小波变换和多分辨率处理VIP

1、参考参考资料资料 u 教材：教材： Rafael C. Gonzalez, etc，Digital Image Processing (Third Edition)，电子工业出版社， 2010 u 参考书籍：参考书籍： （美）多布著，李建平译，小波十讲小波十讲，国防 工业出版社 ，2011 孙延奎著，小波变换与图像、图形处理技术小波变换与图像、图形处理技术， 清华大学出版社，2012 朱希安，曹林编著，小波分析及其在数字图小波分析及其在数字图 像处理中的应用像处理中的应用，电子工业出版社，2012 “小波小波”（wavelet)wavelet)就是一种就是一种“尺度尺度”很小的波动，并很小的波

2、动，并 具有时间和频率特性。具有时间和频率特性。 时间A时间B 什么是小波？什么是小波？ 小波函数必须满足以下两个条件：小波函数必须满足以下两个条件： (1) 小波必须是振荡的； (2) 小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零，即是局 部化的。如： 图1 小波例1图2 小波例2 u小波变换具有良好的局部时频聚焦特性，而被称为小波变换具有良好的局部时频聚焦特性，而被称为“数学数学 显微镜显微镜”。 u小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的完美结合。从 数学来说是大半个世纪“调和分析”的结晶（包括傅里叶分 析、函数空间等）。 u小波变换是20世纪最辉煌科学成就之一。在信号处理、图 像处理、模式识

3、别、语音识别、量子物理、地震勘探、流体 力学、电磁场、CT成象、机器视觉、故障诊断、分形、数值 计算等已有重大突破。 小波分析发展简史小波分析发展简史 时间时间标志性事件标志性事件人物人物 1822Fourier变换，在频域的定位最准确，无任何时域 定位能力。如：函数，时域定位完全准确，频域 无任何定位能力。 Fourier 1910提出规范正交基。Harr 1946Gabor变换(STFT)，窗函数的大小和形状与时间和 频率无关而保持固定不变。不构成正交基。 Gabor 1984提出连续小波变换。Morlet 1985提出离散小波变换。Meyer,Daubecies 1986Meyer证明了

4、不可能存在时域频域同时具有正则性 的正交小波基，证明了小波的自正交性。 Meyer 1987统一了多分辨率分析和小波变换，给出了快速算 法。 Mallat 1988Daubecies在NSF的小波专题研讨会进行了讲座。Daubecies uInrid Daubechies于1988年最先揭示了小波变换和滤波器 组(filter banks)之间的内在关系，使离散小波分析变成 为现实。 uRonald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科学家在 把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献。 u在信号处理领域中，自从Inrid Daubechies完善了小波变 换的数

5、学理论和Stephane Mallat构造了小波分解和重构 的快速算法后，小波变换在各个工程领域中得到了广泛的 应用，典型的如语音信号处理、医学信号处理、图像信息 处理等。 小波理论与工程应用小波理论与工程应用 傅里叶变换与小波变换傅里叶变换与小波变换 傅里叶变换傅里叶变换的基础函数是正弦函数。的基础函数是正弦函数。 小波变换小波变换基于一些小型波，称为基于一些小型波，称为小波小波，具有变化的频率和具有变化的频率和 有限的持续时间。有限的持续时间。 傅里叶变换与小波变换傅里叶变换与小波变换 u傅里叶变换反映的是图像的整体特征，其频域分析 具有很好的局部性，但空间(时间)域上没有局部化 功能。

6、u与傅里叶变换相比，小波变换小波变换是空间(时间)和频率 的局部变换，它通过伸缩平移运算对信号逐步进行 多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频 率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可 聚焦到信号的任意细节。 u小波变换小波变换是基于具有变化的频率和有限持续时间的 小型波进行的。它是多分辨率理论的分析基础。 u多分辨率理论多分辨率理论将多种学科的技术有效地统一在一起 ，其优势很明显某种分辨率下所无法发现的特性 在另一种分辨率下将很容易被发现。 u本章将从多分辨率的角度解释小波变换。 主要内容主要内容 u背景背景 u多分辨率展开多分辨率展开 u一维小波变换一维小波变换 u快速小波变换快

7、速小波变换 u二维小波变换二维小波变换 u小波包小波包 主要内容主要内容 u背景背景 n图象金字塔 n子带编码 n哈尔变换 u多分辨率展开多分辨率展开 u一维小波变换一维小波变换 u快速小波变换快速小波变换 u二维小波变换二维小波变换 u小波包小波包 1.1.背景背景 u物体的尺寸很小或者对比度不高的时候，通常采用 较高的分辨率观察。 u物体尺寸很大或者对比度很强，只需要较低的分辨 率。 u物体尺寸有大有小，强弱对比度同时存在，则适合 用不同的分辨率对其进行研究。 n从数学观点看，图像是一个亮度的二维矩阵，边界和强烈变 化的区域局部直方图统计特性不同。 n无法对整个图象定义一个简单的统计模型。

8、 一幅自然图像一幅自然图像 及其直方图的及其直方图的 局部变化局部变化 1.1.背景背景 (1) 图像金字塔图像金字塔 n以多分辨率来解释图像的一种简单有效的结构。一幅图像 的金字塔是一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降低的 图像集合。 n金字塔的底部是带处理图像的高分辨率表示，而顶部是低 分辨率的近似。当向金字塔的上层移动时，尺寸和分辨率 就降低。 基础级基础级J的大小为的大小为NN （J=log2N） 顶点级顶点级0的大小为的大小为11 第第j级的大小为级的大小为2j2j （0 j J） 共有共有J+1级，但是通常我们截级，但是通常我们截 短到短到P1级，其中级，其中1 P J J-1级近

9、似输出用来建立近似值金字塔；作为金字塔基级的原 始图像和它的P级减少的分辨率近似都能直接获取并调整； J级的预测残差输出用于建立预测残差金字塔；近似值和预测 残差金字塔都通过迭代计算获得。 金字塔方框图金字塔方框图 (1) 图像金字塔图像金字塔 (1) 图像金字塔迭代算法图像金字塔迭代算法 1.初始化，原始图象大小2J2J，jJ 2.j-1级，以2为步长进行子抽样，计算输入图像减 少的分辨率近似值j-1级近似值，生成子抽 样金字塔。 3.对j-1级近似值进行步长为2的内插，并进行过滤 ，生成与输入图像等分辨率的预测图像。 4.计算输入图像和预测图像之间的差异，产生预测 残差金字塔。 5.重复2

10、、3、4步骤。 图象的高斯近似值金字塔，分图象的高斯近似值金字塔，分 辨率分别为：辨率分别为：512512512512， 256256256256，128128128128，64646464。 l金字塔的分辨率越低，伴随金字塔的分辨率越低，伴随 的细节越少的细节越少; ; l低分辨率图像用于分析大的低分辨率图像用于分析大的 结构或图像的整体内容，高分结构或图像的整体内容，高分 辨率图像用于分析单个物体的辨率图像用于分析单个物体的 特性。特性。 相应拉普拉斯预测残差金字塔，相应拉普拉斯预测残差金字塔， 分辨率分别为：分辨率分别为：512512512512， 256256256256，128128

11、128128，64646464。 l从低级开始通过内插和滤波获从低级开始通过内插和滤波获 得高级高斯金字塔的预测残差得高级高斯金字塔的预测残差 图象。图象。 (1) 图像金字塔图像金字塔 两种图像金字塔和它的统计特性。（a）高斯金字 塔（近似），（b）拉普拉斯金字塔（预测残差） (a) (b) n子带编码也是多分辨率相关的重要图像技术 n在子带编码中，一幅图像被分解为一系列限 带分量的几何，称为子带子带。 n子带可以重组在一起无失真地重建原始图象。 n每个子带通过对输入进行带通滤波而得到。 n子带带宽小于原始图像带宽，子带可以进行无信 息损失的抽样 n原始图象的重建可以通过内插、滤波、和叠加单

12、 个子带来完成 (2) 子带编码子带编码 n系统输入是一个一维的带限时间 离散信号x(n) n分析滤波器h0(n)和h1(n)是半波 数字滤波器，理想传输函数H0,H1 如下图所示。 nH0低通滤波，输出x(n)的近 似值 nH1高通滤波，输出x(n)的高 频或细节部分 n综合滤波器g0(n)和g1(n) n 为重构的结果 n x (2) 子带编码子带编码 （a）一维子带编码和解码的两频带滤波器组， （b）频谱分离特性 (a) (b) n序列x(n)的Z变换 n时域以2为因子的抽样对应到Z域 n同样，以2为因子的内插对应的变换为 nX(n)先抽样再内插得到 ,.1 , 0zznxzX n 2/

13、12/1 2 1 2zXzXzXnxnx downdown 2 0 .4 , 2 , 02 zXzX nnx nx upup 其它 n x zXZnxzXzXzX 1 2 1 (2) 子带编码子带编码 n系统输出 n滤波h0(n)的输出 n整理 n第二项含有z，代表了抽样-内插过程带来的混叠混叠 k zXzHkxknhnxnh 000 * (2) 子带编码子带编码 )()()()()( 2 1 )()()()()( 2 1 )( 111 000 zXzHzXzHzG zXzHzXzHzGzX )()()()()( 2 1 )()()()()( 2 1 )( 1100 1100 zXzGzHzG

14、zH zXzGzHzGzHzX n对于输入的无失真重建，假定下列条件： n矩阵表达 2 0 1100 1100 zGzHzGzH zGzHzGzH消除混叠消除混叠 消除幅度失真消除幅度失真 02 11 00 10 zHzH zHzH zGzG nhngnhng nhngnhng nn nn 010 1 1 1 2 010 11 11 0. 2 . 1 1 2 210 平移不变性： 伸缩规则性： 渐进完全性： 一致单调性： ZjVj,子空间子空间： n简单尺度函数遵循多分辨率的四个简单尺度函数遵循多分辨率的四个基本条件基本条件 nMRAMRA要求要求3 3：唯一包含在所有唯一包含在所有V Vj

15、j中的函数是中的函数是 f(x)=0 f(x)=0 如果考虑可能的最粗糙的展开函数(即j=-)，惟 一可表达的函数就是没有信息的函数，即， (2) 尺度函数尺度函数 0 V n简单尺度函数遵循多分辨率的四个简单尺度函数遵循多分辨率的四个基本条件基本条件 nMRAMRA要求要求4 4：任何函数都可以以任意精度表示任何函数都可以以任意精度表示 虽然在任意粗糙的分辨率下展开一个特定f(x)是 几乎不可能的，但所有可度量的、平方可积函数 都可以用极限j表示，即， 在这些条件下，子空间Vj的展开函数可以被表述为 子空间Vj+1的展开函数的加权和。 (2) 尺度函数尺度函数 RLV 2 n 被称为尺度函数

16、系数； 为尺度矢量 n任意子空间的展开函数都可以从它们自身的双倍分辨率拷 贝中得到，即从相邻较高分辨率的空间中得到。对引用子 空间V0的选择是任意的。 n njnkj xx , 1, kxx jj kj 22 2/ , n jj kj nxnhx 12/1 , 22 0, 0, 0 kjxx n nxnhx22 多分辨率分析的基础，称为多分辨率分析的基础，称为改善等改善等 式、式、MBR等式或扩张等式等式或扩张等式 (2) 尺度函数尺度函数 nh h n哈尔尺度函数系数 ) 12()2()(xxx附加的简化产生了 Haar尺度和小波函数是不连续和紧支撑的，在支撑的有限区域外是0. 00.51

17、-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Haar Scaling Function 00.51 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Haar Wavelet Function 举例：哈尔尺度函数系数举例：哈尔尺度函数系数 122 2 1 22 2 1 xxx x 0, 1 x 1 , 1 2/110 hh n给定满足MRA要求的尺度函数，能够定义小 波函数(x) (与它的积分变换及其二进制尺 度) ，跨越了相邻两个尺度子空间Vj和Vj+1 的差异。 kxx jj kj 22 2/ , (3) 小波函数小波函数 n用尺度函数可得 n如果f(x)=Wj n尺度函数与小波函数

18、的关系 n表示空间并集 nVj+1中Vj的正交补集是Wj，Vj中所有成员对于Wj中 的所有成员都正交 xSpanW kj k j, 0 k kjk xxf , jjj WVV 1 Zlkjxx ljkj , 0, , (3) 小波函数小波函数 n所有可量度的、平方可积函数空间表示为： n任何小波函数可以表示为平移的双倍分辨率尺度 函数的加权和 被称为小波函数系数； 为小波向量 n利用小波跨越的正交补集空间、积分小波变换是 正交的条件，可得 . . 21012 2 01 2 000 WWWWWRL jWWVRL jjj 任意 n nxnhx22 (3) 小波函数小波函数 nh h nhnh n

19、11 n哈尔小波函数系数 n哈尔尺度向量定义 n相应的小波向量 n哈尔小波函数 2/110 hh 2/11111 2/10110 1 0 hh hh 其它0 15 . 01 5 . 001 122x x xxx 举例：哈尔小波函数系数举例：哈尔小波函数系数 nW1比W0窄，可以标志 更细微的细节； n函数展开 这里 V0尺度函数的近似 W0小波函数 xx 0, 0 2 2, 0 xx xx22 0, 1 001 WVVxf 0 Vxf 0 Wxfd 2, 0 8/2 2, 0 8/2 0, 0 4/2 0, 0 4/23 xfxfxf da xxxfa 2, 00 , 0 8 2 4 23 x

20、x xfxfxf ad 2, 00 , 0 8 2 4 2 举例：哈尔小波函数系数举例：哈尔小波函数系数 u尺度函数(Scaling function, , phiphi) 父小波函数；父小波函数； 近似空间（低频）；近似空间（低频）； u小波函数(Wavelet function, psi) 母小波函数；母小波函数； 细节空间（高频）细节空间（高频） 主要内容主要内容 u背景背景 u多分辨率展开多分辨率展开 u一维小波变换一维小波变换 n小波序列展开 n离散小波变换 n连续小波变换 u快速小波变换快速小波变换 u二维小波变换二维小波变换 u小波包小波包 nj0 是任意开始尺度 n 近似值或尺

21、度系数 n 细节或小波系数 n第一个和式是 f(x) 在尺度 j0 上近似 n第二个和式是在较高尺度 jj0 更细分辨率的小波函数 0 00 , jjk kjj k kjj xkdxkcxf kd j kc j0 dxxxfxxfkd dxxxfxxfkc kjkjj kjkjj , , , , 000 (1) 小波序列展开小波序列展开 n定义小波序列展开 n展开系数计算： 3.3.一维小波变换一维小波变换 其它0 10 2 xx y 32 23 1 75. 0 2 75. 0 0 2 1 0 1 , 1 2 1 32 2 5 . 0 25. 0 2 25. 0 0 2 1 0 0, 1 2

22、1 4 1 1 5 . 0 2 5 . 0 0 2 1 0 0, 0 2 0 3 1 1 0 2 1 0 0, 0 2 0 22 0 22 0 0 0 dxxdxx dxxxd dxxdxx dxxxd dxxdxx dxxxd dxxdxxxc 举例：哈尔小波序列展开举例：哈尔小波序列展开 其它0 10 2 xx y 举例：哈尔小波序列展开举例：哈尔小波序列展开 n如果待展开函数是一个数字序列，得到的系 数就称为离散小波变换离散小波变换(DWT)(DWT) 对于 j j0 通常令j00且M是2的幂(M=2J) n注意：序列展开中的积分变成了求和 对于双正交函数要用对偶函数 代替 x kj x

23、 kj xxf M kjW xxf M kjW ,0 ,0 1 , 1 , 0 0 0 ,0 , 1 , 1 jjk kj k kj xkjW M xkjW M xf 近似系数近似系数 细节系数细节系数 , (2) 离散小波变换离散小波变换 n考虑4点离散函数：f(0)=1, f(1)=4, f(2)=-3和f(3)=0 nM=4, J=2, 对于x=0, 1, 2, 3, j=0, 1求和 25 . 120230401 2 1 1 , 1 25 . 100032421 2 1 0 , 1 410131411 2 1 0 , 0 110131411 2 1 2 1 0 , 0 3 0 0, 0

24、 W W W xxfW x 举例：一维离散小波函数举例：一维离散小波函数 n考虑4点离散函数：f(0)=1, f(1)=4, f(2)=-3和f(3)=0 n重构原始函数 1025 . 1225 . 1141100 2 1 fx 举例：一维离散小波函数举例：一维离散小波函数 xWxWxWxWxf 1 , 10, 10, 00, 0 1 , 10 , 10 , 00 , 0 2 1 2 0 2 0 /2 () /2 ( ) 2 itt tee e Morlet小波： Morlet 小波 举例：一维离散小波函数举例：一维离散小波函数 2 2 2/2 4 2/2 2 ( )(1) 3 2 2 3 t

25、 tte e Mexihat小波： Mexihat小波 n连续平方可积函数f(x)的连续小波变换连续小波变换(CWT(CWT) ns和分别为尺度和变换参数 n当满足条件 反连续小波变换 s x s x dxxxfsW s s 1 , , , 其中 du u u C dsd s x sW C xf s 2 0 2 , , 1 其中 u其中其中 是是 的的 傅里叶变换傅里叶变换 x C (2) 连续小波变换连续小波变换 nDWT和CWT的相似性 n连续变换参数取代了积分变换参数 n连续尺度参数s与二进制尺度参数2j相反。 n连续尺度参数s出现在分母上，小波尺度和通常意义上的 频率定义相反 n0 s

26、 1 时，扩大或展开 nCWT开始展开j0=-，消除了尺度函数间的明显关联 ，函数只包括小波项 n和DWT相似，CWT可以被看成是一组变换系数 ，它给出f(x)与基函数集 的相似性。 在连续情况下，两个集合都是无穷的 , sW x s , (2) 连续小波变换连续小波变换 n墨西哥草帽小波墨西哥草帽小波 2/24/1 3 2 2 1 x exx xxxf 80, 610, 1 左图函数的傅里叶变换，左图函数的傅里叶变换， 解释了尺度化的小波和解释了尺度化的小波和 傅里叶频段之间的联系，傅里叶频段之间的联系， 频谱中的两个显著频段频谱中的两个显著频段 ( (峰值峰值) )对应函数的两个对应函数的

27、两个 类高斯扰动类高斯扰动 函数根据墨西哥草帽函数根据墨西哥草帽 小波完成的小波完成的CWTCWT的一的一 部分部分 (1(1 s s 10 10 且且 100)100) 它同时给出了时域和它同时给出了时域和 频域的信息。如：频域的信息。如： 当当s=1,s=1,变换在变换在 = =1010时时 达到最大值达到最大值 变换绝对值 用 黑白之间的灰度级显示 , sW 主要内容主要内容 u背景背景 u多分辨率展开多分辨率展开 u一维小波变换一维小波变换 u快速小波变换快速小波变换 u二维小波变换二维小波变换 u小波包小波包 nFWT是实现DWT的高效计算，利用相邻尺度DWT系数 之间的关系，采用类

28、似的两段子带编码方案，也称 为Mallat人字型算法。 n从多分辨率等式开始 n nxnhx22 nkmkx j 22进行平移，令尺度化，用对 m j n jj mxkmh nkxnhkx 1 222 2222 尺度向量尺度向量h h 可以被看成是用来将可以被看成是用来将 展开成尺度展开成尺度 为为j+1j+1的尺度函数和的的尺度函数和的“权权” kx j 2 4.4.快速小波变换快速小波变换FWTFWT x kj x kj xxf M kjW xxf M kjW ,0 ,0 1 , 1 , 0 kxx jj kj 22 2/ , x jj kxxf M kjW22 1 , 2/ m jj m

29、xkmhkx 1 2222 mxxf M kmh mxkmhxf M kjW j x j m xm jj 12/1 12/ 22 1 2 2222 1 , 4.4.快速小波变换快速小波变换FWTFWT 时1 0 jj mxxf M j x j12/1 22 1 x kj xxf M kjW ,0 0 1 , kxx jj kj 22 2/ , m mjWkmhkjW, 12, 注意：注意：DWT在尺度在尺度j的细节系数是的细节系数是 尺度在尺度在j+1是近似值系数的函数是近似值系数的函数 类似的可以得到类似的可以得到 m mjWkmhkjW, 12, 尺度为尺度为j的近似值的近似值 和细节系数

30、和细节系数 可以通过尺度可以通过尺度 为为j+1的近似系数的近似系数 和时域反转的尺度与小波向量和时域反转的尺度与小波向量 的卷积，而后对结果进行亚取样来计算的卷积，而后对结果进行亚取样来计算 kjW, kjW, kjW, 1 )( nhnh 和 4.4.快速小波变换快速小波变换FWTFWT n一个FWT分析滤波器族 n有h0(n) = h (-n) 且 h0(n) = h(-n) n其中，卷积在n=2k时进行计算，在非负偶数时刻 计算卷积与以2为步长进行过滤和抽样的效果相同 0,2 0,2 , 1, , 1, kkn kkn njWnhkjW njWnhkjW 4.4.快速小波变换快速小波变

31、换FWTFWT nFWT分析滤波器可以迭代产生多阶结构。 n如果以高于奈奎斯特频率的采样率进行采样，该样值是 该分辨率的尺度系数的良好近似，可以作为起始的高分 辨率尺度系数的输入，即，无须小波系数。 二阶两尺度二阶两尺度FWTFWT分析滤波器分析滤波器 以及其频率分离特性以及其频率分离特性 4.4.快速小波变换快速小波变换FWTFWT 例：计算一维小波变换 n离散函数f(n)=1,4,-3,0，计算基于哈尔尺度和 小波函数的变换。使用小波向量 其它 其它 0 12/1 02/1 0 1 , 0 2 1 n n nh n nh 1 , 0 1 , 0 0,2 0,2 | ) 12( 2 1 )2

32、( 2 1 | )()2( | )()( | ), 2()(), 1 ( k l k kkn kkn kxkx lxlkh nfnh nWnhkW 例：计算一维小波变换 n离散函数f(n)=1,4,-3,0，计算基于哈尔尺度和 小波函数的变换。使用小波向量 哈尔尺度和小波向量计算序列哈尔尺度和小波向量计算序列 1,4,-3,0的二尺度快速小波变换的二尺度快速小波变换 n通过近似值W (j,k)和W(j,k)细节系数重 建f(x)的高效反变换，称为快速小波反变换 (FWT-1) n使用正变换中所用的尺度和小波向量以及第j级 近似值和细节系数来生成第j1级的近似值系 数 n完备重建要求对于i=0,

33、1, gi(n) = hi(-n) 即：分析滤波器和综合滤波器在时域中是相互 反转的 n对于双正交分析/综合滤波器，不是彼此时域反 转的 nhnhngnhnhng 1100 4.4.快速小波变换快速小波变换FWTFWT FWT 1的综合滤波器族 的综合滤波器族 FWT 1迭代：二阶或两尺度 迭代：二阶或两尺度FWT 1的综合滤波器族 的综合滤波器族 0 , , 1 k up up kjWkh kjWkhkjW Wup代表步长为代表步长为2 内插内插 例：计算一维小波反变换 1.首先对0级近似值和细节系数进行内插，产生1,0和 4,0 2.与滤波器g0(n)和 g1(n)卷积结果相加产生W(1,

34、n)，得 到一级近似值的重建 3.迭代运算，重建f(x) 用哈尔尺度和小波向量计算序列 的两尺度快速小波反变换 1,4, 1.5 2, 1.5 2 快速小波变换与FFT的比较 n运算复杂性 n对于FWT，长度为M=2J的序列的FWT的运算次数是 O(M) 阶，即：浮点乘法和加法(使用滤波器族)的次数与序列的长度存 在这线性关系 nFFT需要 O(MlogM) 阶 n变换的基函数 n傅里叶的基函数(正弦函数)保证了FFT的存在 nFWT的存在取决于使用的小波函数的尺度函数是否存在 ，以及尺度函数和相应的小波函数的正交/双正交性 n表达函数时，时间和频率通常被作为不同的域来 处理，它们之间存在这不

35、可分割的关系 n例如，要得到时域有价值的信息，就要忍受频域模糊， 反之亦燃-海森伯测不准原理海森伯测不准原理 n块不重叠是正交基函数的特点 FWTFWT和和FFTFFT的比较的比较 n标准时域基给出时间发生的时刻，没有频域信息 n正弦基给出时间发生的频率但是没有时间分辨率 nFWT时间和频率分辨率是变化的 n低频：块短而宽，即有较好的频率分辨率，对应较差的时间 分辨率 n高频：块窄而高，即有较高的时间分辨率，频率分辨率下降 取样数据取样数据 FFT基函数基函数 FWT基函数基函数 时间一频率块时间一频率块 主要内容主要内容 u背景背景 u多分辨率展开多分辨率展开 u一维小波变换一维小波变换 u

36、快速小波变换快速小波变换 u二维小波变换二维小波变换 u小波包小波包 n二维乘积可分离的尺度函数 n二维可分离方向敏感小波 n定义尺度和平移基函数 yxyx, yxyx yxyx yxyx D V H , , ,沿列方向变化沿列方向变化 沿行方向变化沿行方向变化 沿对角线方向变化沿对角线方向变化 DVHinymxyx nymxyx jjiji nmj jjj nmj ,2 ,22, 2 ,22, 2 , 2 , 5.5.二维小波变换二维小波变换 nMN的函数f(x, y)的离散小波变换 n同一维DFT一样， 定义了尺度在j0 的f(x, y) 的近似， 系数对于jj0 附加了水平，垂 直对角线

37、方向的细节 n离散反小波变换 DVHiyxyxf MN nmjW yxyxf MN nmjW M x N y i nmj i M x N y nmj , 1 ),( , 1 ),( 1 0 1 0 ,0 1 0 1 0 ,0 0 ),( 0 nmjW ),( 0 nmjW i 5.5.二维小波变换二维小波变换 VDHijjmn i nmj i mn nmj yxnmjW MN yxnmjW MN yxf , , ,0 0 0 , 1 , 1 , n二维DWT可以用数字滤波器和抽样来实现 n先取f(x,y)的行的一维FWT n再用结果列的一维FWT 5.5.二维小波变换二维小波变换 图7.22

38、二维快速小波变换。（a）分析滤波器族 n二维DWT可以用数字滤波器和抽样来实现 5.5.二维小波变换二维小波变换 图7.22 二维快速小波变换。 （b）分解结果 两尺度分解结果 n综合滤波器，重建过程和一维相似 n每一次迭代4尺度j的近似和细节图象用两个一维滤波器 内插和卷积 5.5.二维小波变换二维小波变换 图7.22 二维快速小波变换。 （c）综合滤波器族 四阶对称小波四阶对称小波 nab分解滤波器 ncd重建滤波器 ne一维小波函数 nf一维尺度函数 a b c d e f 低通重建滤波低通重建滤波g g0 0(n)=h(n)=h (n)(n) 的系数对于的系数对于 0 0 n n 7

39、7： 0.03220.0322，-0.0992-0.0992，0.29790.2979， 0.80370.8037，0.49760.4976，-0.0296-0.0296， -0.0758-0.0758 5.5.二维小波变换二维小波变换 例：计算二维小波变换 四阶对称小波四阶对称小波 三个二维小波之一,H(x,y) 5.5.二维小波变换二维小波变换 3 3尺度尺度FWTFWT a a b b c c d d a图:由计算机产生的128X128基于滤波器分解的一个序列 b-d图：对称小波滤波器分解结果 n前面分析的小波族称为“对称小波”（symlet） n它们不完全对称，但具有最小不对称性和最高

40、 消失矩数 nDWT尺度和小波函数表现为低通和高通滤波器特 性，大多数基于傅里叶滤波器的技术和小波部 分是等价的 小波 的第k阶矩是 。0阶矩影响小 波函数和尺度函数的平滑性以及多项式表示它们的能 力。一个N阶对称小波有N个消失矩 x dxxxkm k 5.5.二维小波变换二维小波变换 小波在图像处理中的用途，如在傅里叶域 那样，基本方法是： n计算一幅图像的二维小波变换 n修改变换 n计算反变换 5.5.二维小波变换二维小波变换 例：基于小波的边缘提取例：基于小波的边缘提取 a b c d a图消除了最低尺度 近似分量，再进行反 变换得到b图，效果是 强调和突出了图象的 边缘 c图将水平细节

41、也置为 0，反变换得到重建图 象d，可以孤立出垂直 边缘。 图7.25 改进的边缘检测DWT。（a）（c）选择的 删去系数的两尺度分解，（b）（d）相应的重建 例：基于小波的去除噪声例：基于小波的去除噪声 n基于小波的图象去噪的过程 1.选择分解用的一个小波(例如：哈尔对称小波)和级 别数或尺度P。 2.计算噪声图象的FWT 3.门限化细节系数 n从尺度J-1到J-P选择应用一个门限处理细节系数 n硬门限实现，元素绝对值低于门限值则置0 n软门限实现，元素绝对值低于门限值则置0，并且标 定非0的系数接近0，去除了硬门限固有的门限处的 不连续性 4.基于原始的近似系数，在J-P级执行小波重建，

42、并对J-1到J-P级改进细节系数 对噪声去除改进DWT na图：人体头部带噪声MRI图象 nb图显示了门限化细节系数后的 重建图像 n4阶对称小波 n2尺度（P2） n全局门限94.909 3 nc图：最高分辨率细节置0的重建 图像 ne图：两个分解级别的细节被置0 后的DWT重建 nd图：在c图重建时移去的信息 n包含了原图象大多数噪声和某些边 缘信息 nf图：在e图重建时移去的信息 a b c d e f 例：基于小波的去除噪声例：基于小波的去除噪声 主要内容主要内容 u背景背景 u多分辨率展开多分辨率展开 u一维小波变换一维小波变换 u快速小波变换快速小波变换 u二维小波变换二维小波变换

43、 u小波包小波包 n快速小波变换将一个函数分解为一系列 与对数相关的频段 n低频被组成窄频段 n高频被组成宽频段 n想要较大的控制时频平面的一部分，FWT 必须有更灵活的分解小波包 n产生过程的代价是FWT计算复杂度增加，从 O(M)到O(MlogM) 6.6. 小波包小波包 n考虑两阶的滤波器族，分解过程用二叉树表示 n根节点被赋予最高的尺度近似系数，它是函数 自身的取样 n叶子继承变换的近似细节和系数细节的输出 两尺度FWT分析族的一个系数数和分析数 6.6. 小波包小波包 n三尺度FWT分析族、分析数和相应的频谱 三尺度三尺度FWT分析滤波框图分析滤波框图 分解空间树分解空间树 谱分离特

44、性谱分离特性 6.6. 小波包小波包 n分析树提供了多尺度小波变换的紧凑有 效的方法 n比对应的滤波器和基于子取样的方框图更 容易画，并占有较少的空间 n相对容易定位有效分解 n三阶分析数提供了三种展开选择 1. 2. 3. 1233 122 11 JJJJJ JJJJ JJJ WWWVV WWVV WVV 6.6. 小波包小波包 n分析树还是表示小波包的有效机理 从从3阶阶FWT分析树到分析树到3阶小波包树阶小波包树 A表示近似滤波表示近似滤波 D表示细节滤波表示细节滤波 3阶小波包树几乎是阶小波包树几乎是3阶阶FWT的有效的有效 分解数目的分解数目的3倍倍 DDJDAJADJAAJDJAJ

45、JJJ WWWWWWWVV , 1, 1, 1, 1, 2, 233 ADJAAJDJJJ WWWVV , 1, 1, 11 6.6. 小波包小波包 n注意：平均分布的 频带是完全小波包 分解的特征。 分析树的滤波器组分析树的滤波器组 谱分离特性谱分离特性 n随着扩展的随着扩展的 增加，基于增加，基于 包的变换改包的变换改 进了对被分进了对被分 解函数的频解函数的频 谱分割的控谱分割的控 制，代价是制，代价是 复杂度增加复杂度增加 n滤波器组将 分解成 输出，反复迭代生成P尺度变换 n第一次迭代得到 nmjW, 1 nmjWnmjW H , 、 nmjWnmjW DV , 、 为适应二维输入特

46、性，就要有单个小波子为适应二维输入特性，就要有单个小波子 空间空间 对应系数对应系数 D J V J H J WWW 111 、 nmJWnmJWnmJW H , 1, 1, 1 DV 、 子空间分析树子空间分析树 6.6. 小波包小波包 n三尺度、全小波包分解树（部分） 6.6. 小波包小波包 例：二维小波包分解例：二维小波包分解 指纹扫描图象指纹扫描图象三尺度、全小波包分解为三尺度、全小波包分解为64片片 n上图中被分解子图象构成88阵列的子带 n为了达到压缩的目的，64片分解达到某种程 度优化的可能性相对较低 n选择一种更加合理的分解方式附加代价 函数 n测量二维函数f的熵或信息量 n利

47、用代价函数将接近0值的数目最大化 n优化算法必须使用附加代价函数使分解树的叶子 节点所付出的代价最小：熵最小的节点具有更多接近 0的数值，导致更大的压缩 nm nmffE , , 例：二维小波包分解例：二维小波包分解 n构造最小熵的有效算法 n对于分析树的每个节点，从根节点开始逐层构 造树，直到叶子节点 1.计算节点的熵和此节点的4个子节点的熵 n对于二维小波包分解，父节点是一个近似值或细节 系数的二维阵列，子节点是经过滤波的近似值是水 平、垂直、和对角线方向上的细节 2.如果子节点的联合熵小于父节点的熵，就将这 些子节点包括到分析树中，否则去掉这些子节 点，只保留父节点 n用上述算法修剪小波

48、包树，根据计算最优树的 大致框架设计处理程序。 例：二维小波包分解例：二维小波包分解 n最佳小波包分解结果及最佳小波包分析树最佳小波包分解结果及最佳小波包分析树 104 图中没有被进一步分离的子图象比较平滑，图中没有被进一步分离的子图象比较平滑， 由 具 有 中 间 灰 度 值 的 象 素 构 成 。由 具 有 中 间 灰 度 值 的 象 素 构 成 。 近似值子图象已被标定，以灰度近似值子图象已被标定，以灰度128表示表示0 值系数，这些子图象几乎不包含任何信息。值系数，这些子图象几乎不包含任何信息。 这些子图象的分割不会增加图象总体熵。这些子图象的分割不会增加图象总体熵。 nCohen-D

49、aubechies-Feauveau双正交小波族 n滤波器族的尺度和小波函数是对称的并且具有 相近的长度 双小波及尺度函数双小波及尺度函数 6.6. 小波包小波包 Cohen-Daubechies-Feauveau双正交小波族双正交小波族 106 分解滤波器分解滤波器 重构滤波器重构滤波器 0 n 17时，低通滤波器系数时，低通滤波器系数h0(n): 0, 0.001 9, -0.001 9, -0.017, 0.011 9, 0.049 7, -0.077 3, -0.094 1, 0.420 8, 0.825 9, 0.420 8, -0.094 1, -0.0773, 0.049 7,

50、0.011 9, -0.017, -0.001 9, 0.001 0 高通滤波器系数高通滤波器系数h1(n): 0, 0, 0, 0.0144 4, -0.014 5, -0.078 7, 0.040 4, 0.417 8, -0.758 9, 0.417 8, 0.040 4, -0.078 7, -0.014 5, 0.014 4, 0, 0, 0, 0 g0(n) = (-1)n+1h1(n) 和和 g1(n)=(-1)nh0(n) 小小 结结 n小波变换是强有力的时频分析工具，是在克服傅立 叶变换缺点的基础上发展而来的。已成功应用于很 多领域，如信号处理、图像处理、模式识别等。 n 小波变换的一个重要性质是它在时域和频域均具 有很好的局部化特征，它能够提供目标信号各个频 率子段的频率信息。这种信息对于信号分类是非常 有用的。 n 小波