圆与直线关系

1、單元名稱 教學資源第三冊 4-2 圓與直線的關係教學時數 5 節高中數學課本 （南一書局 ）、粉筆、黑板教學目標1.2.能了解求圓與直線的交點 就是解圓與直線的聯立方程組 ，這是同一回事。 能掌握圓與直線的三種位置關係：（1）（2）（3）相交於兩點 相切一點 不相交（分離）0（或 dr）3.4.5.能求出直線被圓所截的弦長。 能瞭解切線的定義及切線的幾何性質（切線垂直過切點的半徑） 會求切線的方程式。教學活動、圓與直線的位置關係1. 同學想想看 ，如果給你一個圓跟一條直線 ，它們之 間相交情況可能有幾種？又是哪幾種？圓與直線的三種位置關係：L：稱為圓 C 的割線LL：稱為圓 C 的切線 相交點

2、稱為切點L學生活動注意事項2.想想看，你如何分辨一個圓跟一條直線相交的情況 是哪一種？學生回答：看圓心跟 直線的距離。學生回答：三種。相 交兩點、相交一點、 不相交。教 學教學活動學生活動注意事項由圓心跟直線的距離 d 來判別：() 相交於兩點 ? d ( C，L ) r()學生回答：解方 程式。學生回答：方程 式的解代表圓 C 跟直線的交點。3. 問：若圓 C 的方程式為 x2 y2 dx ey f 0 ，直 線 L 的方程式為 L:ax by c 0 ，除了利用圓心到 直線的距離，還有沒有其他方式可以判斷圓 C 和直 線 L 的關係？ 問：如何用方程式？22聯立求解來判斷利用方程組 x2

3、y2 dx ey f 0ax by c 0相交狀況：( )有相異兩實數解 ?相交於兩點 ( )有相等兩實根 ?相切於一點。( )沒有實數解 ?沒有交點。4. 可將判斷方法整理相交 兩點相切 一點沒有 交點圓心C與直線 L的距離d(C,L)r方程組的解x2 y2 dx ey f 0ax by c 0有相異 兩實數 解有相等 兩實數 解沒有實數解教學流程教學活動學生活動注意事項【例】討論直線 L: y x k 與圓 C:x2 y2 1相交的情 況。解一 利用圓心 C(0，0)到直線 L 的距離d(C,L) 12k 12 k212 12 2 ()d(C，L)r ?沒有交點。d(C,L) k 1 k

4、2 k2或 k0?相交於兩點。4(2 k2 )02 k 2( )有相等兩實根 ?相切於一點。4(2 k )=0 k 2( )沒有實數解 ?沒有交點。4(2 k2 )0 k 2 或 k- 2流 學教學活動 學生活動 注意事項、 直線被圓截出的弦長1. 如果圓和直線 L相交於兩點 A、B，則 AB為圓 C 的一弦，我們來看看，如何求出直線 L 被圓 C 所 截弦 AB 的長度。22例】直線 L：y2x +1與圓 C：x2 y2 3，直線 L被 圓 C 所截弦長。sol設兩點為 A、B，M 為弦 AB 的中點，則 OM d2 0 0 1 155三、 切線的定義及切線的幾何性質1. 圓 C直線 L如果

5、切於一點 P，將 P點稱為切點， 直線 L 稱為圓 C 的切線，我們給圓的切線一個新 的定義。切線的定義設 L 是圓的一條割線，與圓 交於 P、Q 兩點，今固定 P點， 而讓另一個交點 Q沿著 Q經過 Q1、 Q2逐漸趨近 P，當點與點重合時，割線 L 的最後位置 L0 叫 做圓的切線， P 點稱作切點。P 都在圓P 上，其餘切線OP PQ OP PQ 0 (x1 h, y1 k)(x x1, y y1) 0 (x1 h)(x x1) (y1 k)(y y1) 0f0學生回答：垂直2. 仔細觀察一下，切點 P跟圓心 O的連線OP跟切線L 有什麼關係？OP跟切線 L 真的垂直嗎？如何來證明這件事

6、呢？切線的性質圓心與切點的連線必垂直於切線。證明】使用反證法設 QP 與並不垂直，自圓心 Q 作切線 L 的垂線，垂足設為 P，則QP QP 。另一方面，切線上除了切點上的點 Q 都在圓外部，因此 QP QP r由於QP QP QP 產生矛盾，故 QP L切線的求法3. 切線的求法可分為三類： ()通過所給予的切點，求切線。 ()已知切線的斜率，求切線。()通過圓外的一給予點，求切線。()通過所給予的切點，求切線。 過切點的切線公式設 P( x1 , y1)為圓 C 上的一個給予點，則過切點 P，圓 C： (x h)2 (y k)2 r 2的切線方程式為 2(x1 h)(x h) (y1 k)

7、(y k) r2過切點 P，圓 C： x2 y2 dx ey f 0 的切線方程式為x1x y1y d x12 x e y12 y證明】教學活動學生活動注意事項22x1x hx hx1 y1y ky ky1 x1 y12 0 因為 P點在圓上，所以 (x1 h)2 (y1 k)2 r22 2 2 2 2 展開得x1 y1 r2 2hx1 2ky1 h2 k2 .將式代入式得2x1x hx hx1 y1y ky ky1 (r 2hx1 2ky122x1x hx hx1 y1y ky ky1 h k 0 (x1 h)(x h) (y1 k)(y k) 0h2 k 2) 0【例】已知點 B( 2，

8、7)在圓 x2 y2 2x 6y 150上，試求過 B 點的切線方程式。sol解一直接代入公式 x1x y1y d x1 x e y1 y22f0解出 3x 4y 34 0解二將 x2 y2 2x 6y 15 0 化成標準式 22(x 1)2 (y 3)2 25圓心( -1，3)，切點( 2，7) 設 Q(x， y)為切線上一點，則QOP PQ OP PQ 0 O(3, 4)( x 2,y 7) 0P3(x 2) 4(y 7) 0P(x，y)()已知切線的斜率，求切線。斜率已知的切線方程式 圓 C：x2 y2 r 2的切線斜率為 m，則切線方程式為y mx r 1 m2 圓 C：(x h)2

9、(y k)2 r 2的切線斜率為m，則切線方程式為y k m(x h) r 1 m2【證明】圓 C：x2 y2 r 2的切線斜率為 m， 則可假設切線方程式為 y mx k .()教學流程流學教 教學活動學生活動注意事項將()式代入圓的方程式 x2 y2 r 2得x2 (mx k)2 r 2展開得 (1 m2)x2 2kmx (k2 r 2) 0因為直線 L 與圓 C 相切，所以 02 2 2 2(2km)2 4(1 m2)(k2 r 2) 04r 2(1 m2) 4k2 0k r 1 m2因此可得切線方程式為 y mx r 1 m2 【例】試求斜率為-1 ，圓x2 y2 6x 4y 5 0

10、的切線方程 式。sol解一將圓 x2 y2 6x 4y 5 0 化成標準式 (x 3)2 (y 2)2 8代入公式得 y 2 (x 3) 8 1 ( 1)2解得 y x 1或 y x 9解二令 y x k 代入 x2 y2 6x 4y 5 0 得x2 ( x k)2 6x 4( x k) 5 0展開得 2x2 2(k 1)x (k2 4k 5) 04(k 1)2 4 2 (k2 4k 5)4(k 1)(k 9)L 與圓 C 相切0 k 1或 k 9因此切線方程式為 y= - x+1 或 y= - x+9解三設切線為 y x k，則 L與圓 C相切dr32k22k 1或 k 9因此切線方程式為 y= - x+1 或 y= - x+9 【隨堂練習】試求斜率為 -3，圓 x2 y2 4 的線方程式。學生立即練習。答 案： y 3x 2 10流學教 教學活動學生活動注意事項()通過圓外的一給予點，求切線。過圓外一點的切線方程式 求法：設切線斜率為 m，切線點斜式代入圓的方程 式，令判別式為 0，求 m。【註】一般 m 有兩解，一解(為重根情況)則表示一 條切線有斜率，另一條切線沒有斜率，則代表有 一鉛直線之切線，及過已知點 (x0,y0)之鉛直線 x x0 。【例】求圓 x2 y2 4x 4y 2 0 的切線，使過定點A(4，2) sol學生立即練習。 答案