2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)-含详细答案

1、2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）含详细答案、选择题（本大题共 12小题，共60.0分） 1. 已知集合？= ?卜 4 ? 2, ?= ?|?- ? 6 0,则？ 0?=()第23页，共18页A. ?|- 4 ? 3B. ?卜 4 ? -2D. ? ? ?C. ?|- 2 ? 2D. ?|2 ? 3D. 设复数z满足|?0 ?= 1, z在复平面内对应的点为(?),则()A. (?+ 1)2 + ?另=1B. (?- 1)2+ ?另=1C. ? + (?- 1)2= 1D. ? + (?+ 1)2 = 1E. 已知？?= log 20.2, ?= 20.2,?= 0. 20.3

2、 ,则()A. ? ? ? B. ? ? ? C. ? ? 0,? 0)的左、右焦点分别为？，？，过？?的直线与C的两条渐近线分别交于A, B两点.若?= ?= 0,则C的离心率为 三、解答题(本大题共 7小题，共82.0分)17 . ?样角 A, B, C 的对边分别为 a, b, ?(?-?)sin2?-?求A；(2)若 v2?+ ?= 2?求 sinC.18 .如图，直四棱柱？?-?的底面是菱 形，？?= 4, ?= 2, /?30, E, M, N 分别是BC, ? ?勺中点.证明：？?/平面？ (2)求二面角？0 ?- ?勺正弦值.3 一19 .已知抛物线C: ?= 3?勺焦点为F,

3、斜率为的直线l与C的交点为A, B,与x轴的交点为P.若|?+ |?= 4,求l的方程;(2)若?？? 3?球|?j二 z 20 .已知函数？?(?= ?阳1 + ?) ?(?为？?(?硼导数.证明:?(1)?(?在区间(-1, 2)存在唯一极大值点；(2)?(?病且仅有2个零点.21 .为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行 动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只 白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排 下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的

4、药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试 验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为？和? 一轮试验中甲药的得分记为 X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，？?= 0,1,，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 ？= 0, ? = 1, ?= ?-1 + ?+ ?+(?= 1,2,，7),其中?= ?(?= -1) , ?= ?(?= 0) , ?= ?(?= 1).

5、假设？?= 0.5, ?= 0.8.(?珈明：?+1- ?(?= 0,1, 2,，7)为等比数列；(?)?,并根据？?的值解释这种试验方案的合理性.1-?2嚅(?为参数).以坐标原点。为1+?的极坐标方程为2?=22 .在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?=极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 v3?1?1? = 0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值.23 .已知a, b, c为正数，且满足？?？1.证明:(1) ?+ 1?+ ? 24 .答案和解析1 .【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解法和交集的运算，属基础题.利用一元二次不等式

6、的 解法和交集的运算即可得出.【解答】解：？= ?卜 4 ? 2, ?= ?|?- ? 6 0 = ?卜 2 ? 3, . .? Q?= ?卜 2 ? 2.故选C.2 .【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的模、复数的几何意义，属基础题.由z在复平面内对应的点为(?),可得？?= ?+ ?谶后根据|?0 ?= 1即可得解.【解答】解：.？在复平面内对应的点为(?).?= ?+ ? ?. .? ? ?+ (?- 1)?.|?0 ?=，,?+ (?- 1)2 = 1 ,.? + (?- 1)2= 1,故选C.3 .【答案】B本题考查了指数函数和对数函数的单调性运用，属基础题.由指数函数和对数函数

7、的单调性易得log20.2 1, 0 0,20.3 1 ,从而得出a, b, c的大小关系.【解答】 解：？?= log 2 0.2 20 . 0 0.20.3 0.20 = 1 , .?= 0.20.3 (0,1), .? ? 0,因此排除B, C,，？?(?助-?, ?止的奇函数，因此排除 A;故选D.6 .【答案】A【解析】【分析】本题主要考查概率的求法，考查古典概型、组合的应用，考查运算求解能力，属于基础题.基本事件总数？?= 26 = 64,该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数 ?= ?f = 20,由此 能求出该重卦恰有 3个阳爻的概率.【解答】解：在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总

8、数？?= 26 = 64 ,该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数 ?= ?宠=20,则该重卦恰有3个阳爻的概率？?=? =卫=之.?6416故选A.7 .【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题.由(？?- ?!?可得(?- ?= 0,进一步得到 |?|?cos - ?= 0，然后求出夹角即可.【解答】解：,(？?- ? X?.(?- ? ?= ?=| ?|?cos -?= 0，_ 2-cos= %= 2.,e 0, ?.= ,3故选B.8 .【答案】A【解析】【分析】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题.模拟程序的运行，由题意，依次写出每次得到的A的值，观察规

9、律即可得解.【解答】解：模拟程序的运行，可得：_ _1?= 2, ?= 1 ；1满足条件? 2,执行循环体，？?=诩，？?= 2；1满足条件? 2,执行循环体，？?二笄工，?= 3;221此时，不满足条件?24-2? 22?根据 cosZ ?+ cos / ? = 0,可得 1?+ 掾2 = 0,解得？= 3,.-.?= V3, ? = ? - ? = 3- 1 = 2.所以椭圆C的方程为:?2故选B.11 .【答案】C【解析】【分析】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题.根据绝对值的应用，结合三角函数的性质分别进行判断

10、即可.【解答】解：?(-?)= sin| - ?|+ |sin(-?)| = sin|?|+ |?(?)且？(?物定义域为 R, 则函数？(?期偶函数，故正确；,一一 ?当？C (万，？时,sin|?|= ?则？(？?= ?Bi数，故 错误;当 0W?W ?寸,?（?= sin|?|+ I?%?由？（？?= 0,得 2?,即？?= 0或?= ?由？（?花偶函数，得在-?, 0）上还有一个零点？?= -?,即函数？（?弥-?, ?有3个零点，故错误；当sin|?|= 1, |?1|时，？（?取得最大值 2,故正确，故正确是，故选C.12 .【答案】D【解析】【分析】本题考查多面体外接球体积的求法

11、，是中档题.设/? ?= ?= ?= 2? ?= ?根据余弦定理以及勾股定理证明三条侧棱两两互相垂直，即可求外接球。的体积.【解答】解：P设 / ? ?= ? ?= 2? ?= ?因为E, F分别是PA, AB的中点，所以?= -?,= ? ?= ? 2在 ?cos?=4?挈+4-4? 212X2?= 2?在 ?cos?=?+4-? 22X 2?整理得?- ? = -2，因为?卷边长为2的正三角形，所以又 / ?90o ,贝U ? + ?3 = 3 ,，由得?=亭所以？= ?= ?= y/2,所以？?+ ?= 4= ?,即？?L ?同理可得？?L? ?L?则PA、PB、PC两两垂直，则球。是以

12、PA为棱的正方体的外接球，则外接球的直径为v2 + 2 + 2 = v6,所以球O的体积为I/，不，一雪色)=.故选D.13 .【答案】？?= 3?【解析】【分析】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，属基础题.又?= 3(?+ ?)琳导，可将？?= 0代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程.【解答】解：.？?= 3(?3 + ?)泡.?= 3(2?+ 1)?+ 3(?2 + ?)?= 3?”?,+ 3?+ 1),.当？?= 0时，?= 3,.?= 3(?2 + ?)?在点(0,0)处的切线斜率?= 3,.,切线方程为：？?= 3?故答案为？?= 3?4 .12114 .【答案】【解析】

13、【分析】本题主要考查等比数列前n项和的计算，属于基础题.根据等比数列的通项公式，建立方程求出q的值，结合等比数列的前n项和公式进行计算即可.【解答】解：设等比数列?的公比为q,由？ = ?,得(?？?)2 = ?,即？?？= ?,解得？?= 3,则?=3* =1213故答案为.15 .【答案】0.18【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.甲队以4： 1获胜包含的情况有： 前5场比赛中，第一场负，另外 4场全胜，前5 场比赛中，第二场负，另外 4场全胜，前5场比赛中，第三场负，另外 4场全胜， 前5场比赛中，第四场负，另外 4场全

14、胜，由此能求出甲队以 4: 1获胜的概率.【解答】解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.甲队主场取胜的概率为 0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，第六场 一定是甲胜，甲队以4： 1获胜包含的情况有：前5场比赛中，第一场负，0.6 = 0.036 ,前5场比赛中，第二场负，0.6 = 0.036 ,前5场比赛中，第三场负，0.6 = 0.054 ,前5场比赛中，第四场负，0.6 = 0.054 ,则甲队以4: 1获胜的概率为=0.036 + 0.036 + 0.054 +故答案为：0.18.另外 4场全胜，其概率为:另外 4场全胜，其概率为:另外 4场全胜，其概率为:

15、另外 4场全胜，其概率为:?= ?+ ?+ ? + ? 0.054 = 0.18.? = 0.4 X 0.6 X0.5 X0.5 X? = 0.6 X0.4 X0.5 X0.5 X? = 0.6 X0.6 X0.5 X0.5 X? = 0.6 X0.6 X0.5 X0.5 X16 .【答案】2【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质，是中档题.由题意画出图形，结合已知可得？?？，？?？可得一条渐近线方程的倾斜角为 仪，从而可得,进而求出离心率. a【解答】. ?!?= ? ?.?L ?则?笑 ?则 jLAQFi = 1AQB -= 60所以一条渐近线的斜率为-=，加剧r = St,（2所以？?

16、= ?= V1 + ?2= 2, ?故答案为：2.17 .【答案】 解：（1） .摩?的内角A, B, C的对边分别为a, b, c.设（？?-?）sin 2?- ?则sin2?+ sin2?- 2?n?- ?，由正弦定理得：?+ ?- ?2 = ?吊+?2 -?22?2?=0 ? ? . .?=?3._?(2) ,v2?+ ?= 2? ?= 3,，由正弦定理得 v2sin?+ sin?= 2sin?,v6,. +2sin( 2?- ?)= 2?即舁力1cos?+ 2sin? =2sin?,即袅羽3cos? sin? =0,即 sin(?- 3 = 9,E (等)，则 一.,.?. ?= ?

17、?=64?一 +4?Q,，？?n(4+ 6?=sin - cos + cos sin设平面v6+ v24【解析】 本题考查了正弦定理、余弦定理，属于中档题.(1)由正弦定理得：？+ ?- ? = ?再由余弦定理求出 A.(2)由已知及正弦定理可得：sin(?- ?=停,可解得C的值，由两角和的正弦函数公式即可得解.18.【答案】(1)证明：如图，过 N作？?， ?连接 BH,1则？?/? H 是 AD 中点，且？?= 2?,1又？?/?, ?= 5? .四边形 NMBH 为平行四边形，则？?/?由H为AD中点，而E为BC中点，.?/? ? ?则四边形 BEDH 为平行 四边形，则？?/?.?/

18、?. ?平面？?？?？ ?平面？?？. .?平面？?？(2)解：以D为坐标原点，以平面 ABCD内垂直 于DC的直线为x轴，以DC所在直线为y轴， 以？?1?听在直线为z轴建立空间直角坐标系，E二 A/31则？?年,-2,2), ?(v3,1, 2), ?(v3,-1,4), ?= 2,0), ?= (* 1,2),切=(?) 、,/室？赞？?= ?+ 3?= 0由212,取？?= v3,得？?= (v3,-1, -1),? ?=慨？2 2?+ 2?= 0又平面？?勺一个法向量为？?= (1,0,0),.cos =?望5=|? |?|? v55面角？0 ?- ?勺正弦值为. 5【解析】 本题考

19、查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题. 过N彳?!?证明?/?再证明？?/?可得？?/?再由线面平行 的判定可得？?/平面？?(2)以D为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出平面？?芍平面？?酌一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角？ ?- ?勺正弦值.3.19 .【答案】 解：(1)设直线？?= 2?+ ? ?,?), ?,?),3-3由题意可得？K70),故 |?+ |?|?= ?+ ?+因为 |?+ |?= 4,5所以？+ ?=?= -?+ ?.联立2,整理得 9?+ 12(? 1)?+ 4?= 0,? = 3?由韦达定理可知

20、,12(?-1)?+ ?= -9从而-中|,解得？?=-所以直线i的方程为？?= -? 7. 28(2)设直线？?=!?+ ?, ?,?), ?7?,?),由？?= 3 ?河得？ = -3?2，一、.?= 3?+ ? . 1c联立2,整理得? - 2?+ 2?= 0,? = 3?由韦达定理可知，?+ ?= 2,又？ = -3?2，解得？= 3,?= -1 ,1代入抛物线C万程得，?= 3,?= 3，即？3,3), ?五：，-1), 34VI33故 |?= V(3 - 1)2 + (3 + 1)2 =【解析】本题考查了抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题.(1)根据韦达定理以及抛

21、物线的定义可得.(2)由砥=3?对得？= -3?2,由韦达定理可得？+ ?= 2,从而解出A、B两点 坐标，使用弦长公式计算即可.20 .【答案】 证明：(1)?(?的定义域为(-1, +8),令？7 ?= ?(?)= ?/,1-?(?= -?i?2,令?(?=则？ (？-?1篇 0 在(-1, ?) 恒成立, ()2?.? (?在(-1, 2)上为减函数，,?1又？ (0)= 1 , ? 2) = 1 + ?2 1 +1 = 0,由零点存在定理可知，一，？函数？(？?在(1, 2)上存在唯一的零点？，?结合单调性可得，？T?在(-1, ?)上单调递增，在(?3,2)上单调递减,?可得？式?在

22、区间(-1, 2)存在唯一极大值点；(2)由(1)知,当？?e (-1,0)时，?K？?单调递增，贝(?(，?？ ? (0) 0, ?(?)调递增；，一 ,.?由于?(?在(?3,2)上单调递减，7r_且？?，?) 0, /%) = 一1 + ?彳? 0,故？?(?)调递增;?当？?e (?1,2)时，？?(?单调递减， 贝U?7? ?彳?= 0, ?(?弹调递减.1 0，? _ .当？?e(2,?时,?, 于是？才?？ = ?*? 1 =1 - ?2.6 1 - ?), ?(?= -ln(1 + ?) -? 于是可得下表：x(-1,0)0(0, ?)?(? ,2)?2(?)(2 , /?K?-0+0-?(?懒函数0增函数E 0减函数K 0减函数小于0结合单调性可知，函数 ？?(?在(-1, ?上有且只有一个零点0,由函数零点存在性定理可知, ,?(?加(2,?止有且只有一个零点？?, 当？?e ?,+8)时，？?(?= ?(1 + ?) 1 - ln(1 + ?) 1