数理方程第二版课后习题答案

1、第一章曲线论 1向量函数1.证明本节命题3、命题5中未加证明的结论略2.求证常向量的微商等于零向量。证：设2 = 2,右E丿为常向量，因为7(f Ar) r(t)c - elim - lim - 6证毕A tn A i所以,-。3.证明r (t)- r(t) p r (t)dt P (t)证:p 1 A - - P X) P (OK07 (f) p( - l-(t) p f (t)7(t)证毕4.利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零， 则此向量在该区间上是常向量。证：设7 = X十心 y(t)山)，m 为定义在区间/上的向量函数, 因为l?G)在区间丿上可导当且仅

2、当数量函数一打和。在区间/上可导。所以,% E /，根据数量函数的Lagrange中值定理，有Xr (0(I - t0)- X(?)yr(2)(t - to)X0 =卫(对十o (t 切其中o丄化，伏.介于与f之间。从而r=讹)=(耳y(t)疋二认轴 x ( ) (t - to) !(卡 v (2)(t - to) X toi +列 f %)化-制 /-X珀 jf ft?) (fej + (X* (01) yr(&0 z* (92) (t -渤=虽)十记(t - to)上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中“fM厂日。如果在区间 上处处有总八賈，；跌-亍，贝U在区间間上处处有v (r) -

3、 丁-(f)二么从而尸=耳()y ( 9 z (召d = &，于是 r =习。证毕5.证明r - 7(0具有固定方向的充要条件是|7沢r - 6证：必要性：设？ = 7(f)具有固定方向，贝贬=7仁)可表示为?二- ” (d,其中bf”为某个数量函数，苕为单位常向量，于是片匕-3狀口 丫於左充分性：如果7x7=小可设*工0,勾F = K0 - p(Oe(t)，其中P(7为某个数量函数，石1为单位向量，因为N二口 3袒)占p d)V (I)，于是r X r= 7pr)Z(功 X p* p()e (i) - 0 pt)；(t) X e (t - 0因为,H d,故卩气 J 产 ，从而&) X Z

4、(r)0-e(t) X e 二 10Z ( F) -e(t)e(t)e(t)(t)e (tfe (t) e (t)e (t)为常向量，于是，卜；“C.也，即,：具有固定方向。证6.证明孑二7(0平行于固定平面的充要条件是(7； 7：71 - 。证：必要性：设?=沁)平行于固定平面，则存在一个常向量使得二0, 对此式连续求导，依次可得=。和$产二0,从而？，戸I，和产共面，因此充分性：设K-中，即即W -，其中，如果卜芯” -.，根据 第5题的结论知，。-叮L具有固定方向，则二-忘坯可表示为 卞=X。-心矢，其中亿;为某个数量函数，E为单位常向量，任取一个与S 垂直的单位常向量：，于是作以n =

5、 e X，为法向量过原点的平面b，贝/平行于 耳如果? X 7产小则；与孑不共线，又由(xr；?0 = 6可知,，用，和产 共面，于是产二&” + (t)r*，其中p G，妙化丿为数量函数，令7 = 7 X ?：那么常=7 乂厂二0(1.， 这说明7与共线，从而 Us根据第5题的结论知，2具有固定方向， 则方-京。可表示为R =加。=p化兀，其中占f打为某个数量函数，2为单位 常向量，作以2为法向量，过原点的平面畀，则#平行于畀。证毕 2曲线的概念2b tob令r为切线与z = 6于是切线的方程为:法平面的方程为-arccos ；,1.求圆柱螺线t, sin t, 在点的切线与法平面的方程。解

6、：丁 ，： m.：八点：1,0；二对应于参数卜-壬，于是当打-习时,芦二他厶*，于是切线的方程为:2.求三次曲线孑二2打肿,在点&处的切线和法平面的方程。解：0二血少爲刃，当时，心；心门二r、=，汀-2亦7（t - a）十 2bt（y - b谕爭 3&竄忑-ct - 63.证明圆柱螺线v ；：；的切线和匸轴成固定角。证：轴之间的夹角，因为切线的方向向量为r二仏氏创,法平面的方程为s、爲打，轴的方向向量为；|丄:;I ，则证毕4.求悬链线r = alt a cosh t( - * t从蛊二心起计算的弧长。解：1 ，- .-.I I :lr加十（型inh t）dtcosh tdt-s|sinh t

7、5.求抛物线注广对应于-汪乂孑帐卫的一段的弧长6.求星形线x - (cos r),L, _f二贰siu 的全弧长解:7.求旋轮线V - a(-呂in丿，岁二白f/ cos D对应于0 W Jn 一段的 弧长解:8.求圆柱螺线r - 3& cos tr 3d sin tf（ - t中从它与0心平面的交点到任意点|感工；啲弧长。解：圆柱螺线r = 13a cos t, % sin tr亦!7与:平面另二C的交点为冷爲0, 0）, 交点对应的参数为t = ，而r+ - ! - 3a sin t： 3a cos匸4a!，9.求曲线Nz =少在平面f - 与平面|y =陽之间的弧长解：取 为曲线参数，曲

8、线的向量参数方程为:平面对应于参数羞i，平面了-裂对应于参数，10.将圆柱螺线:一上：门二罕；匚汀,化为自然参数表示。解：因为自然参数-f 丁憑-* tr f dt#J o 0或所以，t二/ o ?于是 J云卩扩s a cos f z? sin t* bt/ = (a cos11.求极坐标方程 =p (o)给定的曲线的弧长表达式。解：极坐标方程说-总：,/给定的曲线的方程可化为向量参数形式：r - (p( )cos p( )sin |r =必()cos 0 - p ( )sin Q p ( )sin 0 + p( )cos 9 p )S其中，戸 3空间曲线1.求圆柱螺线r - ；a cos f

9、f a sin匚bf/在任意点的密切平面的方程。 解：密切平面的方程为X a cos tY a sin t .Z - blasin t3COS fb二 0况os r-asin f0即占加in- & cos 权t(Y - a sin t)丰- bt = 62.求曲线F二 sin匕t ws C t &仃在原点的密切平面、法平面、从切平面、 切线、主法线、副法线的方程。解：.I ：. ： : . . 7 - /sin t / tcos tf cos t - fsin t, (J + 0孑JI?=俊。亘 t - t sin t, - J&in t - t cos t, (2 -t- t) e1 原点

10、a o)对应于参数二6,于是在屯二j处， 卞二创r - (0r A 1 ?* - 2lt ft 1帚计Ifi - 7F _ 乍 X ?7 -勺 17密切平面的方程为X t Y - Z =副法线的方程为XYZ一=11 - 1法平面的方程为:r z= o切线的方程为7Y 2 0/ _ 1从切平面的方程为肃-r / z = o主法线的方程为3.证明圆柱螺线?：u： : . 一: y m的主法线和 轴垂直相交。证：，I . i7 - / - c? sili t, cos 爲 6/ ?* - ci cos tr - a sin 0!、 rI_ y x ?* r = /? - - J - a sin tt

11、 a cos t, b /r / 后b sin tf - b cos t? a3 + trR 二 X = - cos tr - sin 右 0一方面，主法线的方程为才-丸g tr -血in tZ - btCGS tsin t_ 0另一方面，过圆柱螺线r -!a cos 焉 a sin tf bz 上任意一点也 CCS lf i.1 sin6 bt)作平面n与t轴垂直，n的方程为2-加二/ n与e轴的交点为t），过与A的直线显然与轴垂直相交，而其方程为X -丸 g tJAsin t2 - btcos tsin t这正是主法线的方程，故主法线和 轴垂直相交。证毕4.在曲线ii的副法线的正向取单位长

12、,求其端点组成的新曲线的密切平面。解：令J L 农 乩I二，则曲线的方程可表示为：Cj： r - cos tf a sin Tj btJssr ir - Y设创的副法线向量为Iv,则有一 产乂产1Y 二- = /夕 ” sin tt - b cos 忘同W x f ）甘 / ir-b sin tr - b cos t, a根据题意，新曲线的方程可表示为Cg： 7 =卞十了 =治 cos t + b sin tr a sin t - b cos去十 bt将勺-二匚二二：.l- - 二代入上式，整理后，得于是新曲线同的密切平面为:sin & sin(z -一 cos (t -)1 - sin co

13、s(f - sin a即:fsin o )t - cos = 0sin sin(/ - sin cos(t - 羊 Z = (sin * cos 口5.证明球面曲线的法平面通过球的中心。证：设曲线（G: 卜二为球心在原点，半径为&的球面上的曲线,其中为 自然参数。曲线（C）上任意一点P（ P点的向径为|?）处的基本向量为方，|同，|了。 则有（/） 宀彳上式两边关于求导，得? = 6设万为法平面上的点的向径，则曲线（C）上任意一点P处的法平面的向量方程为 方* （万-刊=0根据（2）式万=d满足方程（3），故法平面过原点。证6.证明过原点平行于圆柱螺线:I;：、：. - -J：-的副法线的直线

14、的轨迹是锥面乳C =必2证：.： I.r = - a sin t a cos tt b= - a cos tf - a sin t3 0/?7l / - a sin t, a cos t, br x y ir7b cos rt a)设过原点ko.o, o）且与亍平行的直线上的点为| a 刀，则直线的方程为Y_彳加iii tbcos t化为参数方程，得(X = (bsin t)uJ - 一 (bsin t)u z -却则有.- !空；1/证毕这说明直线上的点0； !；刀都在锥面巧二货旷上7.求下列曲线的曲率和挠率。（1 r = a cosh tf a sinh t at r -宿（3r -戸,3

15、&代式3r +讣 解：对于曲线r -购sinh tr cosh t,* t *r-血osh t,洲inh tfV Jr-伽inh tt砒osh lt匸x #7hfi.? cosh t)G；CZF x r 7jfecosh i)LJ/ 7 t 7- AftA - -对于曲线存X r 71Yr r3a丰 1)严Y f Y 、 (r tr , r /严1一 r X r/3a十 i f8.给定曲线厂：.ii八一 ：Wp , 求( 1)基本单位向量KI, ,；(2)曲率和挠率；(3)验证伏雷内公式。解：对于给疋曲线，有34r=in 2t /cos tf sin lt 了莎 -3 ,z.芋in St fc

16、os t,- sin t34ds -J(屈尸-| sin 2tdt4 sin tr -J.dr3(4) J - = F _(faos tf ds5其中,一 da cfo dt 6 - fcos lt 0e f - sin tf - cos G 0S 7=a X4.3- cos tf - sin t, - k -m -62ff sin 2tdycTpdt8cos lfO= 二/ g i rj dsdt ds 25sin2t/(沟r =-7 A阚靂根据(6)(8)式可得十二長予，根据(9)(10)式，可得亍二一卞歹，又根据 式，得dfidt3 ffJ=,/ - cos I, sin t O;ds

17、dt ds J|sin 2t(另一方面，根据 (8)(10)式，可得Ac7 + t V = f - cos tf sin tf 0)5 sint/从而，一 一9. 证明：如果曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线。证1:设曲线(C)的向量参数方程为：卜二卜厶丿，其中为自然参数。(C)上任意 一点p(p点的向径为)处的基本向量为hL ，。因为(C)在p点处的切线 都经过一定点Q(Q点的向径设为F，)，所以九与N共线，进而有(1)|口 m .沐忘=彳上式两端关于 求导并利用Frenet公式，得：心违X云-厶式中的为(C)在P点处的曲率。又式中麦h扌，这是因为 如果G -知x 了丸,贝声-帀同

18、时与&和刁共线，但这是不可能的，因为不和刁是相互正交的单位向量。从而根据 式有 ，即(C)是直线。 证毕证2:设曲线的方程为r r(t)，因为曲线上任一点r的切线经过一定点r0，贝UIII -r r0与r共线，但r (r ro)，于是r r0与(r ro)共线，从而(r ro) (r ro) =0,由此可知r r0具有固定的方向，即r ro与一个常向量p平行，于是r ro= p,或r ro p，这说明曲线上的点r都在以p为方向向量， 过点ro的直线上，所以曲线为直线。证毕1O.证明：如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，则此曲线是平面曲线。证：设曲线(C)的向量参数方程为：卜二I26J,其中为

19、自然参数。曲线(C)上任 意一点P(P点的向径为门处的基本向量为玄，刁|,。因为我们只研究不含逗留点的曲线(参见教科书的脚注)，即卜x 7壬，而T X r Otk 工 C即(C)上任何点的曲率O设(C)在P点处的密切平面都经过一个定点 Q (Q点的向径设为几)，贝仍-为(C)在P点处的密切平面上的一个向量，从而有|三-了 =彳(1)式两端关于匸求导并利用Frenet公式，得： (； )式中的丫为(C)在P点处的挠率。由式可知，丫二右或者(J - b但(T -6,因为如果2 -刃 - 6结合式,可知？-门与才共线，于是；-n恵:-扛(3)式两端关于求导并利用Frenet公式，得:-站 x - 0

20、(4)式中的人为(C)在P点处的曲率。因为A H ,所以(r - X p - ,结 合(3)知一 同时与和 共线，但这是不可能的，因为和 是相互正交的单位向量。这个矛盾说明(r - ?) 帀,于是由(2)式可知，只能| r二生曲线(C)是 平面曲线。证毕11. 证明：如果曲线的所有法平面都包含常向量 匸，则此曲线是平面曲线。证1:设曲线(C)的向量参数方程为：卜厶丿，其中为自然参数。(C)上任 意一点p(p点的向径为？)处的基本向量为方，孑，了。因为g在p点处的法 平面都包含常向量匸，则有(i) J ； - /注意到7，(1)式两端关于从到求积分，得：.I- : : /C -.(2)式说明曲线

21、(C)在以常向量？为法向量且过点的平面上。证毕证2:设曲线(C)的向量参数方程为:卜二；心丿，其中古为自然参数。(C)上任意 一点p(p点的向径为7)处的基本向量为忖，歹，F。因为我们只研究不含逗留 点的曲线(参见教科书的脚注)，即I? X 7 Z 6,而T X r Ok 工 G即(C)上任何点的曲率因为(C)在P点处的法平面都包含常向量2,则 ly二上式两端关于 求导并利用Frenet公式，得：kefi - C因为 ，所以詡二6，结合 式可知2与F共线，从而 匸刖7二!(4)式两端关于占求导并利用Frenet公式，得： 応X B二I式中e X 7? 6,否则，根据式，3 = C和石万二石将同

22、时成立，即万既与亡平行，又与2垂直，这是矛盾。于是只能是丨r二/所以曲线(C)是平 面曲线。证毕12. 证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率等于常数的曲线。证：设曲率为常数Z的空间曲线(C)的向量参数方程为：7 =|甘，其中厶为自然 参数。(C)上任意一点P处的基本向量为N，刁，F，曲率半径为用=又设(C)的曲率中心的轨迹为丨厂，厂的曲率记为&根据题意，丨厂的方程为(Z)7(1)式两边关于占求导，得 K = RrJ_7/7r X T7 1 w?-鼻(4)式说明 的曲率 也是常数且13. 证明曲线(C)：卞=右丄丰皿，衣-2e丰5也i - *为平面曲线，并求出它所在平面的方程。解：若

23、 二(3 4tf - 2 + IOt, - 2t)rf -A6 /ft -2rri =0 fl 0(7：J八)T a x FF 6由上式可知，(C)为平面曲线。令卜-乞则有r=(lf2fJjr=3, 3tOfr=%10,- 2)1：ri-fOtQV C23、创(C)所在平面的方程为 - - 14. 设在两条曲线和Q的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线 平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也分别平行。证：设曲线巾的方程为屯 67, s E仏其中为G的自然参数，曲线Q的 方程为 H用， 丘，其中E为曲线心的自然参数。因为所讨论的曲线都 是正则曲线，于是曲线冋上的点和区间内的参数.

24、对应，曲线|上的点和 区间-内的参数对应，如果两条曲线的点 与之间建立了 对应关系，5 s =设K,禹，和”为曲线G在点/处的基本向量，万，鬥，和冗为曲线在点 佥处的基本向量，曲线口在点卡处的曲率和挠率分别记为朮和T，曲线Q在点&处的 曲率和挠率分别记Z为和。如果两条曲线总保持在对应点F与&处的切线平行， 则有(366,其中占= /(2)式两边关于占求导，得 ds kfi厂厂-e賈B rds从而，(4) 式说明和一在对应点与I处的主法线平行。又因为，由式和式，得(5) 式说明I制和 在对应点与:处的副法线平行。证毕15. 设在两条曲线 和的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法 线总是

25、相互平行，证明它们在对应点的切线成固定角。证：设曲线巾的方程为K二屯，S e其中为G的自然参数，曲线Q的方程为丹创，代 丘，其中E为曲线G的自然参数。因为所讨论的曲线都 是正则曲线，于是曲线仪上的点和区间内的参数.对应，曲线I上的点r：和区间 内的参数一一对应，如果两条曲线的点 与匚之间建立了一一对应关系，则对应的参数 与之间也建立了一一对应关系，从而5 s =设K,禹，和”为曲线G在点/处的基本向量，万，鬥，和冗为曲线在点佥处的基本向量，曲线口在点卡处的曲率和挠率分别记为朮和T，曲线Q在点&处的 曲率和挠率分别记|2为和I亍，如果两条曲线总保持在对应点恫与&处的主法线平行, 则有 ( 瓦二左

26、瓦，其中，二土 / 根据(2)式，可得设(与一之间的夹角为#，则根据(3)式,证毕2 = const(4)式说明 和 在对应点 与,处的切线成固定角。16. 如果曲线*的主法线是曲线的副法线，的曲率和挠率分别为 和，求证 b =曰卅十厂砂其中占是常数。证：设曲线乃的方程为na， 心，其中为口的自然参数，曲线创的 方程为% = h)，忑亡 匕 其中$为曲线心的自然参数。因为所讨论的曲线都 是正则曲线，于是曲线g上的点S和区间几内的参数土一一对应，曲线Q上的点|c和 区间-内的参数一一对应，如果两条曲线的点 与:之间建立了一一对应关系， 则对应的参数 与之间也建立了一一对应关系，从而(/)5 =

27、S(S)设N,和”为曲线G在点/处的基本向量，万，屁，和冗为曲线在点 &处的基本向量，曲线在点卡处的曲率和挠率分别记为*和r，曲线G在点&处的 曲率和挠率分别记2为和了。如果曲线。的主法线是曲线Q的副法线，依题意， 有下面两式成立：- -/ .，其中 | 當-。(苛 r2 - rj(s) + t(s) P f(s)(3)式两边关于：求导，得整理(4)式，可得利用式，在式两边与作内积，得(6)式中由于ds6ds故 、二匕 从而f =出为常数，(5)式化为(己=-司勻忆卡僚久=m卡疗(7)式两边关于宀求导，得(6) 丽自-1 +-TP 1 *呵因为.,上式两边同时与作内积，得 kA - rB =

28、C根据（7）式，（9）式等价于从而，令-酬詳产心17.曲线衍(rsin E)# a(丿-cosicos证毕土為in尹)s? - 2 sirr其中,f 二丄 1|在哪些点的曲率半径最大 解：解：对于给定曲线，有.t 一tt-2a SH!- ；s i n cos-Jjd/r,ttt- 2a sj/r/sin cos- - 1/dtN/ds-J 低尸 -x/|siri /dt zf(7 一 cos t)f sin tf 2 办2(0 ?_ 缶 上 t.3二忑二篙妙与遇7 -打i cTad dttt( a -fcos - sin 0/ds dt ds , r ?22&|sin-/（切根据式，当f二住

29、土 1）宾0, 土 h 土已时，二8白最大。18. 已知曲线（C） : r&出上一点N引的邻近一点卜公/，求点r（s到点孑念丿的密切平面、法平面的距离（设（C）在点齐金丿的曲率和挠率分别为A和F。）解：设曲线（C）在点，的基本向量分别为 ，和，则点. 到点的密切平面和法平面的距离分别为5 di=171? +- RQll 二 /775)As + 予,3&丘 + Cr(s)右(习 d2|=1 百 1?(占 +- Rs)l| 二 /方7)As + 决+ (s)千 7AsJj/其中，111H = C因为-方，了H 二百 G) - kp，7(巧-(17?) - kB 十丈(-丰 t 7) -i- kff

30、 + k ryds将它们代入式和(2)式中，得(3 旳-/討 E丿 + TfA/| 他/r/ t/A5/2( 也- /As -寸J* | 辱-/rs319. 如果曲线GF=|甘对 为一般螺线，其中匕为门的自然参数。万，刁|,了为上任意一点P处的基本向量，为4在P处曲率半径，证明：曲线 心：p - 戸 ds也是一般螺线。证：曲线 的方程两边关于 求导，得（/） d - fTa（多 7 *二讥-诉（刃 pr x w- k/fy根据式和式，得（5）2 -2 /其中的刁汀打：IT（刁昆二兀X 32厅万因为曲线C:卜二?L）为一般螺线，故存在一个常向量力使得3刁=d从而,证毕历（8）式说明曲线 也是一般螺线。20. 证明：一条曲线（C）:孑=| ,広丿为一般螺线的充要条件是（三己？皿）二6。 证：充分性：如果（讥評）二4贝U曲线（厂）：匸二：佃丿的挠率为零，（L） 为平面曲线，于是存在一个常向量，使得 J ,但? _ 7? - A-1，故，因为我们只研究不含逗留点的曲线（参见教科书的脚注），从而 ，于是丽- ：，即（C）为一般螺线。必要性