破解直线与圆中的定的问题

1、破解直线与圆中的“定”的问题直线与圆的位置关系是高中数学的重点内容，是高考必考考点之一， 考题中往往涉及定 点、定直线、定圆等“定”的问题，其本质就是曲线系，蕴含着数形结合思想、函数与方程思想等。在解答此类问题的探索过程中，学生常常找不到解题的切入点，为此，我们须弄清 此类问题，切实掌握其解决的方法。、定点问题我们对于过定点的直线系并不陌生，如y kx是过定点0 0,0的直线系，y kx b（b是常数）是过定点0,b的直线系，y k x ab（a,b是常数）是过定点a,b的直线系，等等，那么，如何迅捷地找到直线所过的定点呢?例1 平面直角坐标系 xOy中，直线 1 4k x 2 3k y 3

2、12k0恒过一定点P，而直线mx y 60也过点P，则m解法1:直线1 4k x 23k y 3 4k 0,整理得k 4x 3y12 x2y 30,人 4x 3y 12 令x 2y 30，解得所以P 3,0 ,代入直线mx答案：2.解法2 :令k则y 0 ；令k所以直线14k x2 3k y 312k0必过直线y 0与直线x 3的交点3,0，显然P 3,0，代入直线 mx y60，得 m 2 o点评：含有参数的直线Ax By C0过定点时，只需将含有参数的部分整理到一起,不含参数的部分整理到一起，令系数均为0即可解方程得直线所过的定点。mx y m 30交于点P x,y，则PA PB的取值范围

3、是变式1: （2014四川）设m R，过定点A的动直线x my 0和过定点B的动直线A. J 2/5B.如,2遁C.D.2 75,45答案B。例2 已知圆C ：X22kx4k10y 10k 20，则圆C过定解法1:圆C的方程可变形为X210y20 k 2x4y 100 ,所以圆C必过两曲线X2 y210y202x4y100的交点,2 2联立方程x y2x 4y10y10200，解得所以圆C过定点1, 3。答案为1, 3 。解法2:令k 0,则X210y 202y 5x 50,圆C所过的定点必是曲线X2y2 10y20X25x 50的交点;2 2而联立方程xy10y200，解得X1,所以圆C过定

4、点1, 3 oX2y25x5 0y 3挖掘曲线方程与哪些参数点评：直线与圆的定点问题要善于从运动中寻求不变的特性, 无关。常见的方法有两种：其一，直接按参数分离变量，进而解出定点坐标；其二，从特殊入手，求出定点，再证这个定点与参数取值无关。变式2:若圆X22x8y 130的圆心到直线ax y 10的距离最大时，则A. 1 B.3答案：AoC.D. 3二、定直线问题定直线问题往往是动点所在的定直线、动圆的定切线,含有多个参数，其几何特征不明显，解决时常常不知从何入手，此时，须紧扣等量关系恒成立，应用待定系数法来处理。例3平面直角坐标系xOy中，已知半径为r的e M的圆心M在直线y 2x 3上,且

5、在y轴右侧，e M被y轴轴截得的弦长为 J3r (1)求eM的方程;(2)当r变化时，是否存在定直线I与e M均相切？如果存在，求出定直线 I的方程;如果不存在，说明理由。解析：(1)设 M a,2a 3 a2 20，则e M的方程为 x a y 2a 3设M到y轴的距离为d，即da，由eM被y轴轴截得的弦长为 J3r ,，得d故e M的方程为 xr2。(2)假设存在定直线l与e M均相切，定直线I的斜率不存在时，显然不合题意;设直线I的方程为kx b，则k丄r 32Tk2r对于r 0恒成立,rJk21,得21 k2r2 kk2因为上式对任意实数r恒成立,所以k，解得b所以存在两条定直线y 3

6、和 4x 3y0与动圆eM均相切。点评：本题动圆的圆心与半径都在变化,其几何特征不明显， 故采取直接论证dM恒成立。解决含有多个参数的等量关系恒成立时,必须紧扣等式的成立与 r的取值无关这一(1)证明：当m变化时,C2的圆心在一条定直线上;特点。变式 3 :已知圆G：293m 2 4m m 0 ，直线I的方程y x m 2，圆C1关于直线I对称的圆为C2。（2）求C2所表示的一系列圆的公切线方程。提示：（1） Ci 2,3m 2关于直线I对称的点C22m 1,m 1，C2在一条定直线x 2y 10上.（2）设公切线方程为kxb，则k 2m 1 m 1 bJk2 12m对于m恒成立，整理得4 k

7、 3m222k4k 30所以 2 2k 1 k b 10，解之得3474所以C2所表示的一系列圆的公切线方程为-，即 3x44y 7三、定圆问题动直线与定圆相切，是研究 d弦心距r恒成立，或者联立方程0恒成立,再按参数整理，令参数的系数为 0,得到方程组,最后解方程组求出圆心与半径。例4已知点P在y上，纵坐标为2t t 0，12,3t -，求证：直线tPQ恒与一个圆心在x轴上的圆M相切,并求出圆的方程。解析：由题意知P 0,2t2,3t所以直线PQ的方程为2tt22ty 4t20，设圆M的方程为r2 r 0，则t21 a4t2整理得t21 a4t2t2 1，或 4t2t2所以a r 4 t2t21 2 4t2r恒成立,t2 1，0恒成立,故a r 40，或a r 0r 40，解得r 0因此直线PQ恒与一个圆心在 x轴上的圆M相切，圆M的方程为2 2x 2 y24。r或0恒成立一变量分离一点评：解答题解题步骤是：设圆的方程-化简d弦心距变式4:已知直线|：2mx求圆心与半径一写出定圆方程，如