2020届高考数学一轮复习 9.1 椭圆课件

1、第九章圆锥曲线 9.1椭圆 20102019年高考全国卷考情一览表 考点93考点94考点95 考点93椭圆的定义及其标准方程 1.(2015广东,文8,5分,难度)已知椭圆 =1(m0)的左 焦点为F1(-4,0),则m=(B) A.2B.3 C.4D.9 解析由已知a2=25,b2=m2,c=4, 又由a2=b2+c2,可得m2=9. 因为m0,所以m=3. 考点93考点94考点95 考点93考点94考点95 3.(2013广东,文9,5分,难度)已知中心在原点的椭圆C的右焦点 为F(1,0),离心率等于 ,则C的方程是(D) 解析由右焦点F(1,0)知,焦点在x轴上,且c=1. 考点93考

2、点94考点95 4.(2014辽宁,理15文15,5分,难度)已知椭圆C: =1,点M 与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN 的中点在C上,则|AN|+|BN|=12. 解析如图,设MN的中点为P,则由F1是AM的中点,可知|AN|=2|PF1|. 同理可得可知|BN|=2|PF2|. |AN|+|BN|=2(|PF1|+|PF2|). 根据椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=6, |AN|+|BN|=12. 考点93考点94考点95 5.(2011全国,理14,5分,难度)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C 的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为 .过F

3、1的直线l交C于 A,B两点,且ABF2的周长为16,那么C的方程为 =1. 考点93考点94考点95 考点94椭圆的几何性质 1.(2018全国1,文4,5分,难度)已知椭圆C: =1的一个焦点 为(2,0),则C的离心率为(C) 考点93考点94考点95 考点93考点94考点95 解析A(-a,0),PF1F2为等腰三角形, |PF2|=|F1F2|=2c. 过点P作PEx轴, F1F2P=120,PF2E=60. 考点93考点94考点95 3.(2018全国2,文11,5分,难度)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P 是C上的一点,若PF1PF2,且PF2F1=60,则C的离心率为(D)

4、 考点93考点94考点95 解析由椭圆的定义可知,椭圆上的任意点P到两个焦点的距离之和 为2a=2 ,故选C. 考点93考点94考点95 5.(2017全国3,理10文11,5分,难度)已知椭圆C: =1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与 直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(A) 解析以线段A1A2为直径的圆的方程是x2+y2=a2. 因为直线bx-ay+2ab=0与圆x2+y2=a2相切, 考点93考点94考点95 6.(2017全国1,文12,5分,难度)设A,B是椭圆C: =1长轴 的两个端点.若C上存在点M满足AMB=120,则m的取值范围

5、是( A) A.(0,19,+)B.(0, 9,+) C.(0,14,+)D.(0, 4,+) 考点93考点94考点95 考点93考点94考点95 8.(2016全国3,理11文12,5分,难度)已知O为坐标原点,F是椭圆 C: =1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上 一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E. 若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为(A) 解析由题意,不妨设直线l的方程为y=k(x+a),k0,分别令x=-c与x=0, 得|FM|=k(a-c),|OE|=ka. 设OE的中点为G, 考点93考点94考点95 9.(2016全国

6、1,文5,5分,难度)直线l经过椭圆的一个顶点和一个 焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 ,则该椭圆的离心率为 (B) 考点93考点94考点95 10.(2015福建,文11,5分,难度)已知椭圆E: =1(ab0)的 右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点. 若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于 ,则椭圆E的离心率的 取值范围是(A) 解析如图,取椭圆的左焦点F1,连接AF1,BF1. 由椭圆的对称性知四边形AF1BF是平行四边形, |AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.a=2. 考点93考点94考点95 解析如图所示,在R

7、tPF1F2中,|F1F2|=2c,设|PF2|=x,则|PF1|=2x, 考点93考点94考点95 12.(2013四川,文9,5分,难度)从椭圆 =1(ab0)上一点 P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是 椭圆与y轴正半轴的交点,且ABOP(O是坐标原点),则该椭圆的离 心率是(C) 考点93考点94考点95 解析如图所示,根据余弦定理,|AF|2=|BF|2+|AB|2- 2|BF|AB|cosABF,即|AF|=6, AFB=90.又O为斜边AB中点, |OF|=c=5. 根据椭圆的对称性可知|AF|+|BF|=2a=14, a=7,离心率为 .故选B.

8、 考点93考点94考点95 考点93考点94考点95 考点93考点94考点95 16.(2019全国3,理15文15,5分,难度)设F1,F2为椭圆C: =1 的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若MF1F2为等腰三角形, 则M的坐标为(3, ). 解析a2=36,b2=20,c2=a2-b2=16,c=4. 由题意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8. |MF1|+|MF2|=2a=12,|MF2|=4. 设点M的坐标为(x0,y0)(x00,y00), 考点93考点94考点95 解析根据题意可画出下图,其中BD和AC为双曲线的渐近线, ABF2CDF1是正六边形. 考点93考点94考点

9、95 解析设直线AB:y=kx+1(k0),A(xA,yA),B(xB,yB). 考点93考点94考点95 考点93考点94考点95 20.(2014江西,文14,5分,难度)设椭圆C: =1(ab0)的左 右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交 于点D,若ADF1B,则椭圆C的离心率等于 . 解析连接AF1,ODAB,O为F1F2的中点, D为BF1的中点. 又ADBF1,|AF1|=|AB|. |AF1|=2|AF2|. 考点93考点94考点95 考点93考点94考点95 考点93考点94考点95 23.(2012江西,理13,5分,难度)椭圆 =1(

10、ab0)的左、右 顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比 数列,则此椭圆的离心率为 . 解析因为A,B为左、右顶点,F1,F2为左、右焦点, 所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c. 又因为|AF1|,|F1F2|,|BF1|成等比数列, 所以(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2, 考点93考点94考点95 考点95直线和椭圆的位置关系 1.(2019全国1,理10文12,5分,难度)已知椭圆C的焦点为F1(- 1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|B

11、F1|, 则C的方程为(B) 解析如图,由已知可设|F2B|=n,|BF1|=m. 由|AB|=|BF1|,则|AF2|=m-n,|AB|=m. 又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n. 由椭圆的定义及|AF2|=2|F2B|, 考点93考点94考点95 |AF1|=a,|AF2|=a.点A为(0,-b). 过点B作x轴的垂线,垂足为点P.由题意可知OAF2PBF2. 又|AF2|=2|F2B|,|OF2|=2|F2P|. 考点93考点94考点95 2.(2013全国1,理10,5分,难度)已知椭圆E: =1(ab0)的 右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A

12、,B两点.若AB的中点坐标为(1,- 1),则E的方程为(D) 考点93考点94考点95 解析设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在椭圆上, AB的中点为(1,-1),y1+y2=-2,x1+x2=2, 又a2-b2=9,a2=18,b2=9. 考点93考点94考点95 3.(2014江西,理15,5分,难度)过点M(1,1)作斜率为- 的直线与 椭圆C: =1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则 椭圆C的离心率等于 . 考点93考点94考点95 解析由题意可设A(x1,y1),B(x2,y2), 涉及圆锥曲线的中点弦问题,经常用“点差法”,即两式相 减求斜率解决. 考

13、点93考点94考点95 (1)求椭圆的方程; (2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴 的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为原点),且OPMN, 求直线PB的斜率. (2)由题意,设P(xP,yP)(xP0),M(xM,0).设直线PB的斜率为k(k0), 又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立 考点93考点94考点95 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基 础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力, 以及用方程思想解决问题的能力. 考点93考点94考点95 5.(2019天津,文19,14

14、分,难度)设椭圆 =1(ab0)的左焦 点为F,左顶点为A,上顶点为B,已知 |OA|=2|OB|(O为原点). (1)求椭圆的离心率; (2)设经过点F且斜率为 的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C 同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上,且OCAP.求椭圆的方 程. 考点93考点94考点95 考点93考点94考点95 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆 等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解 能力,以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力. 考点93考点94考点95 6.(2019江苏,17,14分,难度)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭

15、 圆C: =1(ab0)的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l, 在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接 AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1.已知 DF1= . (1)求椭圆C的标准方程; (2)求点E的坐标. 考点93考点94考点95 解(1)设椭圆C的焦距为2c. 因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1. 因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2. 由b2=a2-c2,得b2=3. 因为AF2x轴,所以点A的横坐标为1. 将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=1

16、6, 解得y=4. 因为点A在x轴上方,所以A(1,4).又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2. 考点93考点94考点95 又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1. 考点93考点94考点95 如图,连接EF1. 因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB, 从而BF1E=B. 因为F2A=F2B,所以A=B. 所以A=BF1E,从而EF1F2A. 因为AF2x轴,所以EF1x轴. 考点93考点94考点95 考点93考点94考点95 (2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0). 由(1

17、)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m0. 考点93考点94考点95 考点93考点94考点95 考点93考点94考点95 (2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0). 由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m0,即m20)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB 考点93考点94考点95 (2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).由已知有y1y20,故 |PQ|sinAOQ=y1-y2. 考点93考点94考点95 (1)求椭圆

18、的方程; (2)设直线l:y=kx(kx10,点Q 的坐标为(-x1,-y1).由BPM的面积是BPQ面积的2倍,可得 |PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2x1-(-x1),即x2=5x1. 考点93考点94考点95 (1)求椭圆C及圆O的方程; (2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P. 若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标; 直线l与椭圆C交于A,B两点.若OAB的面积为 ,求直线l的方 程. 考点93考点94考点95 因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3. (2)设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x00,y00),则 =3,所以 考点93考点94考点

19、95 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点, 考点93考点94考点95 考点93考点94考点95 13.(2017北京,文19,14分,难度)已知椭圆C的两个顶点分别为 A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为 . (1)求椭圆C的方程; (2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过 D作AM的垂线交BN于点E.求证:BDE与BDN的面积之比为 45. 考点93考点94考点95 (2)证明设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n). 由题设知m2,且n0. 考点93考点94考点95 所以BDE与BDN的面积之比为45. 考点93考点94考点95 14.

20、(2017天津,文20,14分,难度)已知椭圆 =1(ab0)的 左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),EFA的面积为 . (1)求椭圆的离心率; (2)设点Q在线段AE上,|FQ|= c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N 在x轴上,PMQN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM 的面积为3c. 求直线FP的斜率; 求椭圆的方程. 考点93考点94考点95 解(1)设椭圆的离心率为e. 又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0, 即2e2+e-1=0. 即x+2y-2c=0, 考点93考点94考点95 由得直线FP的方程为3x-4y+3c=0, 考

21、点93考点94考点95 由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直 线PM和QN都垂直于直线FP. 考点93考点94考点95 15.(2016全国2,理20,12分,难度)已知椭圆E: =1的焦点 在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点,点N在 E上,MANA. (1)当t=4,|AM|=|AN|时,求AMN的面积; (2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围. 考点93考点94考点95 解(1)设M(x1,y1),则由题意知y10. 因此直线AM的方程为y=x+2. 考点93考点94考点95 即(k3-2)t=3k(2k-1). 考点93考点

22、94考点95 16.(2016全国2,文21,12分,难度)已知A是椭圆E: =1的左 顶点,斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MANA. (1)当|AM|=|AN|时,求AMN的面积; (2)当2|AM|=|AN|时,证明: k0. 由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为 . 又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2. 考点93考点94考点95 即4k3-6k2+3k-8=0. 设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点. f(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20, 所以f(t)在(0,+)单调递增. 考点93考点94考点95 17.(

23、2016四川,理20,12分,难度)已知椭圆E: =1(ab0) 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=- x+3与椭圆E有且只有一个公共点T. (1)求椭圆E的方程及点T的坐标; (2)设O是坐标原点,直线l平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B, 且与直线l交于点P,证明:存在常数,使得|PT|2=|PA|PB|,并求的 值. 考点93考点94考点95 方程的判别式为=24(b2-3), 由=0,得b2=3,此时方程的解为x=2, 考点93考点94考点95 设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2). 可得3x2+4mx+(4m2-12)=0. 方程

24、的判别式为=16(9-2m2), 考点93考点94考点95 考点93考点94考点95 (1)求椭圆的方程; (2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l 交于点M,与y轴交于点H.若BFHF,且MOA=MAO,求直线l的 斜率. 考点93考点94考点95 又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4. (2)设直线l的斜率为k(k0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(xB,yB), 考点93考点94考点95 考点93考点94考点95 (1)求椭圆E的方程; (2)设直线l:x=my-1(mR)交椭圆E于A,B两点,判断点G 与以 线段AB为直径的圆的位

25、置关系,并说明理由. 考点93考点94考点95 考点93考点94考点95 考点93考点94考点95 20.(2015江苏,18,16分,难度)如图,在平面直角坐标系xOy中,已 知椭圆 =1(ab0)的离心率为 ,且右焦点F到左准线l的距 离为3. (1)求椭圆的标准方程; (2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直 线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程. 考点93考点94考点95 又CP=3,不合题意. 当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2), 将AB的方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2- 4k2x+2(k2-1)=0, 考点93考点94考点95 若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意. 考点93考点94考点95 21.(2015安徽,理20,13分,难度)设椭圆E的方程为 =1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b), 点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为 . (1)求E的离心率e; (2)设