第章机械振动与机械波

1、第3章 机械振动与机械波3-1判断下列运动是否为简谐振动(1) 小球沿半径很大的水平光滑圆轨道底部小幅度摆动;(2) 活塞的往复运动；(3)质点的运动方程为 x asin( t/3) bcos( t /6)(4)质点的运动方程为x a cos( t/3) bcos(2 t)(5)质点摆动角度的微分方程为2%10答：(1)是简谐振动，类似于单摆运动；(2) 不是简谐振动；(3) 是简谐振动，为同频率、同振动方向的两个简谐振动的合成；(4) 不是简谐振动，为不同频率、同振动方向的两个简谐振动的合成；(5) 不是简谐振动。x=m ,3-2物体沿x轴作简谐振动，振幅 A=m，周期T=2s。当t 0时，

2、物体的位移 且向x轴正方向运动。求：(1)此简谐振动的表达式；(2) t 时物体的位置、速度和加速度；4(3) 物体从x 0.06 m向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间。解：(1)设此简谐振动的表达式为：x Acos( t 0)，则振动速度dxdt振动加速度ad2xdt2Asin( t 0),2Acos( t 0)由题意可知：A 0.12m T 2s，则2 (rad/s)又因为t 0时x 0.06m且0，把初始运动状态代入有:0.060.12cos 0，贝U 03又因为t 0时Asin 00 ,所以0时3故此简谐振动的表达式为：x 0.12cos( t ) m3(2)把t 代入简谐振

3、动表达式：4x 0.12cos(1 )0.06 -3 0.104 (m)十代入简谐振动速度表达式:0.12si n( 1 -)0.060.18(m/s)寸代入简谐振动加速度表达式:2 0.12cos(1 -)0.06 3 21.03(m/s2) 由旋转矢量法可知， 物体在x 0.06 m向x轴负方向运动时,相位为1物体从x0.06 m向x轴负方向运动第一次回到平衡位置时，相位为旋转的角度则所需的时间为：t3252 12365=(s)633-3如图示，质量为10g的子弹以速度v 10 m /s水平射入木块，并陷入木块中，使弹簧压缩而作简谐振动。设弹簧的劲度系数k 8 103 N m 1，木块的质

4、量为4.99kg ,桌面摩擦不计，试求：（1）振动的振幅；（2）振动方程。 解：（1 ）子弹进入木块后，与木块一起做简谐振动，子 弹与木块的作用时间短， 在水平方向动量守恒且弹簧没有形变,习题3-3图设子弹进入木块后木块的位置为坐标原点，水平向右的方向为正方向，子弹进入木块后与木块的共同速度为0，则m (M m) 0,0-，代入数据得：0 2（m/s）,M m子弹与木块相互作用时,弹簧没有形变,即该简谐振动的初始位置x0 0 ,弹簧简谐振动的圆频率代入数据得:40(rad/s)，所以A2X0代入数据得：A0.05m。由t 0时,X。0且向X轴的正方向运动，所以0.05cos（40t ） m2p

5、的物体用两根弹簧竖直悬挂，如图所示,试求图示两种情况下，系统沿竖直方向振动的固有频率。所以振动方程为:3-4一重为各弹簧的劲度系数标明在图上。解：a图中两弹簧是串联的，总劲度系数krk?k-ik2弹簧振子的固有频率为kXg(ki k2)p由于环做小幅度摆动，所以sin 99，可得微分方程dt2mgRJ摆动的圆频率为:b图中两弹簧是并联的，总劲度系数K 2k，弹簧振子的固有频率为3-5 一匀质细圆环质量为m，半径为R，绕通过环上一点而与环平面垂直的水平轴在铅垂面内作小幅度摆动，求摆动的周期。解：设转动轴与细圆环的交点为坐标原点，过原点的竖直轴为Y轴，由转动轴定理可知，该圆环的小幅度摆动的平衡位置

6、为圆环的质心在Y轴时，由平行轴定理可知，圆环对通过环上一点而与环平面垂直的水平轴的转动惯量为： 把圆环沿逆时针方向拉离平衡位置转动 ，则圆环对转轴的重力矩为M mgRs in ，方向为增大的反方向，由转动轴定理：M J ,mgRsin3-6 .横截面均匀的光滑的 U型管中有适量液体如图所示，液体的总长度为L,求液面上下微小起伏的自由振动的圆频率。解：如图所示建立坐标， 两边液面登高时为坐标原点，向上为Y轴正方向，左边液面上升y,则右边液面下降y, U型管的横截面面积为S，液体的密度为，则左右液面的压力差为： F2 gyS，方向为 Y轴的负方向，由牛顿第二定律:F ma可知,2gyS SL兽 2

7、小，即器字y ，dt L故液面上下微小起伏的运动为简谐振动，其振动的圆频率3-7如图一细杆AB一端在水平槽中自由滑动，另一端与连接圆盘上，圆盘转轴通过0点且垂直圆盘和 OX轴，当圆盘以角速度做匀速圆周运动时，写出槽中棒端点B的振动方程，自行设计参数，利用mathematica软件或matlab软件画出振动图线。解：在?AOB中, AB长度不变，设为I，圆半径OA不变设为R, OA与OB的夹角设为t , 则B点的坐标x满足关系式：上式表明，x是时间t的周期函数，但不是谐振动函数。取丨2, R 1,10,画图如下。3 23-8质量为10 10 kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x 0.1 cos（8

8、 t ）的规律3作振动，式中t以秒（s）计，x以米（m）计。求：（1）振动的圆频率、周期、振幅、初位相；（2）振动的速度、加速度的最大值；（3）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能；画出这振动的旋转矢量图，并在图中指明t 1、2、10S等各时刻的矢量位置。解：（1）由振动的运动学方程可知：振幅A 0.1 m，圆频率8 rad/s，周期2 2 2T0.25（s），初相位 83（2）振动的速度：dx20.8 sin(8 t)，振动速度的最大值为：max 2.51 (m/s)，dt3振动的加速度：d 2x2a26.4 cos（8 t），振动加速度的最大值为：dt232amax63.1 (m/s

9、)（3）最大回复力：Fmaxmamax063(N)，11振动能量：E -kA2 -m 2A2 3.16 10 2（J）2212平均动能和平均势能：EpEkE 1.58 10 2（J）3-9质量为0.25kg的物体，在弹性力作用下作简谐振动，劲度系数k 25N m 1，如果开始振动时具有势能 0.6J和动能0.2J，求：（1）振幅多大经过平衡位置的速度。（2）位移为多大时，动能恰等于势能解：（1）简谐振动能量守恒，其总能等于任意时刻的动能与势能之和，即EEk Ep 0.8 1 kA2，所以振幅 A 0.253（m），p 2在平衡位置时，弹簧为原长（假设弹簧座水平方向谐振动），此时只有动能，即1

10、2EEk?m0.8（J），所以速度2.53（m/s）.1 1 2（2）要使 EkEp E 0.4 （J），即 E p kx 0.4 （J），则位移 x 0.179（m）。p 2 p 23-10两个质点平行于同一直线并排作同频率、同振幅简谐振动。在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反。求它们的位相差，并作旋转矢量图表示之。解：设它们的振动方程为 x Acos( t o),Ax 时，可得位相为-23由于它们在相遇时反相，可取它们的相差为A同理当x时，可得位相为2矢量图如图所示.已知两个同方向简谐振动如下：30.05cos(10 t )， X20.06cos(10 t求它们合

11、成振动的振幅和初位相；3-11X1(1)(2)另有一同方向简谐振动x3 0.07cos(10 t)，问为何值时，X1 X3的振幅解:tan 0为最大为何值时，x2 x3的振幅为最小(1 )由同频率、同方向的简谐振动合成可知:Asin 10A2sin 20，其中几 0.05mA cos 10A2 cos 20为何值时,A2 0.06 m,2 ，所以它们的合振动振幅为：A 8.92 10 m,5它们合振动的初相位：068013。X1 X2 X3的振幅最小A；102A1A2 cos20(2 )由同频率、同方向的简谐振动合成可知，同相位振动，其合成振幅最大；反相位振动,其合成振幅最小。所以要使治X3的

12、振幅为最大，cos2;要使X2振幅为最小，cos1则时；要使X1 X25X3的振幅最小，cosX3的1则111047。3-12 三个同方向，同频率的简谐振动为xi 0.08cos(314t),6x20.08cos(314t), x320.08cos(314t5 )6求：(1)合振动的圆频率、振幅、初相及振动表达式；(2)合振动由初始位置运动到2A所需最短时间A为合振动振幅)2解:(1)合振动的圆频率为314100 (rad/s),A1A2A30.08 (m),根据公式得AyA sin 1A2 sin 2A3 sin 30.16 (m)合振幅为：A A Ay = (m),初位相为：arctan

13、Ay / A./2。合振动的方程为：x 0.16cos(100 t -)(2)当 x ,.2A/2 时，可得 cos(100 t /2),2/2 ,解得 100 t /2/4或 7 /4由于t 0，所以只能取第二个解，可得所需最短时间为t = (s)3- 13将频率为384Hz的标准音叉振动和一待测频率的音叉合成，测得拍频为3.0Hz，VlhA|v1 1 解：标准音叉的频率为：0 384 (Hz),1将更低，与标准音叉的在待测音叉的一端加上一小块物体，则拍频将减小，求待测音叉的固有频率。拍频为：3(Hz),也可能是:待测音叉的固有频率可能是：10381 (Hz),384 (Hz)。在待测音叉上

14、加一小块物体时，相当于弹簧振子增加了质量，由于将减小.如果待测音叉的固有频率1，加一小块物体后，其频率拍频将增加；实际上拍频是减小的，所以待测音叉的固有频率2，即387HZ。3-14 火车提速是社会发展的必然趋势。假如你是火车提速的决策者之一，试问：从物理学角度，你会考虑哪些问题答：铁轨的抗震能力、铁轨与火车共振时铁轨的耐压力等。3-15 说明以下几组概念的区别和联系：(1) 振动和波动；(2) 振动曲线和波动曲线；(3) 振动速度和波动速度；解：(1)振动是物体在平衡位置做往复运动；波动是振动在介质中的传播；(2 )振动曲线表示的是物体运动的位移随时间函数关系，用X t曲线表示；波动曲线表示

15、的某一时刻不同质元离开平衡位置的位移，用y x曲线表示。dx(3) 振动速度是描述物体运动的快慢，用仝表示；波动速度表示振动传播的的快慢，dt与介质和波的类型有关。3-16已知一波的波函数为 y 5 10 2sin(10 t 0.6x)(m)波长10.5(m),0.6频率10匸5(22波速u52.5(m),传播方向沿X轴的正方向O(2)当X 0时波动方程就成为该处质点的振动方程:并计算此时离原点最近的波峰的位置,解：(1 )波峰位置时，cos (4t 2x)1，则t 4.2 s时，波峰位置的坐标为：x 8.4 k(k0,1,2川|)；当 k 8时，x0.4为离原点最近的波峰位置。由波函数为yA

16、cos (4t2x)可知波速为u2 m/s，则该波从坐标原点传播到x 0.4所用时间为t0.420.2 (s)，该波峰在t4s时通过坐标原点。(1) 求波长、频率、波速及传播方向;(2) 说明X 0时波函数的意义，并作图表示。一 2解：(1)与波函数的标准方程 y Acos( t x0)进行对比可知:y 5 102si n( 100 t) 5 102cos(100t -)，2振动曲线如图3-17 已知波的波函数为 y Acos (4t2x) (SI)(1) 写出t 4.2s时各波峰位置的坐标表示式, 该波峰何时通过原点(2) 画出t 4.2s时的波形曲线。(2) t 4.2s，该波3-18 一

17、平面波在介 沿x负方向传播。已的振动方程为动 函 数 为：y Acos(16.82 x)质中以速度 u 20 m s-1 知在传播路径上的某点Ay 3cos4 t。(1) 如以A点为坐标原点，写出波函数；(2) 如以距A点5米处的B点为坐标原点，写出波函数;(3) 计算B、C两点振动的相差。解：(1)以A点为坐标原点，波动方程为：y 3cos4 (t x) 3cos(4 tx)。u5(2)以B点为坐标原点，波动方程为:y 3cos4 (t -_ ) 3cos(4u(3)以A点为坐标原点，贝U xBXc13 m,C两点的振动方程分别为yB 3cos4 (t 生)3cos(4 tuyc3cos4(

18、t生)3cos(4 t 13u5则B、C两点的振动的相差为:3-19列简谐波沿x轴正向传播，在t10st2 0.25s时刻的波形如图所示。试求:(1) P点的振动表达式；(2) 波动表达式；画出0点的振动曲线。解：(1 )设P点的振动方程为： yp Acos(t 0)由题设可知：振幅 A 0.2 m波长 0.6 m由t1 0s、t20.25s时刻的波形图，可知该波在 t0.25s内，波向右传播了/4 ,则可知该波的周期 T 1s，波速u0.6m/s，波的圆频率2 rad/s 。当t 0时，讨p 0，即0 Acos由于波沿x轴正向传播，所以 P点在此时向上运动，速度大于零，所以P点的振动表达式为

19、:yp0.2cos(2 t 2)(2) P点的位置是Xp 0.3 m所以波动方程为:y 0.2cos2 (tx Xpu )20.2cos(2 t 必 x3(3)在x = 0处的振动方程为：y0 0.2cos(2 t )曲线如图所示.3-20 一平面简谐波沿=0时的波形曲线如图所示。(1)写出波函数求距0点分别为入/8 ,X轴正向传播，其振幅、圆频率分别为和3入/8两处质点在t = 0时的振动速度。解：(1)设该波的波函数为:y Acos (t -) u0,由t 0时刻的波形图可知,y00且向下振动，故2所以波函数为：y Acos/X、(t-)u(2)振动速度:Asin(t U)，+分别代入振动

20、速度表达式，则有:0,x/8Asin 4.2A , t 0,x 3 /8Asin-丄 A42平面简谐波沿 X轴正向传播，其振幅 A=10cm波的圆频率3 =7n rad s -1，当t= Y轴负方向运动，而 x=20cm处的B质点正通过 10cm,求该平面波的表达式。3-21时，x=10cm处的a质点正通过其平衡位置向 丫= 点向Y轴正方向运动。设该波的波长入解：由题意和旋转矢量法可知在t1.0s时，A质点的相位为i，B质点相位为B 3, A、B两质点为相差为所以该波的波长:24 cm,设该平面波的的表达式为：y Acos( t 乙匕0)，因为t 1.0s时，A质点的相位为A 2，所以所以该平

21、面波的的表达式为：y17V，173-22 一简谐波沿X正向传播,0.1cos(7 t0.124m，周期T 4s，已知 曲线如图所示。(1)(2)(3)波长0处质点的振动由振动曲线图可知，当所以写出x 0处质点的振动方程; 写出波的表达式；画出t 1s时刻的波形曲线。解：(1)设x 0处的质点的振动方程为：y Acos( t 0)，其中0 时，y00.5，因此 cos 00时，x 0处质点向下振动，即x 0处的质点的振动方程为：y0波的表达式为：t xy Acos2 ()(2)cos (t2A 1m，sin 00 ,所以 0cos( t )。23x) -y cos(x 52 6。冋 S1、S22

22、解:合成波的光强正x*入*xJ1fc-Srx比于振幅的平方,即IA2（3）t 1s时刻的波形方程为:波形曲线如图所示.3-23 比较简谐振动能量与简谐波波动能量特征，若简谐波传播时某体积元的的动能为，则势能多少总能量多少答：简谐振动的能量守恒，即振动的动能与势能的代数和不变；而简谐波传播时某体积元的动能与势能总是相等，固当某质元的动能为 0.2J时，其势能也为0.2J，其总能为动能 与势能的代数和，即 0.4J。3-24 一平面简谐声波在空气中传播，波速u 340m/s，频率为500Hz。到达人耳时，振幅A 10 4 cm，试求人耳接收到声波的声强的大小此时声强相当于多少分贝已知空气密度 1.

23、29 kg/m3。解：质点的圆频率为：23.142 1 03 （rad，声波的平均能量密度为:1 w -22A26.37 10 6 (J/m 3),平均能流密度为：Iwj2.163210 (W/m),标准声强为：10112210(W/m)此声强的分贝数为：L 10lg 丄93.4(dB)。I 013-25 S1与S2为两相干波源，光强均为I。,相距一波长，S1比S2的位相超前4连线上在S1外侧各点的合成波的光强如何又在S2外侧各点的光强如何0。如图所示，设 S在其左侧产生的波的波动方程为：Acos2 （卡令,那么$在S1左侧产生的波的波动方程为：Acos2 （卡-_ ）- Acos2 （卡-）

24、 由于两波源在任意点 x产生振动反相，所以合振幅为零，所以合成波的光强为t xS在S2右侧产生的波的波动方程为：力 Acos2 （-）, 那么S在其右侧产生的波的波动方程为：t x / 4tx、y2 Acos2（T）- Acos2 （）由于两波源在任意点 x产生振动同相，所以合振幅为单一振动的两倍,所以合成波的光强为 41。3-26 简述驻波的形成条件和特点(提示：突出驻的含义)；查找资料，探索驻波在本专业的应用有哪些答：在同一介质中两列振幅相同的相干波，沿同一直线相向传播时，产生特殊的干涉现象， 叠加形成的波叫驻波。驻波没有波形和能量的传播，其实质为各质元做振幅不等的简谐振动， 振幅最大的质

25、元位置为波腹，振幅最小的质元位置为波节，波腹只有动能，波节只有势能， 能量只在相邻波节与波腹间相互转化。3-27 一条琴弦上产生驻波，相邻节点间的距离为65cm弦的振动频率为 2.3 102Hz，求波的传播速度和波长。解：相邻波节之间的距离为/2，所以波长 2 65 130(cm)，波速：u299(m/s)3-28两波在一很长的弦线上传播，设其表达式为% 5.0cos (0.04x 16t)， y2 5.0cos (0.04x 16t)44用厘米、克、秒(cm g、s)制单位，求：(1)各波的频率、波长、波速；(2)节点的位置；(3) 在哪些位置上，振幅最大2 x解：(1)对比波函数的标准形式：y ACOS( t0)可知,波的频率：2.0 (Hz);波长:2200(cm)；波速：u400 (cm/s)。(2)驻波方程为:y y1 y2 10cos 0.01 xcos4 t波节位置为：cos0.01 x 0，则x 50