2019-2020学年高中人教A版数学选修1-2学案：3.1.1　数系的扩充和复数的概念 含解析

1、祝学子学业有成，取得好成绩数系的扩充与复数的引入我们知道，在实数范围内,解方程x210是无能为力的，只有把实数集扩充到复数集上才能解决,可是，历史上引进虚数，把实数集扩充到复数集可不是件容易的事16世纪意大利米兰学者卡当（15011576）在1545年发表的重要的艺术一书中,公布了三次方程的一般解法（“卡当公式”)，他把10分成两部分,使它们的乘积等于40,即(5)（5）40,尽管他认为（5）和（5）这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无缥缈的法国数学家笛卡儿(15961650）在几何学中使用“虚的数”与“实的数相对应,从此，虚数才流传开来但这引起了数学界的一片困惑,很多大数学家都不承认虚数然

2、而，真理性的东西一定可以经得住时间的考验,并最终占有一席之地许多数学家经过长期不懈的努力,深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的“幽灵-虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚虚数成为数系大家庭中的一员，从而实数集才扩充到了复数集同学们，你想了解复数的初步知识吗？那就让我们步入本章的学习吧！随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且在系统分析、信号分析、量子力学、电工学、应用数学、流体力学、振动理论、机翼理论等方面得到了广泛应用,并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理

3、论依据3.1数系的扩充和复数的概念3。1.1数系的扩充和复数的概念q2018年8月，希望工程举行中学生夏令营，来到海滨城市青岛一天，张明与王华面对着广阔的大海,有一番耐人寻味的对话张明：海纳百川，心阔容海海、心孰大？王华:夸张的手法，不可比较张明：那么数m,n可否比较大小?王华：未必同学们,你能准确回答张明的问题吗？x1复数的定义：形如abi（a、br）的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,满足i2_1_.全体复数构成的集合叫做_复数集_。2复数的代数表示:复数通常用字母z表示，即zabi（a、br），这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的_实部_与_虚部_。3复数相等的充要条件设

4、a、b、c、d都是实数，那么abicdi_ac且bd_。4复数zabi(a、br），z0的充要条件是_a0且b0_，a0是z为纯虚数的_必要不充分_条件5复数的分类（1)复数zabi(a，br)，z为实数b0,z为虚数b0，z为纯虚数。(2)集合表示：y1复数23i的虚部是（b）a3b3c3id3i解析复数23i的虚部为3，故选b2(2019山师附中高二期末测试）设mr,复数zm21(m1）i表示纯虚数，则m的值为(b）a1b1c1d0解析由题意得，m1.3若复数（m25m6）（m23m)i是纯虚数,则实数m的值是(a)a2b3c2或3d1或6解析由题意得，m2.4若a2ibi1，a、br，则

5、a2b2_5_。解析a2ibi1，故a2b25。5实数k为何值时，复数z(k23k4)（k25k6)i是（1)实数?(2)虚数？(3)纯虚数？（4）零？解析（1)当k25k60,即k6或k1时，z是实数(2）当k25k60，即k6且k1时，z是虚数（3）当,即k4时，z是纯虚数（4）当，即k1时，z是零h命题方向1复数的概念典例1（1)给出下列三个命题：若zc，则z20；2i1虚部是2i；2i的实部是0。其中真命题的个数为(b）a0b1c2d3（2)已知复数za2（2b）i的实部和虚部分别是2和3，则实数a,b的值分别是_，5_.（3)判断下列命题的真假若x,yc，则xyi12i的充要条件是x

6、1，y2；若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；实数集的补集是虚数集解析(1)对于，当zr时,z20成立，否则不成立，如zi，z210，所以为假命题；对于，2i112i，其虚部为2，不是2i，所以为假命题;对于,2i02i，其实部是0，所以为真命题(2)由题意得:a22，(2b)3，所以a，b5.(3）由于x，y都是复数，故xyi不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故是假命题当a0时,ai0为实数,故为假命题由复数集的分类知，正确,是真命题规律方法判断与复数有关的命题是否正确的方法1举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类型题时，可按照“先特殊，

7、后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答2化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为abi的形式，更要注意这里a,b均为实数时，才能确定复数的实、虚部特别提醒：解答复数概念题,一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质跟踪练习1给出下列说法：复数由实数、虚数、纯虚数构成；若复数z3m2ni，则其实部与虚部分别为3m,2n;在复数zxyi（x，yr)中，若x0，则复数z一定不是纯虚数；若ar，a0，则（a3)i是纯虚数其中正确的说法的序号是_.解析错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数错，只有当m,nr时,才能说复数z3m2ni的实部与虚部分别为3m，2n.正确，复数zxyi(

8、x，yr）为纯虚数的条件是x0且y0,只要x0,则复数z一定不是纯虚数错，只有当ar，且a3时，（a3）i才是纯虚数命题方向2复数的分类典例2m取何实数时，复数z（m22m15）i.（1)是实数？（2)是虚数?（3)是纯虚数？思路分析根据复数分类的标准及条件，建立关于实数m的方程或不等式(组），求解m满足的条件解析（1)z为实数，m5.当m5时，z是实数（2）z为虚数，m5且m3.当m5且m3时，z是虚数(3)z为纯虚数，,m3或m2.当m3或m2时,z是纯虚数规律方法1。判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数值使虚数表达式有意义，其次要注意复数代数形式的条件，

9、另外对参数值的取舍，是取“并”还是“交”，非常关键，解答后进行验算是很必要的2形如bi的数不一定是纯虚数，只有限定条件br 且b0时,形如bi的数才是纯虚数跟踪练习2实数m取什么值时，复数（m25m6）(m23m）i为：（1）实数？（2）虚数？(3)纯虚数？（4）零?解析设z（m25m6)(m23m)i.(1）要使z为实数，必须有m23m0,得m0或m3，故m0或m3时,z为实数（2)要使z为虚数，必须有m23m0，得m0且m3，故m0且m3时，z为虚数（3）要使z为纯虚数，必须有，m2，m2时，z为纯虚数(4）要使z0，依复数相等的充要条件有,，m3。当m3时，复数z为零命题方向3复数相等典

10、例3已知集合m1,2,(m23m1)（m25m6）i，集合p1，3,若mp3,求实数m的值思路分析由集合的运算列出等式关系，再根据复数相等的定义求m的值即可解析由题设知3m，(m23m1)(m25m6）i3。根据复数相等的定义,，,m1.规律方法复数相等的充要条件是“化复为实”的主要依据，多用来求解参数的值步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与虚部分别相等列方程组求解跟踪练习3已知2x1（y1）ixy（xy)i，求实数x、y的值解析因为x、y为实数，所以2x1、y1、xy、xy均为实数由复数相等的充要条件,知,所以.y准确掌握概念典例4在下列命题中,正确命题的个数是()两个复数不能

11、比较大小；若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等，则z1z2;若a、b是两个相等的实数,则(ab）(ab）i是纯虚数a0b1c2d3错解两个复数不能比较大小，故正确；设z1mi(mr），z2ni(nr)z1与z2的虚部相等，mn，z1z2，故正确若a、b是两个相等的实数，则ab0，所以（ab)（ab)i是纯虚数，故正确综上可知：都正确,故选d辨析两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的,错解中忽视了这一特殊情况导致错误;而错解将虚数与纯虚数概念混淆，事实上纯虚数集是虚数集的真子集，在代数形式上，纯虚数为bi(br且b0）虚数为abi（a，br，且b0）中要保证ab0才可能是纯虚数正解a两个复

12、数当它们都是实数时,是可以比较大小的，故是不正确的；设z1abi（a、br,b0),z2cdi(c、dr且d0），bd，z2cbi.当ac时，z1z2，当ac时,z1z2，故是错误的,当ab0时，ab（ab)i是纯虚数，当ab0时，ab（ab）i0是实数，故错误，因此选a跟踪练习4实数m取什么值时，复数lg(m22m2）（m23m2）i分别是（1）纯虚数？（2）实数?解析(1）复数lg（m22m2）(m23m2）i为纯虚数，则所以所以m3.即m3时,lg(m22m2）（m23m2）i为纯虚数（2）复数lg（m22m2）(m23m2）i为实数,则解得得m2或m1,代入检验知满足不等式,所以当m2

13、或m1时，lg(m22m2)(m23m2)i为实数x根据复数的大小求参数的值两个复数能比较大小时，这两个复数必为实数，从而这两个复数的虚部为0。典例5如果(mn)(m23m）i1，求自然数m，n的值思路分析由虚数不能比较大小知本题中的 (mn）(m23m)i必为实数，所以m23m0.故原不等式转化为 (mn）1.解析 （mn）(m23m)i1，m,nn，m0，n1或n2。规律方法已知两个复数的大小求参数值时，一般先由复数的虚部为0求得参数的值,再进一步检验复数的大小关系即可k1（1）i的实部与虚部分别是(c）a1,b1，0c0,1d0,（1)i解析(1）i可看作0（1）iabi，所以实部a0,虚部b1.2以3i1的虚部为实部,以2i的实部为虚部的复数是(b）a