2019-2020学年高中人教A版数学选修2-3学案：1.2.1 第2课时　排　列（二） 含解析

1、祝学子学业有成，取得好成绩第2课时排列（二）q2019年7月1日是中国共产党成立97周年纪念日，各地组织形式多样的纪念活动，某校开展了“学习强国答题竞赛，共有29名参赛者按顺序就座参与比赛那么这29位选手的排列顺序有多少种呢？这样的排列顺序问题能否有一个公式表示呢？只要掌握了本节我们将要学习的排列与排列数公式，这些问题便可迎刃而解x1排列数的性质a_n_a；a_m_aa性质是指从n个不同的元素中取出m(mn）个元素排成一列分两步骤完成：第一步从n个元素中选出1个排在一个位置上，第二步从余下的n1个元素中选出_m1_个元素排在余下的m1个位置上，得到a_na_性质是指从含有元素a的n个不同的元素

2、中取出m（mn)个元素，排成一列第一类:m个元素中含有a，分两步完成第一步，将a排在某一位置上,有_m_种不同的方法第二步，从其余n1个元素中取出_m1_个排在其他m1个位置有a种方法,即有ma种不同的方法第二类：m个元素中不含有a.从n1个元素中取出_m_个元素排在m个位置上有a种方法，amaa或aan(n1）(n2)(nm1)（n1）（n2）（nm1）（nm)m(n1）（n2）（nm1)_ma_a_maa_2有限制条件的排列问题直接法：以元素为考察对象,先满足_特殊_元素的要求，再考虑_一般_元素(又称为元素分析法）,或以位置为考察对象，先满足_特殊_位置的要求，再考虑_一般_位置（又称位

3、置分析法)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去_不合要求_的排列数相邻元素_捆绑_法，相离问题_插空_法，定元、定位_优先排_法，至多、至少_间接_法，定序元素_最后排_法y15名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有（c）a70b72c36d12解析甲、乙、丙先排好后视为一个整体与其他2个同学进行排列，共有aa36种排法2用数字0、1、2、3、4、5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有(b）a288个b240个c144个d126个解析个位是0，有4a96个；个位不是0，有23a144个，共有96144240个3有七名同学站成一排照毕业照，其中甲

4、必须站在中间,并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有_192_种解析解法一：先去掉甲考虑其他6人，首先将乙、丙绑定为一个元素，排法有aa，然后让甲站在中间位置，但此时有不符合条件的，即当乙、丙在中间位置时，甲再插入中间的应去掉,共有aa，则符合条件的站法有aaaa192种解法二:乙、丙的排法有2种,乙、丙可在甲的左边也可在右边，每边都有2种位置，乙、丙站好后其余4人任意排共有222a192种47名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种?(1）两名女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；（3)若4名男生身高都不等,按从高到低的一种顺序站;

5、(4）老师不站中间,女生不站两端。 解析（1）2名女生站在一起有站法a种,视为一个元素与其余5个全排，有a种排法,有不同站法aa1440种；（2)先排老师和女生，有排法a种,再在老师和女生站位的间隔（含两端)处插入男生，每空一人，有插入方法a种，共有不同站法aa144种（3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有a种，而由高到低有从左到右，或从右到左的不同，共有不同站法2420种;（4）中间和两侧是特殊位置，可如下分类求解:老师站两侧之一，另一侧由男生站，有aaa种站法；两侧全由男生站,老师站除两侧和正中外的另外4个位置之一，有aaa种站法,共有不同站法aaaaaa2112种h命题方向1

6、元素相邻问题典例16名同学排成一排,其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有(c)a720种b360种c240种d120种解析因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有a种排法，但甲、乙两人之间有a种排法，由分步乘法计数原理可知：共有aa240种不同的排法，选c规律总结1。解排列应用题的基本思路实际问题排列问题求排列数解决实际问题通过审题,找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件(特殊位置，特殊元素）2相邻元素捆绑法如果所给问题中要求某n个元素必须相邻，可将这n个元素先排好，然后将其整体看作一个元素参与排列跟踪练习1记者要为5名志愿者和他们帮助的

7、2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有(b)a1440种b960种c720种d480种解析先将5名志愿者排好,有a种排法，2位老人只能排在5名志愿者之间的4个空隙中,先将2位老人排好,有a种排法,再把它作为一个元素插入空隙中，有4种插法共有不同排法4aa960种命题方向2元素不相邻问题典例2要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法?解析先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为a种，这6个歌唱节目的空隙及两端共七个位置中再排4个舞蹈节目有a种排法，由分步乘法计数原理可知,任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为aa6048

8、00（种）规律总结不相邻问题插空法不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开,此类问题可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称“插空法”跟踪练习24名男生和4名女生站成一排男生不相邻的站法有_2880_种女生不相邻的站法有_2880_种男、女生相间的站法有_1152_种(可不必计算出数值）解析4名女生排好有a种排法,男生插入女生形成的5个空位中有a种男生不相邻的站法有aa2880种同可得aa2880种如图，1男2男3男4男5男生排好后,形成5个空位，要使男女相间排列，女生应排在1至4号位或2至5号位，有排法2aa1152种命题方向3定位定元问题

9、典例33名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排列方案的方法种数（1）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；（3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端思路分析（1）甲是特殊元素，其余学生站法不受限制，故可先将甲排好，再排其他人(2）同（1)的分析，甲、乙是特殊元素可先在两端排好甲、乙，有a种排法，再排其他人（3)直接排时，可按甲的站位分类：甲在最右端和甲不在两端;也可按乙的站位分类用间接法求时，7人全排列后减去甲在左端的和乙在右端的(两种情形一样多)，再加上甲在左端且乙在右端的情形（两次都减去了)解析(1）（特殊元素优先法）先考虑甲有a

10、种方案,再考虑其余六人全排,故naa2160（种)（2)(特殊元素优先法)先安排甲、乙有a种方案，再安排其余5人全排，故naa240(种)(3）解法一（特殊元素优先法)：按甲是否在最右端分两类:第一类：甲在最右端时有n1a（种）,第二类：甲不在最右端时，甲有a个位置可选,而乙也有a个位置，而其余全排a,有n2aaa（种），故nn1n2aaaa3720（种）解法二(间接法):无限制条件的排列数共有a，而甲在左端或乙在右端的排法都有a，且甲在左端且乙在右端的排法有a，故na2aa3720(种)解法三（特殊位置优先法)：按最左端优先安排分步对于左端除甲外有a种排法，余下六个位置全排有a，但减去乙在最

11、右端的排法aa种,故naaaa3720(种)规律总结有限制条件的排列问题常用的方法有“直接法”和“间接法”1至多、至少间接法当问题的正面分类较多或计算较复杂，而问题的反面分类较少或计算更简便时往往使用“间接法”含“至多、“至少”类词语的排列（组合)问题，是需要分类问题,常用间接法（即排除法)解答这时可以先不考虑特殊元素(位置），而列出所有元素的全排列数，从中再减去不满足特殊元素（位置）要求的排列数，即排除法2定元、定位优先排在有限制条件的排列问题中，有时限定某元素必须排在某位置，某元素不能排在某位置；有时限定某位置只能排(或不能排)某元素这种特殊元素（位置）解题时要优先考虑元素分析法即以元素为

12、主,优先考虑特殊元素，再考虑其他元素，先特殊后一般位置分析法-即以位置为主，优先考虑特殊位置，再考虑其他位置，先分类后分步跟踪练习37人站成一排(1）甲必须在乙的前面(不一定相邻），则有多少种不同的排列方法；（2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变（不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法解析(1)甲在乙前面的排法占全体全排列种数的一半,故有2520种不同排法（2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全体排列种数的故有840种不同排法x排列与其他知识相交汇排列问题常与方程、不等式、函数、数列、解析几何、立体几何等知识相交汇，给人感觉情境新颖，但只需转化和化归，即可

13、脱去新题的伪装，还其本来面目典例4从1，2,3，20这20个自然数中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？思路分析由三个自然数组成的等差数列具有这样的性质：第一个数与第三个数必同时为偶数或同时为奇数（若a，b，c成等差数列,则ac2b），在1到20这20个数中有10个偶数和10个奇数，联想到排列的定义,可以求解解析设a，b，cn,且a，b，c成等差数列，则ac2b，即ac应是偶数因此，若从1到20这20个数中任选出三个数成等差数列，则第一个数与第三个数必同为偶数或同为奇数，而1到20这20个数中有10个偶数和10个奇数当第一个数和第三个数选定后，中间的数被唯一确

14、定因此选法有两类：第一类，第一个数和第三个数都是偶数,有a种选法；第二类，第一个数和第三个数都是奇数,有a种选法于是,选出3个数成等差数列的个数为aa180规律总结解有限制条件的排列应用问题的关键是将题设的限制条件转化为显性的排列的限制条件如本例中将三个正整数成等差数列这一限制条件转化为第一项和第三项同为偶数或同为奇数的限制条件跟踪练习4某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相(1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？（2)3位老者与2位年轻的都要分别按从大到小的顺序出场,顺序有多少种？思路分析思路（1）3位老者按从大到小的顺序出场不一定这3位相邻出场，

15、只要先排下年轻的，剩余的3个位置，可以按年龄“对号入座”思路（2）可先不考虑顺序，共有a种排法设符合条件的排法有x种，每一种排法若不讲顺序的话,三位老者又可作全排列a种,共有排法xa，这是不讲顺序的另一种列式方法xaa。xa20解析(1)只要第一步先排好年轻的，共有a种方法,第二步排3位年老者只有一种排法，按分步乘法计数原理有a120(种)排法（2)设符合条件的排法共有x种，用（1)的方法可得：xaaa，解得x10（种）y排列的综合应用典例54名运动员参加4100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有()a12种b14种c16种d24种错解若不考虑限

16、制条件，4名队员全排列共有a24种排法，甲跑第一棒有a6种，乙跑第四棒有a6种，故一共有a2a12种辨析解答过程中，排除甲跑第一棒和乙跑第四棒，两次都减去了甲跑第一棒且乙跑第四棒的情况，导致了错误结论a2a12正解b用排除法，若不考虑限制条件，4名队员全排列共有a24种排法，减去甲跑第一棒有a6种排法，乙跑第四棒有a6种排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒有a2种排法，共有a2aa14种不同的出场顺序k1用1、2、3、4、5这五个数字,组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为(a）a36b30c40d60解析奇数的个位数字为1、3或5，偶数的个位数字为2、4。故奇数有a36个26把椅子摆成一排

17、，3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为（d)a144b120c72d24解析就座3人占据3张椅子,在其余3张椅子形成的四个空位中，任意选择3个，插入3张坐人的椅子，共有a24种不同坐法，故选d3（2019江西省樟树中学)已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的现用编号为1,2，3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种,那么安全存放的不同方法种数为（d）a12b24c36d48解析设6种产品分别为a，b，c，d，e，f，画出图象如下图所示，根据题意，安全的分组方法有ab，cf，de，ab，cd，ef，ac，be,df，ac，b