第一讲比较与估算重点

1、第一讲比较与估算要求基本要求较咼要求竞赛要求1. 掌握分数大小比较的几种 常用方法。2. 会用放缩法求若干小数或 分数的和的整数部分。1. 冋基本要求。2. 灵活运用重要结论及“加 成分数”思想构造符合要 求的分数。1. 冋较咼要求。2. 会用分段放缩法求若干小 数或分数的和的整数部 分。知识点总结及相关例题。1. 分数大小比较的几种常见方法。通分丿通分母通分子若干分数的分子或分母之间若有倍数关系，宜用通分法。例：比较下列分数的大小。351530555719，37比倒数。倒数越小，原来分数越大与1比较法:假分数：减1比较差，差越大，原分 数越大真分数：减比较差，差越大，原 分数越小。注：有时我

2、们不一定和 1去比较，当若干个分数都统一接近某个数M时，我们就要和M去比较。3 79511例：比较下列分数的大小。，卫，丄，亠8 24 32 16 401 1解析：这些分数都接近于，可以和 去比较。4 4重要结论:假分数：分子与分母的:真分数：分子与分母的差same时，分子与分母的值越 大，分数的值越小。 差same时，分子与分母的值越 大，分数的值越大。注：要会灵活运用这两个结论，当分子与分母的差不一样时，可利用分数 的性质扩大或缩小这个差，使之变成一样。例：比较下列分数的大小。5 20291497 ， 23 ， 33 ， 161解析：分子分母的差分别为2，3, 4，12.可将前三个分数的分

3、子与分母分别乘以6，4，3,使之差都变为12再利用结论去比较。例：比较下列分数的大小3 疋 511319沃 217 9 15 17 23 253 5_35= 7 9 79解析：利用分子与分母的规律性，可将每个分数拆成分子与分母的差相同的两个分数相乘的形式再进行比较。11 13_11 13 19 21 _19 2115 17 15 17 23 25 23 252.因为:所以:3 11195 13 21 , 7 15 23 9 17253 5 11 13 19 21 ,则bcad:如果 ,则bc_,求a+b+c+d+e的最小值。（字母为不相同的整数）a b c d e解析：a越小，b, c, d,

4、 e则越小。a最小为2,所以b3a ,b最小为7; 3c5b,c最小为12; 5d7c,d最小17;小为 2+7+12+17+22=60.7e9d,e 最小为 22.则 a+b+c+d+e 最整体放缩:（最小项X项数） 和 （最大项X项数）例：已知：S=1，求S的整数部分。1 1 11+ + * +100 101 102109放缩法求整数部分。1111解析：设A=，S= ，A越大，S越小。100 101109A110 11贝 U：110=AS1010 A 1所以S的整数部分为10. 以中间项为标准放缩。有时我们进行整体放缩时会发现，不能将和置于两个连续整数之间，这是因为10 11 28解析：如

5、果进行整体放缩，19A 19 :A ：,则不能确定A的整数部分;2810我们先来比较一下11 1与1的大小：10281919我们放的太大的缘故，此时可以中间项为标准进行放缩。1 1 1例：求A=的整数部分10 28 1028102819 1919 1911因为 10 X 28,即10 2819 1919191 1 11 -+ 1028 191911111 111同理可知：+ + 11271919 12 2619191128 10 19 19一十=1111 1820 1919所以我们可以最中间的分数和最大分数为标准。共19个分数，最11919中间的分数为，A，贝U A的整数部分为1.191910

6、分段放缩有时我们以中间项为标准也不能将和置于两个整数之间，则要进行分段放缩。111例：求A=的整数部分。10 11302121解析：以中间项为标准放缩，A，则不能确定A的整数部分。20101 1 1 1 1 1 可将A分为两段，M= + N= +101119201130则:M d=1,1011 一20所以：A=M+NM =1 丄20 20 20所以：A的整数部分为1.第二讲曲线图形要求基本要求较咼要求竞赛要求1. 掌握圆、扇形的面积及周 长的求法。2. 掌握基本的曲线图形的求 法。3. 会用割补，平移法求简单 曲线图形的面积。1. 冋基本要求。2. 会用等级变形及借来还去 的思想解决较复杂的曲

7、线 图形。1. 冋较咼要求。2. 会对复杂图形进行简答化 处理。知识点及相关例题。1. 圆，扇形2 2圆的面积=n r扇形的面积=n r圆的周长=2 n r = n d扇形的周长=2 n r X扇形的弧长=2n r X2.与圆相关的基本图形弓形：弓形面积=扇形面积-三角形面积注：在曲线形图形里，用到三角形面积时，经常会遇到 等腰直角三角形。要会利用等腰直角三角形的特殊性。 等腰直角三角形的面积 =直角边的的平方十2=斜边的平方十4X360+2r3603603CA弯角：弯角的面积=正方形的面积-扇形 谷子：谷子的面积=弓形面积x 23.几种常见图形的的切割，平移，旋转利用12第三讲质数与合数要求

8、基本要求较咼要求竞赛要求4. 会判断一个较大整数是否 是质数。掌握2的特殊性。5. 会拆分整数，求最大乘积。6. 会构造连续合数。3. 冋基本要求。4. 会利用完全平方数有奇数 个约数的性质。5. 掌握在不同条件下整数的 分拆方法。3. 冋较咼要求。4. 会求有固数量个约数的整 数。知识点及相关例题1. 2是唯一的偶质数。2 2 2 2例：已知m n均为质数，且3m +5门=167，求m + n的值。2 2解析：167为奇数，只有偶数+奇数=奇数，所以3m 和5门一个为偶数， 一个为奇数。因为 m.n均为质数，所以其中有一个是2。假设m=2,2 2 25门=167-3 X 4=155, n =

9、31,不符题意。假设 n=2, 3口 =167-52 2 2X 4=147, m =49, m=7. m n =49+4=53.2. 构造n个连续合数。法一：令 m= 2,3,4,n , (n+1)贝V m+2 m+3，m+n m+n+1为n个连续合数。法二：令 m=2100,当我们把 100 拆成从 2加到13时不够100 ,再加上14又大于100时，我们要把100-90=10平均分配给最后10个数，即:把100拆成2 , 3 ,5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14.所以最大乘积=2X 3 X 5X 6 X 7 X 8X 9X 10X 11 X

10、 12X 13X 14. 当分拆个数有限制时。各个整数要尽可能接近。4. 完全平方数有奇数个约数，质数的完全平方数有3个约数。例：屋里有200盏亮着的灯，把这些灯按1200的顺序编号。有 200名小朋友也按1200的顺序编号，然后这些小朋友依次进入房间，每个小朋友 都把编号是自己编号倍数的灯的灯绳拉一下，然后走出房间。所有小朋友 都出来后，问：房间里还有多少盏灯市亮着的？解析：每一盏灯都至少被拉了一次，只有被拉了偶数次的灯最后还是亮着的，也就是说被拉了奇数次的灯是熄灭的。什么样的灯被拉了奇数2次呢？只有编号是完全平方数的灯被拉了奇数次。14 =196,也就是说200之内有14个数是完全平方数。

11、 200-14=186.最后还有186 盏灯是亮着的。第四讲余数问题基本要求较咼要求竞赛要求1. 掌握被除数、除数、商、 余数之间的关系。2. 会利用同余性质求除数。3. 会利用冋余性质求较大数 的余数。1. 冋基本要求。2. 会构造同余。1. 冋较咼要求。2. 会利用余数性质求 m的最后两位数字。注：本讲尖子班学案2题目有误。有些老师可能按照例 3的方法进行讲解求出答案为8465。本题讲解思路没有问题，但题目有问题。在所剩余的5个数中，不可能找出三个数的和是另外两个数的和的 8倍。所以此题不可能实现， 无正确 答案。在此更正。附学案2:六张卡片上分别标上 2357、2367、2127、343

12、5、2485、8465 六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲乙各自手中 卡片上的数之和一个人是另一个人的8倍，则丙手中卡片上的数是多少？知识点及相关例题1.余数的性质 如果 2 B=CD,则 A=BX C+D,B=(A-D) - C,D=A-BX C例：在除法算式 A B=CD中，C为11, D为14, A+B+C+D=219,A是多 少？解析：A=BX C+D=11B+14所以 A+B+C+D=11B+14+B+11 + 14=21912B=219-11-2 X 14=180B=15小结：除数=（被除数+除数+商+余数）-（商-2 X余数）+（商+1） A与B的和(积)除以C的余

13、数等于A和B分别除以C所得余数之和(积)。 (当这个和或积大于除数C时，要用这个和或积再去除以C).,20092008例：求(53)除以26的余数。解析：当我们求一个形如 an这样数除以b所得的余数时，我们要尽量先找到一个数 m满足am除以b余0或者余1,这样再利用余4数的性质就好解决了。5 =625, 625除以26余1, 2009=4 X2009502+1贝5 除以26的余数就等于1 1 ； 心.1 X 5除以26 502个 13所得的余数，即为5; 3 =27, 27除以26余1 , 2008=3 X 669+1 ,20083 除以26的余数就等于1 11 X 3除以26所得的余数，66

14、9个 1r ,20092008即为3.( 53)除以26的余数就等于5+3,即为8.2. 同余性质。 如果两个数a和b除以m所得的余数相同，我们就称a和b关于模m同余。记为：a= b (mod m) 如果a= b (mod m),则a与b的差定能被 m整除。反之亦然。例：一个大于1的整数A,除231 , 346, 93得到的余数相同，则 A等于多 少？解析：因为：231 三346三 93 (mod A) , 346-231=115 , 231-93=138所以93, 138均能被A整除，即：A是115和138的公约数。 两个数的公约数是这两个数的最大公约数的约数。(115, 138)=23,2

15、3为质数，它的约数只有 1和23,所以A=23.例：(不同余构造同余)一个整数A,除131 , 107, 200所得余数分别为 m2m+1 , 3m+2 A 为多少？解析：这三个数不同余，我们要先构造同余。构造同余时要掌握技巧，尽量把数往小变。107除以A余2m+1 , (107-1 )- 2=53 ,则53除以A 余 m 200 除以 A 余 3m+2, (200-2 )- 3=66,贝U 66 除以 A 余 m 有：131 三 53三 66 ( modA) , 131-66=65 , 66-53=13 , (65 , 13) =13 ,A是13的约数，A不可能是1,只能是13.注意：当所求

16、的最大公约数不是质数，即不止一个非1的约数时，我们要把这些约数一一加以验证，求得满足条件的A。 任意n+1个整数中，根据抽屉原理。可知至少能找到两个数关于模n同余。例：任意给定6个数，一定找到两个数除以5所得余数相同。第五讲分数计算的特殊方法.要求基本要求较咼要求竞赛要求1. 掌握基本的裂差裂和公 式。2. 熟练运用换元法。3. 了解通项归纳法。1. 冋基本要求。2. 会在不同条件下综合利用 裂差裂和公式进行计算。3. 会利用通项归纳法进行归 纳，达到裂项要求。1. 冋较咼要求。2. 对符合裂项条件的分数运 算，能熟练进行心算。3. 能熟练运用通项归纳法对 复杂分数求得通项公式。知识点及相关例

17、题差a -b 11=a b b a2 3456例：求 亠 亠亠亠的值。1x3 36 600 1005 15汉213 -1-310 _615-1021 -151 33 66 1010 1515 21111 111111 1=+ _+ + _ 133 6610101515212021111n (n 1)nn 11111 、=(-一)n (n k) k n n kmn (n k)29292929例：求的值。1江5 5江9 9314145解：这里k=4， m=9.2911丄11丄丄11丄11、原式=()41559137141141145=?9(1 一丄)4114529144=4 145_3652.mn

18、 (n k) (n 2k)m 12k n (n k)1(n k) (n - 2k)裂和a b 11abbama nb m na 汉 b b a1115134643例：计算+ _ + + 3 576214563解析：对于多个分数的加减计算， 我们一般会采取裂项的方法。裂差的目的一般是为了抵消某些项， 裂和的目的有时是为了抵消，有时是为了创造同分母分数，进而凑整。这就要求我们学会观察每个分数的分子与分母的关联。很明显，前四个分数不可能裂项， 后面的分数也很难实现裂差， 如果用 裂和的方法，因为全是加号，也就不存在抵消的可能。 所以很可能要创 造同分母分数，进而凑整。1232 372 5 4 94

19、9772 33 75 97 9(1)(丄1丄)(!$(!22233355777413.换元法换元法的宗旨就是把某些很复杂或者总是反复出现的数或者整体用一个字母来代 替，进而达到简化书写和简化计算的目的。4.通项归纳法通项归纳法就是把“形似”的复杂算式，用字母来表示出其中的规律性，然后进行简 化进而得到常见的，利于我们计算的一般形式。例：计算111丄_234991 11 111 1 1 1 1 (1 )(1 ) (1 )(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )2232342399解析：用通项归纳法进行归纳时，要先观察每一项分析分子与分母的规律，进而用含有字母(我们通常用n)的式子来表达每一项

20、。这个复杂的算式共包括198项，先观察分子，每一项的分子都等于，则项数+1项的分子=再分析分母，第 n 项的分母1 111345=(1)(1 ) (1 )(1 )=2 3n n 1234n 1n 12n+2=n+21则第n项=丄n +222(n 1)(n 2)原式=2(1 1)(1 2)2(2 1)(2 2)(97 1)(972) (98 1)(98 2)2 2 2 2+ + +一2 3 3 498 99 99 10049110050第六讲进制与位值.要求基本要求较咼要求竞赛要求1. 掌握整数在不同进制之间 的转换。2. 掌握n进制数的凑整。3. 掌握三个不同数字所组成的六个三位数的和的求 法

21、。1. 冋基本要求。2. 会利用分拆法转换十进制 数。3. 掌握小数在十进制与二进 制之间的转换。1. 冋较咼要求。2. 掌握N个不同数字所组成 的pN个N位数的和的求 法。3. 已知三个数字所组成的6个三位数中5个的和，会 求另一个三位数。知识点及相关例题1. n进制数每一位的位值对n进制数amam4a2aoa。7。x 11a1 ? a1 na2 a2 n?m _1ami ami nmam J am n2.十进制数与n进制数之间的互换。n进制整数转换成十进制：amamiazaa。 ( n)1=ao + ai n +2a2 nmm+ amn +am n十进制整数转换成 n进制数 除n倒取余数法

22、。 十进制小数转换成 n进制小数都可以采用“ 乘n正取整数法” .一直乘到小数部分为o止。例如：把十进制数 0.6224转换成5进制数。0.6224X 5=3.11230.112 X 5=0.5600.56 X 5=2.820.8 X 5=4.04(0.6224)卄(0.3024)5 N进制小数如何转换成十进制小数对于一个N进制小数，我们只要把小数点右边的每一位数字所对应的位值相加 即可。例：把(0.211)5转换成十进制小数(0.231)5=2 1 31251125=0.4+0.12+0.008=0.528例：把(0.1011) 2转换成十进制小数(0.1011)2=1 i 01 1 811

23、=0.5+0.125+0.0625=0.687516 m进制与n进制之间的转换非十进制数转换成另一种非十进制数，我们通常以十进制为桥梁。3. n进制数的混合运算在做一道n进制的混合运算题时，我们可以把所有的数都转换成我们熟悉的十进 制数后再计算，求出结果后再转换回n进制数，但这样通常比较麻烦，比较耽误时间。实际上我们可以直接利用n进制计算，只不过需要注意的是，借位时，借“1”当“ n”，进位时，满“ n”进“ 1 ”。凑整时，凑“ n”而非凑“十”。4. 反序数的性质两个互为反序数的数，这两个数如果有奇数位，则这两个数的差是99的倍数；如果两个数如果有偶数位，则这两个数的差是9的倍数。例：12

24、34和4321互为反序数，且为四位数，则4321-1234=3087是9的倍数。123456789 和 987654321 互为反序数，且为 9 位数，则 987654321-123456789=864197532 是 99 的倍数。5. 利用位值原理和排列知识解决问题。例：有三个数字能组成 6个不同的三位数，这 6个三位数的和是 4440,求所有这 样的6个三位数中最小的三位数。解析：三个数字能组成6个三位数，则这三个数字一定是3个非0的不同数字。假设这三个数字分别为a、b、c，则a、b、c分别在百位、十位、个位出现了 2次，所以这六个三位数的和为( a+b+c)x 222.(a+b+c)x

25、 222=4440, (a+b+c) =20,要想组成的三位数最小，则百位越 小越好，但百位不能为1, 20-仁19 , 19不能拆成两个不相同的一位数之和； 百位也不能为2, 20-2=18 , 18也不能拆成两个不相同的一位数之和；百位最小为3,十位最小为8，个位为9,最小的三位数是 389.由此题可以引导学生掌握四个、五个、六个不同的且不含0的数字可分别组成少个不含重复数字的四位数、五位数、六位数，这些数的总和是多少？。四个数字：共可组成 A： =24个四位数，每个数字分别在千位、百位、十位、个位个出现6次，所以这24个四位数的和=(a+b+c+d)x 6000+ (a+b+c+d)x 600+ (a+b+c+d) x 60+ (a+b+c+d)x 6= (a+b+c+d)x 6666.5五个数字：共可组成a5 =120个五位数，每个数字分别在万位、千位、百位、十位、个位个出现24次，所以这120个五位数的和=(a+b+c+d+