对称性奇偶性和周期性的综合运用

1、函数的对称性、奇偶性和周期性的综合运用一.函数的对称性(一)函数 yf(x)的图象自身对称1、轴对称对于函数f(x)的定义域内任意一个f(X)图象关于直线x(a X) (b X)2推论1：(af (x)的图象关于直线xa对称-推论2：(x)f (2 ax)f(X)的图象关于直线a对称.推论3：(x)x)f (x)的图象关于直线求对称轴方法：x(a x) (bx) a 2对于函数2、中心对称f (ax )f ( bx )2 cyf (x)的图象关于点(2，C)对称.推论：f ( ax )f (ax )2 byf ( X )的图象关于点(a , b )对称推论：f (x)f ( 2 ax )2 b

2、yf (X)的图象关于点(a,b)对称.推论：f ( x)f (2 ax )2 byf ( x )的图象关于点(a,b)对称.求对称中心方法：横坐标x (a X)(bX)纵坐标y2cc.x,纵坐标 yf(x)的定义域内任意一个x，小结：轴对称与中心对称的区别中心对称：f(a+x)= - f(b-x)+2c中，自变量系数互为相反数(内反)，函数值和为(二)两个函数的图象相互对称b a1、函数yf(a X)与函数y f(b X)图象关于直线x 对称；特别地，函数y = f(a + x)与y = f(a x)关于直线x=0(y轴)轴对称;函数y f(x)与函数y f( X)图象关于y轴对称;求对称轴

3、方法：令a+x=b-x，得2、函数 y = f(a + x)+c 与 y = f(bx)+d关于点(直2目，泸)中心对称;特别地，函数y = f(a + x)与y= f(a x)关于点(0,0 )(原点)中心对称.1.2.函数y f(X)与函数y f (求对称中心方法：横坐标令a+x=b-x，得函数的奇偶性如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x)图象关于原点对称函数.b ac d2 ，纵坐标y=Cd-x, 都有 f( X)= f(x) ( f(x) f( X)= 0),那么函数f(x)叫做偶函数.偶函数的图象关于y轴(x=0)对称.推论：若y = f(x + a)为偶函数，则f(x + a)

4、 = f( x + a)，即y = f(x)的图像关于直线x=a轴对称.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X,都有f( X)= f(x) (f(x) +f( X)= 0),那么函数f(x)叫做奇函数.奇函数的图象关于原点(0,0)对称.推论：若y = f(x + a)为奇函数，则f( x + a) = f(a + x),即y = f(x)的图像关于点(a, 0)中心对称.三.函数的周期性1.定义：对于f(x)定义域内的任意一个X ,都存在非零常数T ,使得f( X T) f( X)恒成立，则称函数 f( X )具有周期性，T叫做f(x)的一个周期,则kT ( k Z，k 0)也是f ( x

5、)的周期，所有周期中的最小正数叫f( x)的最小正周期.12.推论:0)y f(X)的周期为T.f(X)的周期为(xf (x)(x)的周期为Tf (xa)的周期为T(x(x(x(xf (x若P(11)若函数a)a)a)a)的周期为T1 f(X)1 _fTT)1f (X)11 f(X)1 _0, f (px)f(pxy= f(x)T= 2|a - b|.推论：偶函数y(12)若函数 y= f(x)f (x)的周期为Tf ( x )的周期为(x)的周期为Tf (x)a),则Ta同时关于直线f (x)满足同时关于点(函数，且 T= 2|a b|.2a.x= a与x= b轴对称,a, 0)与点(b,

6、0)推论：奇函数y f(x)满足f (a x) f (a x)(13) y f ( x )有一条对称轴x a和一个对称中心(X)的周期为则函数f(x)必为周期函数，且x)f(X)周期 T 2a中心对称,(b,0)小结：函数对称性、奇偶性和周期性定义共同点：“对于函数则函数 f(x)必为周期f (x)周期 T 4af(X)的周期 T= 4|a b|.f(x)定义域内任意一个x ”对称性、周期性定义中条件，“内反表示对称性，内同表示周期性”定义在R上的函数 y f （X），在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中,只要有两条存在，则第三条一定存在题型分类1.求函数值1 .设f （X）是）上的奇函数，f

7、 （2 x）f (x),当 0 x 1f(x) X ,则(A) 0.5;2.偶函数y = f(x)f (7.5)等于(-0.5 )(B) -0.5；(C) 1.5;(D)-1.5.满足条件f(x + 1) = f(x1)，且当 x 1,0时,f(x) = 3x+ -,9则f（ log1 5）的值等于（3B.2950C.10145解：由于偶函数y = f（x）满足条件 f(x + 1) = f(x 1),说明函数的周期为2, f(-x)=f(x)当 x 1,0时，f(x)x 4=3 ，则对于 log 1 5=-log9335 ,f( log1 5)=f(2+3log1 5)=f(2-3log3

8、5 )=3也5 + 4 =1故可知答案为D.92.比较函数值大小3.若f（x）（x R）是以2为周期的偶函数，当0,1 时，f (x)1X融，试比较解:f(98)f (些、f (17104)的大小.15f (x)(x R）是以2为周期的偶函数，又f(x)1x1998在0,1上是增函数，且1 1617191415诒）谓）仁挣,即f （詈谓）f（詈）.02,0 时，f(x)= 2x+1 ,3、求函数解析式有f (x)f(x 4)f(x)2(x4) 3242(x1)24(12).f(x)2(x 1)24(1x 2).求当x4,6时求f(x)的解析式.例5.设f(x )是定义在()上以2为周期的周期函

9、数，且f (x)是偶函数,2 ,3上，f(x)2(x3)24.求x1,2时，f (x)的解析式.解：当x3,2 f即x2,3，f(x)f(x)2( x3)242(x 3)24例4.已知f(x)是定义在4x在区间2时,1,2 ,即R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当x3 x又f(X)是以2为周期的周期函数，于是当4、判断(证明)函数性质例6.已知f (x)的周期为4，且等式 f (2x)f (2x)对任意xR均成立，判断函数f (x)的奇偶性.解：由f(x)的周期为4,得f(x) f (4x)，由f(2x) f (2x)得f( x) f (4x) , f ( x) f ( x),故 f

10、( x)为偶函数.例7.已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=石L) , f(999+x)=f(999 x)，试T (x)判断函数f(x)的奇偶性.例8.已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当x 2,0时，f(x)是减函数，求证当x 4,6时f(x)为增函数解：设4x1 x26 则 2/ f(x)在-2 , 0上是减函数 f( X24) f( 4)又函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题周期为 43( 1)知函数 f(x) 的故 f(x+4)=f(x),f(X2)f( X1)f(-x)=f(x)f (x2) f(x1)故

11、当 x 4,6 时 f(x) 为增函数例9.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x= 1对称，证明f(x) 是周期函数例 10. 设 f(x) 是定义在 R 上的函数，且满足 f(10 + x) = f(10 x) ,f(20 x) = f(20 + x),则 f(x) 是( C )A.偶函数，又是周期函数偶函数，但不是周期函数C.奇函数，又是周期函数.奇函数，但不是周期函数例11.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足对任意 x R 都有 f(2+x)=-f(x) ，又当3x-1,1 时 f(x)=x 3 证明：直线 x=1 是 f(x) 图像的一条对称轴； 当x 1,5时，求函数

12、f(x)的解析式.判断函数的单调性 5、确定函数零点个数例12.设函数f( X)对任意实数x满足f ( 2x) f (2 x) f f(7 x) f(7 x),且 f(0)0,判断函数 f(x) 图象在区间30,30上与x轴至少有多少个交点.解：由题设知函数f(x)图象关于直线x 2和x 7对称，又由函数的性质得0,10 上，) f ( 0 )0 且 f ( x ) 不能恒为零f ( x) 是以 10 为周期的函数 . 在一个周期区间f (0 )0 , f (4 ) f (22) f (22故f（X）图象与x轴至少有2个交点.而区间 30 ,30有6个周期，故在闭区间30 ,30上f（x）图象

13、与x轴至少有13个交点.6、求参数的值（范围）例 13.若函数 f(x)=|x+a|,且 f(x)满足对 x R都有 f(3+x)=f(2-x)，则实数a=若函数 f(x)=(x+a)3,且 f(x)满足对 x R都有 f(3+x)=-f(2-x),则实数a=例 14. f(x)满足 f(x) =-f(6-x), f(x)= f(2-x) ，若 f(a) =-f(2000),a 5 ,9且 f(x)在5 , 9上单调.求a的值.例15.设f x是定义在R上的奇函数，且当x 0时，f X x2.若对任意的x不等式f X a f J2x恒成立，则实数a的取值范围是A. a 07. 两个函数图像的对称性例16.函数y= f(x)