2016年四川省成都市高考数学三诊试卷(理科)(详细解析)

1、;2016年四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知田径队有男运动员56人，女运动员42人，若按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出14人参加比赛，则抽到女运动员的人数为（）A2B4C6D82命题“x（1，+），ln（x+1）x”的否定是（）Ax（1，+），ln（x+1）xBx0（1，+），ln（x0+1）x0Cx（1，+），ln（x+1）xDx0（1，+），ln（x0+1）x03已知复数z=i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A3BC2D14已知，是空间中两个不同的平面，m为平

2、面内的一条直线，则“”是“m”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5已知向量，满足=2， =3，则在方向上的投影为（）ABCD6某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品需用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过8h若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为（）A24万元B22万元C18万元D16万元7执行如图所示的程序框图，若依次输入m=，n=0.62，p=，则输出的结果为（）ABC0.

3、62D8某学校食堂旱餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为（）A144B132C96D489定义在（1，+）上的函数f（x）同时满足：对任意的x（1，+）恒有f（3x）=3f（x）成立；当x（1，3时，f（x）=3x记函数g（x）=f（x）k（x1），若函数g（x）恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（）A（2，3）B2，3）CD10已知O为坐标原点，双曲线C：=1（a0，b0）的左焦点为F（c，0）（c0），以OF为直

4、径的圆交双曲线C的渐近线于A，B，O三点，且（+）=0，若关于x的方程ax2+bxc=0的两个实数根分别为x1和x2，则以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是（）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等腰直角三角形二、填空题：（大题共5小题，每小题5分，共25分.11计算：sin65cos35sin25sin35=12一块边长为8cm的正方形铁板按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足为底面中心的四棱锥）形容器，O为底面ABCD的中心，则侧棱SC与底面ABCD所成角的余弦值为13已知椭圆C： +=1（0n16

5、）的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为10，则n的值为14若直线2ax+by1=0（a1，b0）经过曲线y=cosx+1（0x1）的对称中心，则+的最小值为15函数f（x）=（a0，b0），因其图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，我们把函数f（x）的图象与y轴的交点关于原点的对称点称为函数f（x）的“囧点”，以函数f（x）的“囧点”为圆心，与函数f（x）的图象有公共点的圆，皆称函数f（x）的“囧圆”，则当a=b=1时，有下列命题：对任意x（0，+），都有f（x）成立；存在x0（，），使f（x0）tanx0成立；函数f（x）的“囧

6、点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是；函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2其中的正确命题有（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知函数f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A满足f（A）=1+，若a=3，sinB=2sinC，求b的值17如图，在三棱台DEFABC中，已知底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，FC底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点（1）求证：平面ABED平面G

7、HF；（2）若BC=CF=AB=1，求二面角ADEF的余弦值18某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如表：语言表达能力人数逻辑思维能力一般良好优秀一般221良好4m1优秀13n由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为（1）从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；（2）从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列及其均值19已知数列an的前n

8、项和为Sn，且3Sn+an3=0，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn满足bn=，求Tn=，求使Tn成立的n的最小值20已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E设线段AB，DE的中点分别为P，Q求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；求|PQ|的最小值21已知函数f（x）=ex，其中e=2.71828为自然对数的底数（1）设函数g（x）=（x2+ax2a3）f（x），aR试讨论函数g（x）的单调性；（2）设函数

9、h（x）=f（x）mx2x，mR，若对任意，且x1x2都有x2h（x1）x1h（x2）x1x2（x2x1）成立，求实数m的取值范围2016年四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知田径队有男运动员56人，女运动员42人，若按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出14人参加比赛，则抽到女运动员的人数为（）A2B4C6D8【考点】分层抽样方法【分析】先求出每个个体被抽到的概率，再用女运动员的人数乘以此概率，即得所求【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，则样本中女运动员

10、的人数为 42=6故选：C2命题“x（1，+），ln（x+1）x”的否定是（）Ax（1，+），ln（x+1）xBx0（1，+），ln（x0+1）x0Cx（1，+），ln（x+1）xDx0（1，+），ln（x0+1）x0【考点】命题的否定【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论【解答】解：全称命题的否定是特称命题，命题“x（1，+），ln（x+1）x”的否定是：“x0（1，+），ln（x0+1）x0”，故选：D3已知复数z=i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A3BC2D1【考点】复数求模【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的公式得答案【解答】解：z=i=，|z|=故

11、选：A4已知，是空间中两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面内的一条直线，且m，则，反之，时，若m平行于和的交线，则m，所以不一定能得到m，所以“”是“m”的必要不充分条件故选B5已知向量，满足=2， =3，则在方向上的投影为（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可【解答】解：|=2， （）=3，=22=3，=1，向量

12、在方向上的投影为=故选：C6某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品需用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过8h若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为（）A24万元B22万元C18万元D16万元【考点】简单线性规划【分析】根据条件建立不等式组即线性目标函数，利用图象可求该厂的日利润最大值【解答】解：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，工厂获得的利润为z又已知条件可得二元一次不等式组：目标函数为z=3x+4y，由，可得

13、，利用线性规划可得x=6，y=1时，此时该厂的日利润最大为z=36+4=22万元，故选：B7执行如图所示的程序框图，若依次输入m=，n=0.62，p=，则输出的结果为（）ABC0.62D【考点】程序框图【分析】模拟执行程序，可得该流程图的作用是求出m、n、p中的最小数，化简比较三个数即可得解【解答】解：根据题意，该流程图的作用是求出m、n、p中的最小数，并将此最小的数用变量x表示并输出，由于，m=，n=0.62=，p=，可得，即：nmp故选：A8某学校食堂旱餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择已知包子数量不足仅够

14、一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为（）A144B132C96D48【考点】计数原理的应用【分析】分类讨论：甲选花卷，则有2人选同一种主食，剩下2人选其余主食；甲不选花卷，其余4人中1人选花卷，方法为4种，甲包子或面条，方法为2种，其余3人，有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，或没有人选甲选的主食，相加后得到结果【解答】解：分类讨论：甲选花卷，则有2人选同一种主食，方法为C42C31=18，剩下2人选其余主食，方法为A22=2，共有方法182=36种；甲不选花卷，其余4人中1人选花卷，方法为4种，甲包子或面条，方法为2种，其余3人，若有1人选甲选的主

15、食，剩下2人选其余主食，方法为3A22=6；若没有人选甲选的主食，方法为C32A22=6，共有42（6+6）=96种，故共有36+96=132种，故选：B9定义在（1，+）上的函数f（x）同时满足：对任意的x（1，+）恒有f（3x）=3f（x）成立；当x（1，3时，f（x）=3x记函数g（x）=f（x）k（x1），若函数g（x）恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（）A（2，3）B2，3）CD【考点】函数零点的判定定理【分析】根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=3m+1x，x（3m，3m+1，在直角坐标系中画出f（x）的图象和直线y=k（x1），根据函数的图象、题意、斜率公式求出实数k

16、的范围【解答】解：因为对任意的x（1，+）恒有f（3x）=3f（x）成立，所以f（t）=3f（），取x（3m，3m+1，则（1，3，因为当x（1，3时，f（x）=3x，所以f（）=3，则f（x）=3mf（）=3m+1x，且y=k（x1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，在直角坐标系中画出f（x）的图象和直线y=k（x1）：因为函数g（x）=f（x）k（x1），且函数g（x）恰好有两个零点，所以f（x）的图象和直线y=k（x1）恰好由两个交点，由图得，直线y=k（x1）处在两条红线之间，且过（3，6）的直线取不到，因，所以k的范围是，3），故选：D10已知O为坐标原点，双曲线C：=1（a0，b

17、0）的左焦点为F（c，0）（c0），以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A，B，O三点，且（+）=0，若关于x的方程ax2+bxc=0的两个实数根分别为x1和x2，则以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是（）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等腰直角三角形【考点】双曲线的简单性质【分析】运用向量的加减运算和数量积的性质可得|AF|=|AO|，AOF为等腰直角三角形，求得渐近线的斜率，进而得到c=a，方程ax2+bxc=0即为x2+x=0，求得两根，求得平方，运用余弦定理，即可判断三角形的形状【解答】解：由（+）=0，可得（+）（）=0，即有22=0，即|AF|=|AO|，AOF为等

18、腰直角三角形，可得AOF=45，由渐近线方程y=x，可得=1，c=a，则关于x的方程ax2+bxc=0即为x2+x=0，即有x1x2=，x1+x2=1，即有x12+x22=1+24，可得以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是钝角三角形故选：A二、填空题：（大题共5小题，每小题5分，共25分.11计算：sin65cos35sin25sin35=【考点】两角和与差的正弦函数【分析】由条件利用诱导公式、两角而和的余弦公式，求得所给式子的值【解答】解：sin65cos35sin25sin35=cos25cos35sin25sin35=cos（25+35）=cos60=，故答案为：12一块边长为

19、8cm的正方形铁板按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足为底面中心的四棱锥）形容器，O为底面ABCD的中心，则侧棱SC与底面ABCD所成角的余弦值为【考点】直线与平面所成的角【分析】连接OC，则SCO为侧棱SC与底面ABCD所成角，根据图1可知棱锥底面边长为6，斜高为4，从而棱锥的侧棱长为5于是cosSCO=【解答】解：由图1可知四棱锥的底面边长为6，斜高为4棱锥的侧棱长为5连接OC，SO平面ABCD，SCO为侧棱SC与底面ABCD所成的角AB=BC=6，OC=AC=3cosSCO=故答案为：13已知椭圆C： +=

20、1（0n16）的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为10，则n的值为12【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|=16|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值，代入|BF2|+|AF2|=16|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于10，列式求n的值【解答】解：由0n16可知，焦点在x轴上，由过F1的直线l交椭圆于A，B两点，由椭圆的定义可得|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=16

21、，即有|BF2|+|AF2|=16|AB|当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|=，即为10=16，解得n=12故答案为：1214若直线2ax+by1=0（a1，b0）经过曲线y=cosx+1（0x1）的对称中心，则+的最小值为【考点】基本不等式【分析】曲线y=cosx+1（0x1）的对称中心为，可得：a+b=1（a1，b0）再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：曲线y=cosx+1（0x1）的对称中心为，+b1=0，化为：a+b=1（a1，b0）+=（a+1+b）=，当且仅当a=23，b=42时取等号故答案为：15函数f（x）=（a0，b0）

22、，因其图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，我们把函数f（x）的图象与y轴的交点关于原点的对称点称为函数f（x）的“囧点”，以函数f（x）的“囧点”为圆心，与函数f（x）的图象有公共点的圆，皆称函数f（x）的“囧圆”，则当a=b=1时，有下列命题：对任意x（0，+），都有f（x）成立；存在x0（，），使f（x0）tanx0成立；函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是；函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2其中的正确命题有（写出所有正确命题的序号）【考点】函数的图象【分析】利用特殊值法，研究函数的值域，单调性，和零点问题，以及导数的几何意义，利用数形结合的方法

23、进行判断【解答】解：当a=1，b=1时，函数f（x）=，当x=时，f（）=2， =2，故f（x）不成立，故不正确；当x0=时，f（）=0，tan=1，故存在x0（，），使f（x0）tanx0成立，故正确；则函数f（x）=与y轴交于（0，1）点，则“囧点”坐标为（0，1），设y=lnx，则y=，设切点为（x0，lnx0），切线的斜率k=，当“囧点”与切点的连线垂直切线时，距离最短，=1，解得x0=1，切点坐标为（1，0），故函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是=，故正确，令“囧圆”的标准方程为x2+（y1）2=r2，令“囧圆”与f（x）=图象的左右两支相切，则切点坐标为（

24、，）、（，）、此时r=；令“囧圆”与f（x）=图象的下支相切则切点坐标为（0，1）此时r=2，故函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2，故正确，综上所述：其中的正确命题有，故答案为：三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知函数f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A满足f（A）=1+，若a=3，sinB=2sinC，求b的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理【分析】（1）由诱导公式与辅助角公式得到f（x）的解析式，由此得

25、到单调增区间（2）由f（A）=1+，得A=，由恒等式得到B=，所以得到b【解答】解：（1）f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+=sin2x+sin（2x+）+=2sin（2x+）+，由+2k2x+2k+，得：+kxk+，（kZ），函数f（x）的单调递增区间是+k，k+，（kZ）（2）f（A）=1+，A=，sinB=2sinC=2sin（B），cosB=0，即B=，由正弦定理得： =，b=17如图，在三棱台DEFABC中，已知底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，FC底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点（1）求证：平面ABED平面GHF；（2）若BC=CF=A

26、B=1，求二面角ADEF的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面平行的判定【分析】（1）推导出四边形BHFE是平行四边形，从而BEHF，从而平面GHF，BE平面GHF，由此能证明平面ABED平面GHF（2）以C为原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角ADEF的余弦值【解答】证明：（1）由已知得三棱台DEFABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点，ABGH，EFBH，EF=BH，四边形BHFE是平行四边形，BEHF，AB平面GHF，HF平面GHF，AB平面GHF，BE平面GHF，又ABBE=B，AB，BE平面ABE

27、D，平面ABED平面GHF解：（2）由已知，底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，即ACBC，又FC底面ABC，以C为原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，取AB=2，由BC=CF=，得BC=CF=1，AC=，则A（），C（0，0，0），B（0，1，0），F（0，0，1），E（0，1），D（，0，1），平面DEF的一个法向量=（0，0，1），设平面ABED的法向量=（x，y，z）， =（，），由，取x=2，得=（2，2），cos=，由图形得二面角ADEF的平面角是钝角，二面角ADEF的余弦值为18某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进

28、行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如表：语言表达能力人数逻辑思维能力一般良好优秀一般221良好4m1优秀13n由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为（1）从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；（2）从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列及其均值【考点】离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（1）语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有（6+n）名，由

29、题意得，从而n=2，m=4，由此利用对立事件概率计算公式能求出从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑能力优秀的学生（）随机变量X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及E（X）【解答】解：（1）用A表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有（6+n）名，P（A）=，解得n=2，m=4，用B表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑能力优秀的学生”，P（B）=1=（）随机变量X的可能取值为0，1，2，20名学生中，

30、语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有名，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，X的分布列为： X 0 1 2 PE（X）=19已知数列an的前n项和为Sn，且3Sn+an3=0，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn满足bn=，求Tn=，求使Tn成立的n的最小值【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）通过3Sn+an3=0与3Sn1+an13=0作差，进而可知数列an是首项为、公比为的等比数列，利用公式计算即得结论；（2）通过（1）及3Sn+an3=0计算可知bn=n1，裂项可知=，进而并项相加即得结论【解答】解：（1）3Sn+an3=0，当n=1时，3S

31、1+a13=0，即a1=，又当n2时，3Sn1+an13=0，3an+anan1=0，即an=an1，数列an是首项为、公比为的等比数列，故其通项公式an=3；（2）由（1）可知，1Sn+1=an+1=，bn=n1，=，Tn=+=，由Tn可知，化简得：，解得：n2016，故满足条件的n的最小值为201620已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E设线段AB，DE的中点分别为P，Q求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；求|P

32、Q|的最小值【考点】轨迹方程【分析】（1）利用一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，建立方程，即可求曲线C的方程；（2）设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线l1的方程为y=k（x1）（k0），与抛物线方程联立，利用韦达定理可求点P，Q的坐标，进而可确定直线PQ的方程，即可得到结论由|PQ|2=（2k）2+（2k+）2=4（k2+）2+（k2+）2，换元利用基本不等式求|PQ|的最小值【解答】解：（1）设圆心C（x，y），则x2+4=（x2）2+y2，化简得y2=4x，动圆圆心的轨迹的方程为y2=4x（2）设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由题意可设直线l1的方程为y=k（x1）（k0），与y2=4x联立得k2x2（2k2+4）x+k2=0=（2k2+4）24k4=16k2+160，x1+x2=2+，y1+y2=k（x1+x22）=所以点P的坐标为（1+，）由题知，直线l2的斜率为，同理可得点Q的坐标为（1+2k2，2k）当k1时，有1+1+2k2，此