泰勒公式及其应用典型例题

1、名师推荐精心整理学习必备泰勒公式及其应用常用近似公式充分小）,将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进:1、提高近似程度，其可能的途径是 提高多项式的次数。2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“心中不安”。将上述两个想法作进一步地数学化:自然地，我们对复杂函数 妙, 想找多项式来近似表示它。希望尽可能多地反映出函数 /（龙）所具有的性态 一一女口：在某点 处的值与导数值；我们还关心的形式如何确定；近似7（1）所 产生的误差少二佩）-的。【问题一】设/（）在含勺的开区间内具有直到fi+1阶的导数，能否找出一

2、个关 于（兀一 ）的次多项式必（工）二琳+（x-看）十龟（工-尤+恥-工y（1）且对可（竝）二严乳）（丘=0丄加近似/（X） ?【问题二】若问题一的解存在，其误差 人二/一厲（X）的表达式是什么？一、【求解问题一】问题一的求解就是确定多项式的系数Qq如rg。P魚X 珀+ （* -心）+心（心尸+ 5（畫-心广 O = PM去；（云）=口1 +2庄2（才-*0） + 3&3（/-才0）+ + 丹住 J（X - Xo ）P；（X）= 2 1 +Z:陽百一州）+4九4 Q-工畀+刃心一 1）叫（X-州严 二21 = p；（心） 0） = 3 2色+432 （工-岛）+5 4迢（-话+ 3215胡仏）

3、上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出:% = P/0）= /（%）1 - Q=以（工0）=厂（兀0）2 1 乞=卫；丫况）=/（龙 D）3 2 1 幻=P；（6）= /气6） 一般地，有上（上 _ 1）3 _ 2）2 1 0 = pW （工D）= 了（龙0） 从祈，得到系数计算公式：口0 = /兀口厂氏）/5)2!厂5)3!严：严a = 0,1,2，加 k !于是，所求的多项式为:必”闵）+晋町-珀卄+警攻话+豊（-叼）” 二、【解决问题二】泰勒（Tayler）中值定理若函数了在含有的某个开区间（00）内具有直到阳1阶导数, 则当工也松时，/可以表示成了=恥）十恥）三 /（Xq ） + ）

4、任-叼）k + 彳（X -况）利心1七！（門+1）!这里是九与工之间的某个值。先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路:/(x) = pHxI+r 騷;0严+1）仍O -叼严和（用+ 1）!注意到；於&）（疋0）= /（可（巧）一处可（心）=0 （上=0,12，旳） （心）=0 （上=0丄2,ggJ三料+1）!（因今是关于的起+1次多项式） 戸卫）三0 （因久（f）是关于的竝次多项式） 取心-/-戸卫），则祀O严如1&孟）-应卫（可）_应小这表明：只要对函数 吐）二几）-几（t）及g（X（t-叼严在工与九之间反复使用fi+1次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。【证明】WxE（仏b）以与

5、工为端点的区间叼*或为氏记为J, fu（鸟b）。 函数在J上具有直至 J1+1 阶的导数，ftt.、且此!（叼）=出（Xo）=代（叼）=几（可）=0朗+%）=严）（t）n+1函数q（t）弋-心）在上有直至门+1阶的非零导数，且g（叼）=90）=9（叼）=g（”）（xo）=o严i）（t）十+1）!于是，对函数&（t）及g（t）在了上反复使用n+l次柯西中值定理，有Q（K） 叽工）-久砂） 0（爲）Ffrr&O7 （心）心）fl在础与X之间参在习与之间夙;）-R；（m）_尺巩金） 广（）-?%勺）gS）谿（齐“） 严（乩）0 + 1）!记，人在础与北之间/E1）芝）R o）=？仏）=（旳+1）!

6、Th （旳 + 1）!三、几个概念/叮佝）+Z 畔也（x-S +芋需（勺严、fc=i 烈（n + l）!此式称为函数 /按（7）的幕次展开到 E阶的泰勒公式; 或者称之为函数/（）在点勺 处的鬥 阶泰勒展开式。f【U十（X -叼）W /（叼）十八勺G-叼）当/! = 0 时，泰勒公式变为严）/Gm 八八（0+1）!这正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我们也称泰勒公式中的余项。尽=（ + 1）!为拉格朗日余项。产昭M ai Xn）（X-Xof （斥 + 1）!户 故R二朴-讹（2%）表明：误差人是当XTXq时较（工-勺）高阶无穷小，这一 余项表达式称之为皮亚诺余项。3、若却=0,则在0与工之间，

7、它表示成形二恥(001)，泰勒公式有较简单的形式麦克劳林公式3心咎+呼*+警2宀窃小心“近似公式误差估计式麦克劳林展开式是一种特殊形式的泰勒展开贰.容 易求.因此.求函数/（兀）在任赛点X = X0处的泰 勒展开式吋.可通过变量替换xFD=r化归到这 一情况*令X -叼产f则 fa）= r（r + XQ）= F（r）对aF（f）作麦克劳林展开.【例1】 求/二/ 的麦克劳林公式。解：严）（!）= r （k =（MZ/）rnr门or广(0)/何(哄 归1,严D 沪严 =1 + + + + +1!2!/ (n + l)fe 対 1 + + + + 1! 2! m 理Ik(fi + l)!于是有近似

8、公式其误差的界为n+1我们有函数y二？(1)、八1+工的一些近似表达式。V 刘 1+X+ 1龙 (2) 、 2、yl + x + ， 2 6在matlab中再分别作出这些图象，观察到它们确实在逐渐逼近指数函数。的n阶麦克劳林公式。例 2】求 7二血工严)(x) = siii(x + ?)解：2m=0/(0)=If (0)=a 严(0) = -1J(0)=0 厂 它们的值依次取四个数值0,1, 0, 一1。其中:h矿+时7曲曲110兀+（2幣+ 1）一R加仗）二2（如+1）!/时1（001）同样，我们也可给出曲线y = anx 的近似曲线如下，并用 matlab作出它们的图象。严 x_-P6八丄

9、p6 1205JD*1-4-2024【例3】求JV）=tgX的麦克劳林展开式的前四项，并给出皮亚诺余项。/“ -2cosx（- sinx） 2sinx（妙）=-cosxcosc c cosx cosX - sinX 3cosx （- sinx） 2cosx + 6sinx （炉）J 2-cosx妙二0,（如y才1,（妙y 绑=工+纟J + o（x?） 于是：3!x=o- （辱 r z=o2利用泰勒展开式求函数的极限，可以说是求极限方法中的“终极武器”，使用这一方法可求许多其它方法难以处理的极限。tex-sinx【例4】利用泰勒展开式再求极限!瓏卫。1 2 2tex = r + -X +o(x ) 解：E 31 33sinx = X-X +a(x )6 * tgx-Anx = x + -x + o(x)-x+o(x)36=(X 策)+( H F ) + (G(F ) )_ 3尹 O(X) 1 = lim=-+lim= 一 xtO X -*0 X236tgx-sinx 2 /lim -_=lim 土WOX心0X【注解】 现