完整版正弦定理余弦定理应用实例练习含答案

1、课时作业3应用举例时间：45分钟 满分：100分课堂训练后，就可以计算出A、B两点的距离为()1. 海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成 60勺视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，贝J B、C间的距离是 ()B. 10/6海里D. 56海里A. 103海里C. 5迈海里【答案】D【解析】如图，/A= 60 /B = 75贝JZC = 45 ,由正弦定理得:BC AB si nA 10x sin60 BC= sinC = sin452. 如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在 A所在的河岸边选定一点 C,测出AC的距离为50m, / ACB= 45 / CAB= 105

2、A. 5Oj2mC. 25 辺m【答案】 A【解析】因为ZACB = 45 ZCAB= 105所以ZABC= 30根据正弦定理可知sin%=sin監，即爲=馬，解得AB=5072m,选 A.3. 从某电视塔的正东方向的A处，测得塔顶仰角是60从电视 塔的西偏南30的B处，测得塔顶仰角为45 A, B间距离是35m,则此电视塔的高度是m.30 =150 ZCBO = 45 AB= 35 ,【答案】【解析】如图所示，塔高为0C,贝JZOAC= 60 从OB= 180A设电视塔高度为hm,则OA=h, OB= h,在KOB中由余弦定理可得 AB2= OA2 + OB2 2OA OB cos/AOB,

3、即 352=（誓h）2 + h2 2xhx hx （乎）解得h= 5佰.4. 如图所示，海中小岛a周围38海里内有暗礁，一船正向南航 行，在B处测得小岛a在船的南偏东30,航行30海里后，在C处 测得小岛在船的南偏东 45 如果此船不改变航向，继续向南航行, 有无触礁的危险?【分析】 船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于 a到直线BC的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出 AC或AB的大小,再计算出a到BC的距离，将它与38海里比较大小即可.【解析】在ABC 中，BC= 30,ZB= 30,ZACB= 135,zBAC= 15亠亠5 BC AC 卄 30 AC由正弦疋理snB,即：sin

4、15匸sin30/.AC= 60COS15 =0cos(45 30 )=60(cos45 coS30 斗 sin45 sin30 ) = 15(V6+V2),A 到 BC 的距离为 d= ACsin45 = 15&3 + 1)40.98 海里 38 海 里，所以继续向南航行，没有触礁危险.课后作业、选择题（每小题5分，共40分）1. 已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的（）A .北偏东10B .北偏西10C.南偏东10D .南偏西10【答案】EGCH【解析】如图所示，/ ECA= 40 ZFCB = 60, Z

5、ACB= 18040 -60 = 80 :180 80AC= BC,.ZA=/ABC =2= 50,.ZABG= 180 ZCBH-ZCBA= 180 120 50= 10.故选 B.2. 某市在“旧城改造”工程中，计划在如下图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境.已知这种草皮价格为a元/m2，则购买这种草皮需要（A. 450a元C. 150a 元【答案】 C1 1 1【解析】$= 2 20X 30X sin150 =十 20X 30X=150(m2),购买这种草皮需要150a元，故选C.m）是（）3. 有一长为10m的斜坡，倾斜角为75.在不改变坡高和坡顶的 前提下，通过加长坡面的方法将

6、它的倾斜角改为 30。，则坡底要延长 的长度（单位：1010/3c. 1/2【答案】【解析】如图，设将坡底加长到B时，倾斜角为30.在BBA. 66 kmB. 132 km中，利用正弦定理可求得BB的长度.在AABB/BAB = 75 - 30 = 45, AB= 10m.由正弦定理，得V22 10X +ABsin45 2_ “ 比、BB = sln30 =1= 12(m).2坡底延长10j2m时，斜坡的倾斜角将变为30 :4. 一船以22&km/h的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的 北偏东45, 1小时30分后航行到B处，在B处看灯塔S在船的南偏东15则灯塔S与B之间的距离为（）C. 9

7、6 kmD. 33 km【答案】【解析】如图，/ASB= 180 15 45 = 120AB= 22&X 3= 33/6,台风中心最不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后，树尖与地面成45角，树干由正弦定理德=器，SB= 66(km).5. 据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆.大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害,则折断点与树干底部的距离是（A.呼米B. lZ6米也倾斜，与地面成75角，树干底部与树尖着地处相距20米,C.警米【答案】【解析】设树干底部为0,折断点为P,树尖着地处为M，如图，mPM中,/P= 180 ZM ZO= 180 45 75 = 60 由正弦

8、最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为（）osin 60如图，设经过x小时时距离为s,则在ABPQ中，由余弦定理知:宀理得 P0 MO .PO MOsinM 20 x sin45 2朋 疋埋得 丽M=sinP，. PO= sinP6.甲船在B岛的正南A处，AB= 10km，甲船以4 km/h的速度 向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是（）A.号minD. 2.15hC. 21.5min【答案】 A【解析】1即 s2= (10 4x)2 + (6x)2 2(10 4x) x 6xx (女)=28x2 20x+ 100.当

9、x=2a=14 时， s2 最小，此时 x=；14h = min.7.一艘船以4km/h的速度与水流方向成120角的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过VSh，该船实际航程为（）V|C)A| = 2, |C5B|= 4,ZAOB= 120,/.zA= 60 ； |OC|=a/22 + 42 2 X 2 X 4cos60 =(3.经过y/3h,该船的航程为2x73 = 6（km）.&如图，ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上的两个定点,正东方向射出的太阳光线与地面成 40角，为了使遮阴影面ABD面积A. 75C. 50【答案】【解析】oB.如图,作CE丄平面ABD于点E,贝yZCDE是太

10、阳光线与地面所成的角，即/ CDE = 40 延长DE交直线AB于点F，连 接CF，则ZCFD是遮阳棚与地面所成的角，设为 a要使SKBD最大,只需DF最大.地面C在CFD 中，爲 二IDFCF sin 140 a 二 DF =sin40VCF为定值，二当a= 50时，DF最大.二、填空题（每小题10分，共20分）9.如图在山脚A测得山顶F的仰角为a沿倾斜角为B的斜坡向上走a米到B,A又测得山顶F的仰角为Y则山高为【答案】【解析】asin a sin y B;msin Y a在FAB 中，已知ZBAP= a B, /APB=厂 a, AB = a,asin Y B由正弦定理可得FA=-sin

11、Y aasin osin B在 RtFAQ 中，PQ= FAsin a=sin Y a又向右转135这样继续爬行可回到出发点处，那么x=10. 只蚂蚁沿东北方向爬行xcm后，再向右转105爬行20cm,【答案】【解析】ZB= 45+ 30=75 6CB= 45由正弦定理知X2020 広sin从CB = SnA，x=丹.三、解答题（每小题20分，共40分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤）11. A、B是海平面上的两个点，相距800 m,在A点测得山顶C 的仰角为45, / BAD= 120,又在B点测得/ ABD= 45其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD.【分析】如图，由于C

12、D丄平面ABD, / CAD = 45 ,所以CD=AD.因此，只需在 ABD中求出AD即可.【解析】在ABD 中，/BDA = 180 45- 120= 15,由 AB AD 由 sin15sin45 得AD =舗5 8曲警=800(J3 + 1)(m).CD丄平面ABD,/CAD = 45CD = AD = 8OO(V3 + 1)2 186(m).答：山高CD为2 186 m.东12.如图，一辆汽车从0点出发，沿海岸一条直线公路以100千米/小时的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在0点南偏东方向距 0点500千米且与海岸距离为300千米的海上M处有一快艇，与汽车同 时出发，要把一件重要的物品

13、递送给这辆汽车的司机，问快艇至少必 须以多大的速度行驶，才能把物品递送到司机手中？并求快艇以最小 速度行驶时方向与0M所成的角.【分析】 根据题意画出示意图如图所示.在 MON中，利用余弦定理得到速度v关于时间t的函数关系式，然后利用二次函数求最 值.【解析】 如图所示，设快艇从M处以v千米/小时的速度出发,沿MN方向航行，t小时后与汽车相遇.在 MON中，M0 = 500, ON=100t, MN = vt,设/MON= a,由题意得3 小4sin a=5，贝U cosa= 5.由余弦定理，得MN2 = OM2 + ON2 2OM ON cos a4 即 v2 = 5002 + 1002t2 2X 500X 100tx5.111v2 = 5002x