUEY (“0) EXaXb)-EXWEaXb) aUDX 薈 螃二1 aDX 薁.选择(D). 艿8. (B) 心与匸不相关的充要条件是 膆即； 肀则I 口 聿选择（B）. DX 芄 蒀 4 DXi 丹） 肅故 螅 C- 2 Y=l Y=2) 3 9 PX=2 due 薀 PX = O 膈I PX=2 蒁 Y=2 = 0 =1 螀:J: 21 2 冋二4

16、 芆 9. (C) 芈选择（C）. 莂 10. (A) 腮Xi （ i = 1,2,）服从参数为入的指数分布，则 薂选择（A）. 芀三、计算与应用题 腿1.解 袃显然丄的可能取值为山L 士； r的可能取值为I : 羂注意到将一个球随机的放入个盒子共有二“种放法，则有 螇、 X-nEX 蒇即 （x 丫） 的联合分布律为 羅 Y 莄X 袀1 芇2 AU 肇 2 蒂9 2 芀9 羈1 *u 肇 4 袅9 蝿2 1 螈9 袅0 羃2.解 莃（1）由概率密度的性质有 匚匚P（x, ydxdy =心）弓宀心妙 A 12 羇=I 芅可得 肛12 袂（2）设 J 匚 r，则 Pox , 0Y2P（X, r）e

17、D） 罿3.解 祎(1)八 何=匸 p(忌 yy (Orel) 薂门 Px = 蚁即 0. 0 xl 其它 +-W 內仞=匸pg 妙x 0, 0 y 1 其它 -.!丨时 心驭(丿)二耳和一/加丹讥越y) 故随机变量 二与* 不相互独立. 4.解 先求 的分布函数 他) 当时，二 珂(y)= 即 (2 )当 Z =- 显然，随机变量/的取值不会为负，因此 F(z) = PZz = p 当一 一时， X Y .H* 訂I讥九以妙 5 5.解 6.解 的概率密度为 0 2 1 o 0 z (1) 工与丁 相互独立 M y) 的联合密度为 f严 戸5 y) = MOpr(y)= * Q (2 2+4

18、1 =2x+4x- 22 =8 (3) 44 =I一 12 4 3 20 其它 (总涉砂 J O5小：- 这里，可以认为1较大，则由棣莫弗一拉普拉斯定理知， 二近似服从正态分布!儿| 依题意，有I- 11 11; f 10-Q.h1 i 3 09芹丿 09 09 Oh-10 亦即 母巨 147 查表得 故至少应检查|个产品，才能达到题设要求. 四、证明题 证 由协方差的定义及数学期望的性质，得 cov(X = EX-EX)n(b-b =0 仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途 For personal use only in study and research; not for commercial use. Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu komme