第十讲梅涅劳斯定理和塞瓦定理

1、第十讲：梅涅劳斯定理和塞瓦定理一、梅涅劳斯定理定理1若直线I不经过的顶点，并且与的三边交于，则证明：设分别是A、B、C到直线I的垂线的长度，则:注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例 的条件。或它们的延长线分别AP例1若直角AK上，D是AC【解析】因为在中，CK是斜边上的高，CE是 的中点，F是DE与CK的交点，证明:中，作的平分线BH，则：，即，对于等腰三角形，作 BC上的高EP,则:F根据梅涅劳斯定理有:，于是一的平分线,E点在即一根据分比定理有:,所以例2从点K引四条直线，另两条直线分别交直线与，试证:【解析】若，结论显然成立；若 AD与可得：，将上面四个式子相乘，可得：一定

2、理2设P、Q、R分别是Q、R三点中,位于三点共线。证明：设直线，所以和三点,所以相交于点L,D、为E、CD则把梅涅劳斯定理分别，即：的三边BC、CA、AB上或它们延长线上的三点，并且边上的点的个数为 0或2,这时若PQ与直线AB交于，于是由定理1, 又因为,由于在同一直线上P、Q、R三点中，位P、，求证P、Q、R于边上的点的个数也为者同在AB线段上，或者同在 与同在AB线段上，则R与0或2，因此R与或 AB的延长线上；若R 必定重合，不然的话，设,则，这时，于是可得一，这与一矛盾，类似地可证得当 R与 同在AB的延长，将上面三个式子相乘，且因为，可得线上时，R与 也重合，综上可得：P、Q、R三

3、点共线。注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用再相乘;例3点P位于 的外接圆上； 、 是从点P向BC、 CA、AB引的垂线的垂足，证明点 、 共线。【解析】易得：根据梅涅劳斯定理可知三点共线。例4设不等腰FD 与 CA ,的内切圆在三边 BC、CA、AB上的切点分别为 DE与AB的交点X、Y、Z在同一条直线上。【解析】被直线XFE所截，由定理1可得：又因为，代入上式可得,将上面的式子相乘可得:F，则 EF 与 BC ,D、E、，又因为X、Y、 Z丢不在的边上，由定理 2可得X、Y、Z三点共线。例5已知直线 ， 相交于0 ,直线AB点为，直线AC和的交点为，试证 、【解析】设、分别

4、是直线BC和 ，AC的交点，对所得的三角形和它们边上的点：OAB和（，）,OBC和（，）,OAC和（，）应用梅涅劳斯定理有：和的交点为、 三点共线。和，AB和直线BC和的交个式子相乘，可得:，由梅涅劳斯定理可知共线。，将上面的三例6在一条直线上取点 E、 AF , EF和BC的交点依次为【解析】 记直线EF和CD , 用梅涅劳斯定理于五组三元点上面五个式子相乘可得:，点L、M、N共线。AB 和 ED，CD 和C、A，在另一条上取点 B、F、D，记直线L、M、N，证明：L、M、N 共线。EF和AB , AB和CD的交点分别为 U、V、W，对，应,，则有，将二、塞瓦定理定理：设P、Q、R分别是的B

5、C、CA、AB边上的点，贝U AP、BQ、CR三线共点的充要条件是:证明：先证必要性：设AP、BQ、CR相交于点 M，则，同理一上三式相乘，得：，再证充分性：若一设AP与BQ相交于M ,且直线CM交AB于，由塞瓦定理有:，约翰斯:，以一，因为R和都在线段AB上，所以 必与R重合，故AP、BQ、CR相交于一点 M。例7证明：三角形的中线交于一点。【解析】记 的中线 ，我们只须证明，而显然有：成立，所以,交于一点,例8在锐角 中， 的角平分线交 AB于L,从 AC和BC的垂线，垂足分别是 M和N,设AN和BM 是P,证明：。【解析】作，下证CK、BM、AN三线共点，且为P点，要证CK、BM、AN三线共点，根据塞瓦定L做边 的交点理即要证:，又因为，即要证一，即要证一 一，根据三角形的角平分线定理可知:，所以CK、BM、AN三线共点，且为P点，所以例9设AD是AB交