第四章圆与方程知识点总结及习题答案

1、名师推荐精心整理学习必备第四章圆与方程1圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的 半径。2、圆的方程（1）标准方程（x-a；2 +（y-bf =r2，圆心（a,b），半径为彳；点 M（x0,y0）与圆（x-a）2+（y-b）2 =r2 的位置关系:当(xo -a)+（y0 _b）2r2，点在圆外当(xo -a)2+ （y0 -b）2=r2，点在圆上当(xo -a)22 2+ (yo b) 0时,方程表示圆，此时圆心为CD _E），半径为r =I 2，2 丿Rdf-4FD2D2+ E2+ E2-4F-4F=0时,ru I与C相离；d=r= l与C相切丄dvru

2、 l与C相交（2）过圆外一点的切线：k不存在，验证是否成立 k存在, 直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】设点斜式方程，用圆心到该2过圆上一点的切线 方程：圆（x-a） +（y-b）2=r 2，圆上一点为（X0,yo）,则过此点的切线方程为kxo-a)(x-a)+(v o-b)(v-b)= r4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和设圆 G ：（X 2 + （y2 =r2，C2 : （x两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（ 当d R + r时两圆外离，此时有公切线四条；（差），与圆心距（-a2 ）2 +（y-b2 ）2d）之间的大小比较来确定。 =R2d）之间的大小比较来确

3、定。当d = R + r时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条;当R-r d R + r时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线;当d = R-r时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线;当d R - r时，两圆内含;当d = 0时，为同心圆。注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点圆的方程B基础自测1. 方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则 a的取值范围是( JA. aC.-2 a 0B.- 2 a 0 3D.-2 a0)的圆心位于(A.第一象限B.第辰浪C.第三象限

4、D.第川駆浪答案 B典例剖析例1已知圆C的半径为2 ,圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为(A. x2+y2-2x-3=0B x2+y2+4x=0C. x2+y2+2x -3=0D. x2 +y 2-4 x=0答案 D例2 已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P, Q两点，且 OPLOQ（O为坐标原点），求该圆的圆 心坐标及半径.解方法一将x=3-2 y,代入方程 x2+y2+x-6y+m=0,得 5y2-20 y+12+n=0.设 P(X1,y1),Q(x2, y2)，则 y1、y2肖址条普：刊2=4, yyultT5 OP! OQ

5、. X1X2+y1y2=0.而 X1=3-2X2=3-2y2.xiX2=9-6( yi+y2)+4yiy2.n=3,此时 0,圆心坐标为匚！ ,3半径r = -5 .I2丿 2方法二如图所示，设弦PQ中点为M- OML PQ . kOM =2.二 OM的方程为:y-3=2 (+丄,1 【2丿即：y=2x+4. HQ程组 jyS+4.jx+2y d =0解得M的坐标为(-1 , 2).则以PQ为直径的圆可设为(X+1) 2+ (y-2 ) 2=r2./ OPL OQ 点O在以PQ为直径的圆上. .(0+1) 2+ (0-2 ) 2=r2，即 r2=5, MQ=r2. 在 Rt OMQ中，OQ=O

6、M+mQ.L1-m1+(3-2) 2+5=6 4mI 2丿 m=3. 半径为-,圆心为2丿3,1 - 2方法三设过P、Qn惻系方&为x2+y2+x-6 y+m+ Z( x+2y-3)=0.山 OP丄OQ知，点 O (0, 0)在圆上.m-3 A=0,即 m=3 L二惻的方程可化九x2+y2+x-6y+3 几+kx+2 入y-3 0即 x2+(1+ )x+y2+2( 3) y=0.圆心mL 2(3又圆在PQ上.2丿圆心mI 2.-1 +人+2 （3-几）2例3（ 12分）已知实数（1）求y-x ng大和最小值:（2）求x2+y2的最大值和最小值.-3=0A=1m=3.+*同心为3，半径为 5I

7、2丿 2X、y 满足方程 x2+y2-4x+1=0.解(1) y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线 y=x+b与圆相切时，纵截距 b取得最大值或 最小值，此时I2 -0門=启,，解得b=-2 j6.72所以y-x的最大值为-2+庐，最小值为-2- j6.(2) x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处 取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为(2_0)2(0)2 =21所以x2+y2的最大值是(2+43 ) 2=7+41x+y的最小值是(2-罪)2=7-4 73 .12分圆与直线方程(m1 ) y+10m-2m24=0 (mE

8、R).I上；例1已知圆x2+y2-6 m*2(1) 求证：不论 m为何值，圆心在同一直线(2) 与 I半竹吃线中-哪些2凹扑交、和以 和酝(3) 求证：任何一条平行于I且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等(1) 证明配方得：(x-3m 2+ : y- (m1 ) 2=25l设圆心为(X，y)，则r 一3m ,消去m柑y =mTI : x-3 y-3=0，则圆心恒在直线 I : x-3y-3=0上.(2)解 设与I平行的直线是I1 : x-3y+b=0,呱惻心孔宜线I1I勺回戛为Tie710T圆的半径为r=5ld= 3m-3(m-1)+b|3 枕当dv r，即-5/0-3 br,(3)证明即bv

9、 -5 j10-3或b 5 J10-3时，直线与圆相离.对于任一条平行于I且与圆相交的直线l1： x-3y+b=0，由于圆心到直线l1的距离d=J710(4) 弦长=2 JF匸犷且r和d均为常量.二任何一条平行于I且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.例2 从点A (-3 , 3)发出的光线I射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线I所在直线的方程.y解方法一 如图所示，设I与x轴交于点B ( b,0)，则kAB=丄，根据光的反射定律, b七反射光线的斜率k反=旦.二氏射光线所在n级购”杠为y = 2(x-b),即3x-(b+3)y-3b=0.b

10、+3b+3T已知圆x2+y2-4x-4y+7=0的圆心为C (2,2， 丫径为1,J9 + (b +3)2.b(b+3)2一期=1,解得b1=-3,b2=1.4kAB=-或 kAB=- - .*；| 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0.34方法二 已知圆C: x2+y2-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为 C: ( x-2) 2+( y+2) 2=1，其圆心 G的坐标为(2,-2 )，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C相切.设 I 的方程为 y-3=k(x+3),则 pk 记 =1, 即 12k2+25k+12=0.J12+k2k1 =- 4， k2=-

11、. 则 I 的方程为 4x +3y +3=0 或 3x+4y-3=0.34方法三设入射光线方程为 y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切.I 3 k b.右 |k ,消去 b 得 杆伺=1.刃 12k2+25k+12=0, k1=- 4 , k2=-.+k2邱七川后二34则 I 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0.例 3 已知圆 Ci： x2+y2-2 mx+4y+m-5=0,圆 G： x2+y2+2x-2 my+m-3=0, m为何值时,(1 )圆G与圆C2相外切；(2)圆C与圆Q内會？解 对于圆C1与圆Gn方杠*字迥方；】 C1：( x- n) 2+(y+2) 2=9; C2：( x+1)2+( y-m)2=4. 如果C与C2外切，则有J(m+1)2+(m+2)2 =3+2.(n+1)2+(n+2) =25.m+3m10=0,解得 mF-5 或 mF2.(2)如果 G 与