流体力学习题及答案-第四章

1、第四章流体动力学基本定理及其应用 4-1欧拉运动微分方程和伯努利方程的前提条件是什么，其中每一项代表什么意义? 答：(1)欧拉运动微分方程是牛顿第二定律在理想流体中的具体应用，其矢量表达式为: 其物理意义为：从左至右，方程每一项分别表示单位质量理想流体的局部惯性力、 迁移 惯性力、质量力和压力表面力。 (2)伯努利方程的应用前提条件是：理想流体的定常运动，质量力有势，正压流体，沿流 线积分。单位质量理想流体的伯努利方程的表达式为: /2 二卫 gz C，从左至右方程 2 每项分别表示单位质量理想流体的动能、压力能和位能，方程右端常数称流线常数，因此方 程表示沿流线流体质点的机械能守恒。 4-2

2、设进入汽化器的空气体积流量为Q 3 0.15m /s，进气管最狭窄断面直径D=40mm喷 油嘴直径d=10mm试确定汽化器的真空度。 又若喷油嘴内径d=6mm汽油液面距喷油嘴高 度为50cm,试计算喷油量。汽油的重度 7355N/m3。 答：(1)求A点处空气的速度: 设进气管最狭窄处的空气速度为v1， 压力为pi，则根据流管的连续方程可以得到: 1 D2 d2V1Q， 4 因此: Vi 4Q D2 d2 (2 )求真空度pV 选一条流线，流线上一点在无穷远处 F，点为A点；并且: 在 F 点：Pf Po，Vf 0 ； 在 A 点：pAp-i?， VAV|。 将以上述条件代入到伯努利方程中，可

3、以得到: 2 Pl 因此真空度为: Pv P0 Pl 1 vi 4Q D2 d2 8 Q2 2_ 1 D2 d2 2 若取空气的密度为 1.226 kg/ m3，那么计算得到: Pv 8 1.226 0.152 3.142 129.95 0.0420.012 103 Pa 。 (3)求喷油量: V2，并设空气的密度为 1，重度为 1，汽油的重度为 一条流线，流线上一点为上述的 A点, 在A点： Pa P1 P0 1 2 2v1， 在B点： Pb Po， vb 0，Zb 设喷油嘴处汽油的速度为 0 代入到伯努利方程中, 可以得到: 另一点为汽油液面上的 B点；并且: V2 ?，Za h 50cm

4、 0.5m ； P0 2 272 v1 2g 整理得到: 2 V2 1 2 2gh ； 因此汽油喷出速度为: v 2gh ； 2 其中空气重度11g 1.226 9.81 12N/m3 ； v1 4Q D2 d2 ，并注意到喷油嘴的 直径是6mm而不是原来的10mm则计算得到: 1226 982 16 0215222 9.81 0.5 73553.1420.042 0.0062 24.366 9.81 3.817m/s V 因此汽油流量为： 1212433 Q2d v23.14 0.0063.817 1.079 10 m /s 107.9cm /s。 44 4-3如图所示，水流流入 U形弯管的

5、体积流量Q=0.01m/s，弯管截面由S1 =50cm2减小到 S2=10cm2，流速V1和V2均匀，若S2截面上的压力为一个工程大气压，求水流对弯管的作 3 用力及作用点的位置。1000kg / m。 答：（1）求截面S-i和S2上的流速v1和v2: 由连续方程可知: S1 0.01m3 /s 50 10 4m2 2m/s， V2 0.01m3/s 10 10 4 m2 10m/s ； 已知S2上的压力P21个工程大气压 5 0.981 105Pa ； 由伯努利方程： 2 2 P1V1 P2 V2 2g 2g 得到： P1P2 1 V 2 2 1 V2 5 0.981 10 1 1000 1

6、00 4 2 2 （3 ）求水流对弯管的作用力 R : （2）求S1上的压力P1 : 由动量定理可以得到: 5 1.461 10 Pa。 P-P1-P2 2 、 V1S1 v；S2 其中R和P2分别为在S1和S2上，外界对水流的作用力；在此需要注意到，对于整个弯管, 大气压力对其的作用力合力为 0。因此: S1截面上作用力为: Rp1 p0 S11.164 105 0.981 105 50 10 4 240N， S2截面上作用力为: P2 P2 Po S2 0。 因此： P P 240 120360 N v；3 v；S2240 i03 22 50 10 4 102 10 i0 4 (4)求作用

7、力P的作用点: 设作用点距Si截面中心线的距离为 e， 两管中心线之间的距离为 由动量矩定理可以得到: 即: 2小 V2S2 32-4 10 10 10 10 360 100 360 0.278。 60，设粗端表压力 4-4如图所示，弯管的直径由di=20cm减小到d2=15cm,偏转角为 pi=7840N/m2，流过弯管流体的体积流量Q=0.08m3/s，求水作用于弯管的作用力及作用点的 位置。 Si截面处压力Pi和利用伯努利方 答：首先应注意到，表压力读数指相对压力。也就是说, 程得到的S2截面的压力P2的值，均为相对压力。又由于大气压力对弯管的作用力合力为0, 因此在S1和S2截面上，均

8、应以相对压力值计算。 (1)利用连续方程求截面 S和S2上的流速v1和v2: Vi Q Si 4Q V2 Q S2 4Q df (2)利用伯努利方程求 S2截面的相对压力 P2 : 根据伯努利方程： 2 2 Pi ViP2 V2 2g 2g 可以得到: i 2 2 ViV2 ； (3 )求管壁对流体的作用力Fx和Fy : 求x方向作用力分量Fx : 由动量定理: Fx P2 sin v2 v2 sinS20 其中P2 Fx sin P2 2 V2 S2 P2 2. v2 sin S2 Pl 2 V2 2. v2 sin S2 Pl 2 Vi 2 V2 sin S2 Pl i6Q2 r 4 di

9、 i6Q2 2 4 sin d2 S2 Pi Q2 i 丁 di i d? sin S2 32 8 i0 0.08 78402 3.i422 i 0.24 i 0.i54 丄 3.i42 4 0.i52 P2$为S2截面上外界对管内流体的作用力；整理得到: 326N 求y方向作用力分量Fy: 由动量定理: Fy PiP2 cos vi viSiv2v2 cos S2， 其中P Pi Si为Si截面上外界对管内流体的作用力，整理得到: Fy P Pi 2 vi Si 2 Vi Si P2 P2 7840 i03 16 2 V2 S2 COS 2 V2 S2 cos 0.082 3.i4220.2

10、4 i 3i42 0.22 326 450 188262N (4 )求力的作用点: 如图所示，设流体对弯管的作用力Fx和Fy与x轴和y轴的距离分别为ey和e*，由于 Si和S2上所有外力和流体动量均通过坐标原点，由动量矩定理可知ex e 0，即合力作 用点通过坐标原点。 4-5如图所示，平板垂直于水柱方向，设水柱流来的速度为vo=3Om/s，水柱的体积流量 Q=294rr/s，分流量Q=118 vn/s。试求水柱作用在平板上的作用力和水流偏转角。设液体 的重量和粘性可略去不计，水柱四周的压力处处为大气压。 答：（1）由伯努利方程可知 V| v2 v0 ； （2）设流束宽度分别为 bo，b1和b

11、2，则有bo Q/Vo，bi Qi/Vi Qi/v。；又由连续方 程可知： Q2 Q - Qi 因此： b? Q - Q1 / V2 Q - Q1 / Vo ； （3）应用动量定理求平板对流体的作用力和偏转角: 求偏转角度 ： 在y方向，平板对流体的作用力 Fy b2 ； o，即： 0 v1 1 b1v2 v2 sin 整理得到： V v； sin b2 o 将 V1v2 Vo代入，可以得到： sin bi Q1 / vo Qi 118 b2 Q Q1 /vo Q Qi U.67 ， 294 118 即： 41.8。 求x方向作用力分量Fx : 由动量定理得到： Fxv0 vobov2 v2

12、cos b2 整理得到: 22 Q Q Qi Fx v0 b0 b2cosv0cos v0 Q Q Q1 cos VoVo 103 30 294 294 118 cos41.84.88 106(N) 4-6图示水箱1中的水经光滑无阻力的圆孔口水平射出，冲到一平板上。平板封盖着另一 水箱2的孔口，水箱1中的水位高度为h1，水箱2中的水位高度为h2,两孔口中心重合， 而且直径d1=d2/2。若射流的形状是对称的，冲击到平板后转向平行于平板的方向，并向四 周均匀流出。假定流动是无粘性不可压定常的，平板和水质量力不计。当已知h1和水的密 度 时，求保持平板封盖住水箱2的孔口是h2最大值。 答：(1)求

13、水箱1出口处速度V1 : 在水箱1的自由液面上选取 A点，在出口截面上选取 B点； A点：Pa P0，Va 0，hA h，其中P0为大气压力； B 点：pB p0 ， VB V1 ?， hB 0。 由过A、B两点的伯努利方程： 1 2 Pa ghA 1 2 Pb ghB 2Va 2Vb 得到： 1 0 2 P0 gh1 2V/ p g 0 ； 因此： 2 卜 V2gh1，V 2gh ； (2) 求水流对封板的作用力P : 由动量定理，沿垂直于圭寸板的方向： 1鸟1221212 P 0 ( Vb) Vb：d12-d12vB-d22gh-ghd； 4442 (3) 求水箱2的最大高度hmax :

14、在封板右侧，水箱2形心处的静压力为pghmax，因此封板受到水箱2的静水压力: P Pj； 1 ghmaxd；。 当封板左右两侧压力相同时，即P P时: gh max d 2 1 注意到d1d2，整理可得： 2 1 亠 亠、 1 hmax0。即水箱2液面最大咼度为h|。 2 2 4-7工程中常用文丘里（Venturi ）管测量管路中水的流量。管路和收缩管段截面积分别为 S、S2,水的密度和U形测压计中液体的密度分别为、m，且m。若不计水的粘性, 试导出图示倾斜管路中水的流量Q与测压计中液体的高度差读数h之间的关系式。 答：设正常管路截面 1-1和收缩段截面2-2的流速分别为v1和v2，则由连续

15、方程可知: W S V2S2; 又设管路的流量为Q，则： V1 Q / S , V2 Q/S2; 选取沿管路轴线的流线，由伯努利方程可得到: B %2 Z1 Z2 P21 2 v2 , 2 2 整理得到： 1 2 2 P1P2 V2 V1g Z1Z2； 2 (1) 取U形测压计内液体的左侧 A点处水平面为等压面，则有: Pa P1 g(z1 hj Pb P2 g(z2 h hj mgh ； 由于Pa Pb ，则可得到： P1 g Z1h1 P2 g(z2 h hjmgh; 整理可得: P1 P2g Z1 Z2 ghm(2) 将（2）代入到（1 ）中，可得: gh m Q Q S2 s2 gZ1

16、 Z2 ； U2U 再经整理得到: ghs2s； S2 S； 2 S2 SghS1S2。 4-8圆管内不可压缩定常流动如图所示。入口处流速 U均匀，在某截面x处为抛物形速度 22 分布：u r cr r U，其中r为离管轴的径向距离，c为一未知常数。入口处和 x处 管截面压力均匀分布， 分别为Po和Px，流体密度为，不计重力。（1）试确定常数c ； （ 2） 证明作用在o至x间，管壁上总的摩擦阻力 Dro2 po px - U 2 。 3 答：（1）入口处流量为：Q r2U ；由连续方程可知，x处截面的流量也是 Q r；U。 又由于通过x截面半径 r处环形微元面积 ds 2 rdr上的流量为:

17、 dQ 2 ru r dr 对其积分可得到: 即: ro Q 2 0 ru r dr ro r 0 2 c ro r2Udr r0224 CU 0 ror dr 尹0U ； 因此得到: 2 c ro 则速度分布为: ro2U ； 2 u r - ro 2 2 ror 2 1 2 ro （2 ）入口处流体的动量为: r2U U r2U x截面上，通过半径为 r处的环形面积 流体的动量为: dM 2 rdr u r u r 2 2 ru (r)dr ； VP2VP1 将上式积分得到: r。 2 o 2 ru (r)dr 2 2 ro 2 r r 4U2 12 0ro dr ro2U 由动量定理可知

18、, 动量的变化量等于外力的合力，因此: 4ro2U2 3 2 2 D po ropx ro 1ro2U2r； po px 3 U2 4-9 一马蹄形旋涡如图所示，两端向右延伸至无穷远处。试分别计算 R、 P、Q三点的诱导 2 2 2 2 roUporoPxroD ； 其中D为圆管对流体的摩擦阻力，整理得到: 速度。 cos 2 cos 1 ； 答：由毕奥-沙伐尔定律可知，涡线对空间一点的诱导速度为: (1 )求涡线对R点的诱导速度: 诱导速度由3部分涡线产生，即涡线 1、2和3: 涡线1:方向垂直纸面向外: Vr1 cos 2 4 l cos 1 其中2 0， cos 1 ； cos _d _|2_ 因此: Vr1 _d_ _l _d2 涡线2:方向垂直纸面向内