(完整版)第13讲-鸡兔同笼问题与假设法

1、第 14 讲 鸡兔同笼问题与假设法 知识结构 : 一、鸡兔同笼 这个问题，是我国古代著名趣题之一大约在 1500 年前，孙子算经中就记载了这个有 趣的问题 书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼， 上有三十五头， 下有九十四足， 问鸡兔各几何？ 这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有个头知道孙子算经中是 如何解答这个问题的吗？ 二、解鸡兔同笼的基本步骤 解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡” ， 每只兔就变成了“双；从下面数，有只脚求笼中各有几只鸡和兔？ 你会解答这个问题吗？你想脚兔” 这样，鸡和兔的脚的总数就由只变成了只；如果笼子里有一 只

2、兔子，则脚的总数就比头的总数多因此，脚的总只数与总头数的差，就是兔子的只数，即 （只）显然，鸡的只数就是（只）了 这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已除此之外， “鸡兔同笼”问 题的经典思路“假设法” 假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚， 和脚总数做比较，做差除二兔找到 解鸡兔同笼问题的基本关系式是： （1） 如果假设全是兔，那么则有： 鸡数=（每只兔子脚数X鸡兔总数-实际脚数）十（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔数=鸡兔 总数-鸡数 （ 2） 如果假设全是鸡，那么就有： 兔数=（实际脚数-每只鸡脚数X鸡兔总数）十（每只兔子脚数 -

3、每只鸡的脚数）鸡数二鸡兔总 数-兔数 当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的 2倍 当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的 2倍 在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程， 方程等专题中也都会接触到假设法。 例 1 小梅数她家的鸡与兔， 数头有 16个，数脚有 44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？ 分析：假设16只都是鸡，那么就应该有2X16= 32 （只）脚，但实际上有44只脚，比假设 的情况多了 44-32= 12 （只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的 兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了 2只。因此只要

4、算出 12里面 有几个 2，就可以求出兔的只数。 解：有兔（44-2 X6） -（4-2） =6 （只）， 有鸡 16-6= 10（只）。 答：有 6只兔， 10只鸡。 当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有 4X6= 64 （只）脚，但实际上有44 只脚，比假设的情况少了 6444= 20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每 换一只，头的数目不变，脚数减少了 4-2=2（只）。因此只要算出 20 里面有几个 2，就可以求出 鸡的只数。 有鸡（4X16-44） -（4-2） =10 （只）， 有兔 1610= 6（只）。 由例 1 看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，

5、可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也 可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。 例 2 100个和尚 140个馍，大和尚 1 人分 3个馍，小和尚 1 人分 1 个馍。问：大、小和尚各有多 少人？ 分析与解：本题由中国古算名题 “百僧分馍问题 ”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡 和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。 假设100人全是大和尚，那么共需馍 300个，比实际多300140= 160 （个）。现在以小和 尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少 3 1 = 2 （个），因为160吃二80,故小 和尚有 80人，大和尚有 100 80=

6、 20（人）。 同样，也可以假设 1 00人都是小和尚，同学们不妨自己试试。 在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。 例 3 彩色文化用品每套 1 9元，普通文化用品每套 11 元，这两种文化用品共买了 16 套，用钱 280 元。问：两种文化用品各买了多少套？ 分析与解：我们设想有一只 “怪鸡”有 1 个头 11 只脚，一种 “怪兔”有 1 个头 19 只脚，它们共有 16 个头， 280只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。 假设买了 16套彩色文化用品，则共需19X16= 304 （元），比实际多304280= 24 （元）， 现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套

7、少用19 11 = 8 （元），所以 买普通文化用品248=3 （套）， 买彩色文化用品 16 3=13（套）。 例 4 鸡、兔共 100只，鸡脚比兔脚多 20只。问：鸡、兔各多少只？ 分析：假设 100 只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚 200 只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比 兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多20020=180 （只）。 现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少 2 只，兔脚增加 4 只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会 减少4+ 2= 6 （只），而1806 = 30,因此有兔子30只，鸡100 30= 70 （只）。 解：有兔（2X10020）

8、-（2 + 4）= 30 （只）， 有鸡100 30=70 （只）。 答：有鸡 70只，兔 30只。 例 5 现有大、小油瓶共 50个，每个大瓶可装油 4千克，每个小瓶可装油 2 千克，大瓶比小瓶共 多装 20千克。问：大、小瓶各有多少个？ 分析：本题与例 4非常类似，仿照例 4 的解法即可。 解：小瓶有（4X50-20） -（4 + 2）= 30 （个）， 大瓶有 50-30= 20（个）。 答：有大瓶 20 个，小瓶 30 个。 例 6 一批钢材，用小卡车装载要 45辆，用大卡车装载只要 36 辆。已知每辆大卡车比每辆小卡 车多装 4吨，那么这批钢材有多少吨？ 分析：要算出这批钢材有多少吨

9、，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。 利用假设法，假设只用 36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装 4 吨，所以要剩下4X36=144 （吨）。根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9 （辆）小卡车。 这样每辆小卡车能装1449= 16（吨）。由此可求出这批钢材有多少吨。 解：4X36（45-36） X45= 720 （吨）。 答：这批钢材有 720吨。 练习 13 1 鸡、兔共有头 100 个，脚 350 只，鸡、兔各有多少只？ 2学校有象棋、跳棋共 26副， 2人下一副象棋， 6 人下一副跳棋，恰好可供 120 个学生进行活 动。问：象棋与跳棋各有多少副？ 3班级购买活页簿与日记本合计 32 本，花钱 74元。活页簿每本 1.9元，日记本每本 3.1元 问：买活页簿、日记本各几本？ 4龟、鹤共有 100个头，鹤腿比龟腿多 20 只。问：龟、鹤各几只？ 5小蕾花 40元钱买了 14张贺年卡与明信片。贺年卡每张 3 元 5 角，明信片每张 2 元 5 角 问：贺年卡、明信片各买了几张？ 6一个工人植树，晴天每天植树 20 棵，雨天每天植树 12棵，他接连几天共植树 112 棵，平 均每天植树 14 棵。问：