必修五数列知识点总结

1、必修五数列知识梳理1. 数列的前n项和与通项的公式 Sn =a, +&2 中+an ；an_Si( n =1)Sn - Sn(n 2)例1.已知下列数列aj的前n项和Sn，分别求它们的通项公式a Sn =2n2 +3n ; Sn = 3n + 1.设数列aj满足 ai + 3a2 +32as +. + 3nan,n 壬 N*.，则 a.=3 数列右n中，印 包 日3an = n2（n N，求aa5的值. 已知数列aj的首项ai =2，其前n项和Sn =n务（n二1）.求数列aj的通项公式.，则3b5 设Sn、Tn分别是等差数列tan 、tbj的前n项和，二7Tn n + 32. 数列的单调性递

2、增数列：对于任何n- N+，均有an卡Aan.递减数列:对于任何n亡N+，均有an卡van.2010-2011海淀区高三年级期中已知数列an满足：a1 +a2 +a3 + lll+an = n a., (n = 1,2,3, |D(I)求48283的值;(n)求证：数列an -1是等比数列;(m)令 bn =(2 -n)(an-1) ( n =1,2,3.),如果对任意 n亡 N*，都有 b-t2，求实数 t 的4取值范围.2.等差数列知识点通项公式与前n项和公式d为公差.通项公式an =a1 +(n- 1)d , 3为首项,等差中项：如果a, A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.即

3、：A是a与b的等差中项u 2A = a+bu a，A，b成等差数列.等差数列的判定方法定义法：an+-an=d （n亡N+，d是常数）u 是等差数列;中项法：2an+=an+anH2（ n忘fan 是等差数列.an =an +b（次）u aj是等差数列Sn =An2+Bn（常数项为0的二次）u aj是等差数列 等差数列的常用性质数列是等差数列，则数列fan +p、paj （ p是常数）都是等差数列;等差数列右J中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,ak,a2k,a3k为等差数列，公差为kd. an =am +(n - m)d ;若 m +n = p +q(m,n, p,q 亡 N，贝

4、U aa ap +aq;疋等差数列;若等差数列的前n项和Sn，则Ii是等I n J S例2.已知Sn为等差数列右n 的前n项和，bn =（n亡N.求证：数列 如是等差数列.n等差数列的前n项和Sn的最值问题若a0,d 0,Sn有最大值，可由不等式组仁爲来确定n ；若Q 0,5有最小值，可由不等式组 r 弓 来确定n.阳3 0例2.已知Sn为数列 h 的前n项和，a, =3 ,n 2）.求数列的通项公式;数列aj中是否存在正整数k，使得不等式ak Xw对任意不小于k的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k，若不存在，说明理由.3. 等比数列知识点通项公式与前n项和公式通项公式：an=aiqn，a

5、,为首项，q为公比.前n项和公式： 当q =1时，S1 = nai当qH1时，1-q等比中项如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G是a与b的等，中项二a，G，b成等差数列=G2 =a b.an十等比数列的判定方法定义法:=q （n亡N+，q HO是常数）u Q 是等比数列; an中项法：an+an 4七（n- N*且可工0二aj是等比数列.等比数列的常用性质数列&n 是等比数列，则数列pan 、pa? （qHO是常数）都是等比数列;在等比数列右n 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,an*,an七k,an七k,为等比数列，公比为qk.an m qn（n,m忘N

6、若 m +n = p + q(m,n, p,q N，贝U am a. = ap ;若等比数列右n 的前n项和Sn，则Sk、S2k- Sk、S3k-Szk、Sqk-Ssk是等比数列.例3.已知Sn为等比数列g 前n项和,Sn =54，S2n =60，则 S3n =4. 数列的通项的求法利用观察法求数列的通项.利用公式法求数列的通项：anrs(n =1)；=iSn Sn(n 2)；应用迭加（迭乘、迭代）法 求数列的通项：anHi=an + f（ n）:a = an f （n）.构造等差、等比数列求通项: an+ = pan + q; an+ = pa. + qn ; ankan/b例4.设数列右的

7、前n项和为Sn，已知ai =a,an+ = Sn +3n（n亡N+），设bn = Sn 3n， 求数列fcn 的通项公式.(宣武二模理18)设taj是正数组成的数列，其前n项和为Sn，且对于所有的正整数n,有2(Sn = an 中1 (I)求ai，32的值;(II)求数列 的通项公式;(III )令 b =1 ， b2k=a2k+( -1)，bzkH! = a2k +3( k =1,2,3,)，求数列fcn 的前2n +1项和T2n+ 例5.已知数列右n 中，ai =2,an =an4+2n-1(n2)，求数列 抵的通项公式;设an是首项为1的正项数列，且(n竹应中-na； +an十an =0

8、(n亡N+)，则数列 的通项a =例6.已知数列中,2斗号_2，求数列0的通项公式;已知数列中,ai =1,a卄=3a n +3n，求数列la J的通项公式.例7.数列中，ai=1,an+ =-2a（n 亡 N+），则a,的通项 an =2 +an数列右n 中，ai =1, Jan -70二=Janan+(n壬N，则aj的通项a.=例8.已知数列a中，ai =1,an+ =2an + n，求数列的通项公式.5. 数列求和基本数列的前n项和n(ai +an)2 2a -n2 +b ”n 等差数列右n 的前n项和：Sn才nai+丄n(n - 1)d 等比数列的前n项和Sn:当q=1时，Sn = n

9、a1;当q幻时，& =引口) 1-q数列求和的常用方法:拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法1 1例.等差数列 右n ，公差 d = 2，且 a1 七3 +a5 +a99 =60，则 aaa +a1B =拆项分组法求和1 1 1 1求数列11，4，1，叶訐的前n项和Sn.裂项相消法求和11数列1云32+3+42+3W(k+1厂的前n项和Sn.11求和：+1x3 2x4 3x5n(n +2)1求和：丙+斫叵+ 了E3+jn +1+Jn.倒序相加法求和 北京市宣武区20092010学年度第一学期期末质量检测 已知函数f(X)= 反L，m为正整数.5X + J5(I)求f (1) + f(

10、0)和 f(X)+ f (1 x)的值;(n)若数列an的通项公式为an = f(n)( n =1,2,，m ),求数列 何的前m项和Sm ; m(rn)设数列bn满足：b- , bn+ =bn2 +bn ,设=+中，若(U)2d +1 b2 +1bn +1中的Sm满足对任意不小于3的正整数n, 4Sm 777Tn + J5恒成立，试求m的最大值.例9.设Sn是数列右n 的前n项和，&2卜-2严2).求& 的通项;S设bn，求数列 匕的前n项和Tn.2n中1错位相减法求和 若数列 啲通项an =(2n -1) 3n，求此数列的前n项和&.【解析.Sn =1 天 3 + 3 冥 32 +5x33

11、 +(2 n- 1)”3n,/. 3Sn =1X32 +3x33 + 5X34 +(2n-1) 3n勺-，得-2Sn =1 X3 + 2X32 +2咒33 +2x34 + +2咒3 -(2n -1) ”3n*=13+2(32 +33 +34 十+3n) (2n -1) 3n=(22n) -S* 6./. Sn =(n -1) 3n* +3.例10.已知Sn为数列的前n项和，a, =1 , Sn+1=4an+2.设数列 如中，bn=an十-2an，求证：仏丿是等比数列;设数列Q 中，Cn =步，求证：匕是等差数列;求数列taj的通项公式及前n项和.例11.设函数f (X)的定义域为R，当x1，且

12、对任意的实数X, yR，有f(X +y) = f (x)f(y).求f (0)，判断并证明函数f(x)的单调性;数列laj满足ag,且f(af(亠an)北京市宣武区20092010学年度第一学期期末质量检测J5755+V5 1+75解: (I) f(1)+f(o)=+=1;V575f(X)+f (1x)=5+5 =5 十二1 ；kkkim _ k()由(I)得 f( ) + f(1-)=1 (1kd+2am,.Sm =(m-1)x-+ f=(m -1)+ 5，io分224（川）1 6=2, bn+ =bn +bn =bn(bn +1)，对任意的 nN*, bn 0._1 _1,即 1=1 _1bn(bn +1) bn b1 中 1 gbnH41