长沙理工大学概率论试题7

1、X长沙理工大学模拟试卷第七套概率论与数理统计试卷得分:姓名:班级:学号:一. 判断题(10分，每题2分)1.在古典概型的随机试验中，P(A)=0当且仅当A是不可能事件()2 .连续型随机变量的密度函数f(x)与其分布函数F(x)相互唯一确定()3.若随机变量X与Y独立，且都服从P二。.1的(0，1)分布，则X =Y()4 .设X为离散型随机变量,且存在正数k使得P(X|:k)=0 望E(X)未必存在()5在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时，犯第一类错误的概率与犯第 二类错误的概率不能同时减少()二. 选择题(15分，每题3分)1. 设每次试验成功的概率为PP1)，重复进行试验直到第n次才

2、取得“1 r Wn)次成功的概率为 .(a) Cnipr(1 - p)2 ；(c) cn;p2(1 -P)2十2.(b)cnp r(i- p)n，则X的数学期(3.(d) 离散型随机变量X的分布函数为 a ) P(Xk4Xk)；c ) P(XkX cXkd ； 设随机变量X服从指数分布， 数.a )是连续函数； c )是阶梯函数；F(x),(则随机变量r 、np (1 - p).贝y P(X =Xk) =.F(XkHi) -F(Xk_i).?F(Xk) -F(x.Y = max (X , 2003)的分布函恰好有一个间断点； 至少有两个间断点.4. 设随机变量(X，丫)的方差D(X) =4,

3、D(Y)二1,相关系数PxY =0.6,则方差 D(3X -2Y)=.(a ) 40 ；( b ) 34 ；( c ) 25.6 ；( d ) 17.61 J 2-艺(Xi 1) F(n,1)4 y1 n(Xi-1)2 (n)4 im5. 设(X1,X2,，Xn)为总体N(1,22)的一个样本，X为样本均值，则下列结 论中正确的是.Zt( n) (a ) 2/Un；X 1N(0,1)(c) U2/Jn；二填空题(28分，每题4分)0.05.连续两次不放回地从中任取次品率为1. 一批电子元件共有100个,一个，则第二次才取到正品的概率为2.3.4.设连续随机变量的密度函数为f（x），则随机变量丫

4、 =3e的概率密度函数 为 fY（y）=设X为总体X N（3,4）中抽取的样本（Xi,X2,X3,X4）的均值，则P（1cXc5）=设二维随机变量（X，Y）的联合密度函数为y ex, 0 ex c1;5.6.f（x, y） =甘他10,其他则条件密度函数为，当时，fYx（yx）=设Xt（m）,则随机变量Y =X2服从的分布为（需写出自由度）2设某种保险丝熔化时间XN （巴b ）（单位：秒），取n =16的样本，得 样本均值和方差分别为=0.36，则 卄勺置信度为95%勺单侧 置信区间上限为7.设X的分布律为X 1230226（1-8）（18）2已知一个样本值（x1，x2，x3（ 1, 2,1）

5、，则参数的极大似然估计值为三.计算题（40分，每题8分）1. 已知一批产品中96 %是合格品.检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02 ; 一次品被误认为是合格品的概率是0.05 .求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率2. 设随机变量X与丫相互独立，X，丫分别服从参数为几*仏H4）的指数 分布，试求Z =3X +2Y的密度函数fz（z）.3. 某商店出售某种贵重商品.根据经验，该商品每周销售量服从参数为几=1的泊松分布.假定各周的销售量是相互独立的.用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率.4. 总体X N2） , （X1,X2，X

6、n）为总体X的一个样本.为b的无偏估计量.n kS Xj -X求常数k ,使i#5. （1）根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力XN岸& ）（单位：kg）.已知b =8kg,现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取10个样品，测得样本均值575.2 kg.问这批特种金属丝的 平均折断力可否认为是570 kg ?（0 =5% ）（2）已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布N（巴O.。48）.某日抽取5 个样品，测得其纤度为：1.31，1.55，1.34，1.40，1.45 .问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用 d =10%作假设检验.四.证明题(7分)设随机变量X#相互独立且服从同

7、一贝努利分布B(1, P).试证明随机变量X +Y与Z相互独立.附表：标准正态分布数值表* 2分布数值表(0.28) =0.6103(1.96) =0.975(2.0) =0.9772(2.5) =0.9938盅05 =9.488 盅95 =0.711 丐05(5) =11.07120.95 (5) =1.145t10.025(152.13110.05(15)=1.75-10.025(16) = 2.1 19910.05(16)= 1.745 9分布数值表5-一-.判断题(10分，每题2分)-二.选择题(15分，每题3分)三.填空题(28分，每题4 分)fY(y)01.1/22 ;2.LfYx

8、(yx) =4.当0 x0y 兰0;3.0.9772 ;7.5 / 6 .A 被查后认为是合格品的事件，B 抽查的产品为合格品的事件.P( A) = P(B)P(A B) + P(B)P( AB) =0.96 咒 0.98 +0.04X 0.05 = 0.9428(2分)(4分)2.P(B A) =P(B)P(A B)/P(A) =0.9408/0.9428 = 0.998.0r心亠XA0 fx(x)n 0其他fY(y)y 0其他(2分)Fz =0,从而 fz(z) =0 ；-beJNfx(x)fY(z3x)/2dxfz (心_丄_ 2J。出尹孰)乐=3卜_2入(/.z/3-2e - e )所

9、以(1分)(1分)(2分)(2分)(e-z/3 _e-比r2)fz(z)斗 342a),i 0,z 0z0(e-)2-曲3)fz(z)=243八,i 0,z a03.设Xi为第i周的销售量则一年的销售量为由独立同分布的中心极限定理,P(50v Yc70)=Pi =1,2,5252=Z X ii4，E(Y)所求概率为Y -5218 、z& n 1) =Z0.025 = 1.962拒绝域为W270 =0.65=2.06 1.968/J10，落在拒绝域内,(2分)U。故拒绝原假设H 0，即不能认为平均折断力为570 kg .U 0 = 571_= 0.2 J10 = 0.632 V 1.969/V1

10、0,落在拒绝域外,故接受原假设H0 ,即可以认为平均折断力为571 kg .-0.0 4 8, H1 e2 工0.048=0.792 , H1 22 H 0.792(2)要检验的假设为H02H0：b25z-旦(Xi -X)2检验用的统计量哺 /2(n-1)(1分)(1分)& 八亀n_ 1)=瞪05(4)=9.4882 2 2/ W dn -0 = 0.95 (4) = O-711X =1.41 X =1.49瞪=0.0362/0.0023 = 15.7399.488,落在拒绝域内，心二0.0538/。.6241 二0.086711,落在拒绝域内， 故拒绝原假设H。，即认为该天的纤度的总体方差不正常.(7分)由题设知拒绝域为(2分)(1分)五、证明题X01PqP+Y = 0,Z3=0) = q = PP(X+Y = 0,ZX +Y0 1 2PY =0)P(2c2q 2pq pZ =0)；(2分)P(XP(X+Y =1,ZP(X+Y =1,Z2=1) = pq= P(X +Y = 0)