人教版八年级上册数学PPT课件 第14章 整式的乘法与因式分解14.2.2完全平方公式

1、 八年级数学八年级数学上上 新课标新课标 人人 学习新知学习新知 检测反馈检测反馈 第十四章第十四章 整式的乘法与因式分解整式的乘法与因式分解 高菲同学做作业时,把一滴墨水滴 在一道数学题上,题目变成了x2 x+1,看 不清x前面的数字是什么,只知道这个二 次三项式能写成一个整式的平方,急得她 抓耳挠腮,你能帮助她吗? 学学 习习 新新 知知 计算(x+a)(x+b). 一、公式的推导 解:(x+a)(x+b) =x2+bx+ax+ab =x2+(a+b)x+ab 1.在(x+a)(x+b)中,若a=b,那么上述 式子将会成为怎样的式子?计算结 果是什么? 变为(x+a)(x+a),计算结果是

2、 x 2+2ax+a2,即(a+b)2=a2+2ab+b2. 2.这个公式的左边和右边各有什么特点? 3.(a+b)2 =a 2 +b 2对吗?为什么? 两数和的平方,结果应该是三项式. 4.你会用(a+b)2 =a 2 +2ab+b 2 计算(a-b)2吗? 将“-b”看作一个数,将(a-b)2化为 a+(-b)2=a2+2a(-b)+(-b)2 =a2-2ab+b2. (a-b)2=a2 -2ab+b2 5.你能用图形验证:(a+b)2 =a 2 +2ab+b 2, (a-b)2=a 2 -2ab+b 2吗? 在左图中,大正方形的面积是(a+b)2,它由两个 小正方形和两个相同的长方形组成

3、,两个小正方形 的面积分别是a 2,b 2,长方形的面积是ab.所以有等式 (a+b)2 =a 2 +2ab+b 2. a+b a+b a b a b a-b a-b a a b b a+b a+b a b a b = (a+b) 2 = a2 + 2ab + + b2+ a-b a-b a a b b = (a-b) 2 =a2 - 2ab - + b2+ 6.比较(a+b)2=a 2+2ab+b 2及(a-b)2 =a 2 -2ab+b 2这两个公式.它们有什么不同?有 什么联系? (a+b)2 =a 2 +2ab+b 2 两数和的平方,等于它们的平方和加上 这两数积的2倍. (1)运用完

4、全平方公式的关 键在于明确公式的特征:公式的 左边是两数和(或差)的平方,公 式的右边是一个三项式,是左 边两数的平方和加上(或减去) 左边两数积的2倍. (2)公式中字母的含义:公式中 字母a和b可以是具体的数,也可以 是整式(单项式或多项式).利用 完全平方公式计算多项式的乘法, 最容易漏写2ab项,实际运算中要 特别注意.完全平方公式与平方 差公式联合使用,要严格分清公式 的各自特点,以防混淆. (3)逆用完全平方公式为: a2 +2ab+b2=(a+b)2 , a2-2ab+b2=(a-b)2,把三项式 写成了积的形式,这是后面要 学习的因式分解. 例例1 运用完全平方公式计算运用完全

5、平方公式计算. (1)(4m+n)2; 2 1 (2) 2 y 解解:(1)(4m+n)2=(4m)2+2(4m)n+n2 =16m2 +8mn+n2. 2 2 2 2 1 (2) 2 11 2 22 1 . 4 y yy yy 例2 运用完全平方公式计算. (1)1022 ;(2)992 . (2)992=(100-1)2 =1002 -21001+12 =10000-200+1=9801. (1)1022=(100+2)2 =1002 +21002+22 =10000+400+4=10404. 现有下图所示三种规格的卡片各若干张现有下图所示三种规格的卡片各若干张, ,请请 你根据二次三项式

6、你根据二次三项式a2 +2ab+b2, ,选取相应种类选取相应种类 和数量的卡片和数量的卡片, ,尝试拼成一个正方形尝试拼成一个正方形, ,并讨并讨 论该正方形的代数意义论该正方形的代数意义. . (a+b)2与(-a-b)2相等吗?(a-b)2与(b-a)2相 等吗?(a-b)2与a 2-b 2相等吗?为什么? 运用乘法公式计算,有时要在式子中添 括号,在第二章中,我们学过去括号法则,即 a+(b+c)=a+b+c;a-(b+c)=a-b-c. 反过来,就得到添括号法 则:a+b+c=a+(b+c);a-b-c=a-(b+c). 添添括号时括号时, ,如果括号前面是正号如果括号前面是正号,

7、,括括 到括号里的各项都不变符号到括号里的各项都不变符号; ;如果括号如果括号 前面是负号前面是负号, ,括到括号里的各项都改变括到括号里的各项都改变 符号符号. . 说明 (1)添括号法则与去括号法则是一致 的,添括号正确与否,可用去括号进行 检验. (2)添括号时,如果括号前面是负号,那 么括到括号里的各项都改变符号,不 能只改变部分项的符号. 知识拓展 解解:(1)(x+2y-3)(x-2y+3)=x+(2y-3)x-(2y-3) =x2 -(2y-3)2=x2-(4y2 -12y+9)=x2-4y2+12y-9. (2)(a+b+c)2=(a+b)+c2=(a+b)2+2(a+b)c+

8、c2 =a2 +2ab+b2 +2ac+2bc+c2 =a2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc. 例3.运用乘法公式计算. (1)(x+2y-3)(x-2y+3); (2)(a+b+c)2. 一些本来不是二项式的式子的平方 也可以利用完全平方公式来计算,关键是 使其转化为二项式的平方,如计算 (a+b+c)2,可以把这个代数式转化为 a+(b+c)2或(a+b)+c2,把b+c或a+b看 做是一个整体(一个字母),也可以把这个 式子转化为(a+c)+b2.实际操作时要看 怎样做最有利于计算. 完全平方公式是进行整式乘法的重要 工具,它的结构形式具有对称性,两个公式都 叫做完全平方公式,

9、前面的一个叫做和的完 全平方公式,后面的一个叫做差的完全平方 公式.判断一个式子能不能用完全平方公式 展开,主要看它的结构形式是否符合公式要 求,习惯上把(ab)2 中的a叫做前项,b叫做后 项,记忆时巧记为“首平方,末平方,首末两倍 中间放”. 知识小结 2.添括号 添括号时,如果括号前面是正号, 括到括号里的各项都不变符号;如果括 号前面是负号,括到括号里的各项都改 变符号. 应用时,主要关注两点:一是关注括 号前面的符号是正号还是负号;二是对 照添括号前和后符号该不该改变. 3.运用完全平方公式还应注意以下几点运用完全平方公式还应注意以下几点: 切勿把完全平方公式与公式切勿把完全平方公式

10、与公式(ab)2 =a2b2 相混淆相混淆,或随意写成或随意写成(a+b)2 =a2 +b2; 切勿把切勿把“乘积项乘积项”2ab中的中的2丢掉丢掉; 计算时计算时,要先观察题目特点要先观察题目特点,看是否符合看是否符合 公式的条件公式的条件,若不符合若不符合,应先变形为符合公应先变形为符合公 式的形式式的形式,再利用公式进行计算再利用公式进行计算,若不能变若不能变 为符合公式的形式为符合公式的形式,则应运用乘法法则则应运用乘法法则进进 行行计算计算. 1.下列计算正确的是() A.(x+y)2=x2+y2 B.(x-y)2=x2-2xy-y2 C.(x+2y)(x-2y)=x2-2y2 D.

11、(-x+y)2=x2-2xy+y2 检测反馈检测反馈 解析:A.(x+y)2=x2+2xy+y2,故本选项错误; B.(x-y)2=x2-2xy+y2,故本选项错误; C.(x+2y)(x-2y)=x2- 4y2,故本选项错误; D.(-x+y)2=(x-y)2=x2-2xy+y2,故本选项正确. D D2.在下列各式中,与(a-b)2一定相等的是 () A.a2+2ab+b2 B.a2-b2 C.a2+b2 D.a2-2ab+b2 解析:(a-b)2=a2-2ab+b2. 3.(x+y+z)2=()2+2y()+y2,两个括 号内应填 () A.x+yB.y+z C.x+zD.x+y+z 解

12、析:(x+y+z)2=(x+z)2+2y(x+z) +y2. C 4.计算. (1)(a+6)2; (2)(b-5)2; (3)(-2a+5)2; (4)(ab+1)(ab-1); (5)(2a-3b)(3b+2a); (6)(-2b-5)(2b-5); (7)(2a+5b)2; (8)(4a-3b)2; (9)(-2a-1)2. 解析: (1)(7)(9) 根据和的完全 平方公式可得 答案;(2)(3)(8) 根据差的平方 等于平方和减 积的二倍可得 答案;(4)(5)(6) 根据平方差公 式可得答案. 解: (1)原式=a2+12a+36. (2)原式=b2-10b+25. (3)原式=4a2-20a+25. (4)原式=(ab)2-1=a2b2-1. (5)原式=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2. (6)原式=(-5)2-(2b)2=25