高数历年考试题

1、2011 2012学年第一学期高等数学期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2012 年1月3日页号一二三四五六总分本页满分30181218157本页得分阅卷人注意事项：1.请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸;2.答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁;3 .本试卷共五道大题，满分100分；4.试卷本请勿撕开，否则作废；5 .本试卷正文共 6页。一、填空题（共5小题，每小题3分，共15 分）X2 -4y = 21. 函数x2 -3x +2的可去间断点是 A. x22. 曲线y T-e 的下凸区间是3 .设 f (ln x) = xln x,则 f（x）=C.4.: 11 kx*

2、1 2 2y y = x cos x5. 丫 x的通解是、选择题（共5小题，每小题3分，共15分）丨2 1f(x)=1.设函数,x sin , x 式 0 f（x）x).X =o，则f（x）在点x=o处（A.极限不存在；B.极限存在但不连续；C.连续但不可导；D.可导.2.已知x 0时,f (x) =3sin x - o3xcostdt与cxk是等价无穷小，则（).A . k = 1, c = 4 ；B. kc - -4 ；7C.k=3, c = 4 ； d. k = 3, c=-4.3.设f （x）连续,f(0)=0,f (0H2limWi)x )0x2).4.A. 2； B .：;C.函数

3、y =f （x）在x =1处有连续导数,A.拐点；B.极大值；C.f(x) limxj x -1极小值;=2，则x=1处取得（D.都不是.).-xxe )；x- x微分方程y -y =e飞 的特解形式为（A. a（ex e舟）；b. ax（ex2 , x ._x、c. x (ae be)；D. x(aex+be)三、计算题（共5小题，每小题6分，共30 分）it In tdtlim 01.求极限x0 ex -12.厂心严dy方程=t-arctant 确定y为x的函数，求dx及dx2 .d2ysin x -sin(sin x)sin x4x3.求极限戈叫4.求定积分1 .2 xarcsinx ,

4、 dx01-x25.设 f（x）=；3,四、应用题（共3小题,求 0 f(x)dx.共24分)1Xf (x) ln(1 e )x的渐近线-1. （本题6分）求曲线x2. （本题12分）设由曲线y二e与过点（he）的切线及y轴所围 平面图形为D.（1）.求D的面积A;（2）.求D绕y轴旋转一3. （本题6分）有半径为 设容器中已注满水,求将其全部抽出所做的功 最少应为多少？得旋转体的体积 V.半球形容器如图，R五、证明题（16分）1.（本题9分）设x 0，证明：1 xxln(1 x) ： x本页满分7分2.(本题7分)设函数f(x)在0,5上连续，在(0,5)内存在2f(x)dx=2f (3)

5、= f(4)+f(5)，证明：阶导数，且(1) 存在 0,3)，使 f( ) = f(3);(2) 存在：(0,5)，使 f)=.答案、填空题(共5小题，每小题r, A;73分，共计15分)1 .x=2 ;2.y = x(si n5.2二、填空题共(5小题，每小题x2 C)3.f(x)=xex-ex C ； 4.3分,1. ( D)； 2. ( C );3. ( C); 4.共计(C15分);5. ( D).三、计算题(本题共5小题，每小题6分,1tl ntdtcosxl叫x41.求极限x )0 ex -1 解：共 30 分)COSXlim原式x 01cosxtlntdt-cosxln(cos

6、x)(sin x)ln(cosx)4 = lim3lim2xx 04xx 10 4x4x3-sin xx 0 8x 8x 二 t t_U 2du01(t-u)dyd2y2.方程.y-arctant 确定y为x的函数，求dx及dx2。0 vt v2 (-dv)2 dv1 v01 v2，dt 1 t2 ， dx ，2 2d y 1 t”x =解：令t -u =v，则dx t dt 1 t2 ； d(业)=1 又 dt dx ，dx2 t sin x -sin(sin x)sin x3.求极限xm)x4sin xsin(sin x)sin x sinx sin(sin x) lim 4= lim解：

7、xQxxocosx(1cos(sin x)1 -cos(sin x) sin(sinx)cosx sin x 1=lim2lim2limlimx )03x2xQ3x2x )06xx 0 6x 6cosx cos(sin x)cos x =limx )03x23x23x26x2 xarcsinx ,2.dx4 .求积分解：法一:令 x 二 si nt则原式T：si nt.t066：一=-0 td cost = it cost 0 + f0 costdt = 一 si nt|012 1法二：12 xarcsin _j dX163125.设0 二 _t解:兀costdt cost12二 0tsint

8、dt0 costdt1arcsinxd U rcsinxd1 - x2f（o）=0, f （二）二ji求 0 f(x)dx : si nt0 dt, f (x)0 二 _tdx71 x0 f (x)dx 二 xf(x)二 si nt031 0 _3To xf (x)dx 二二sin兀-xsin xf (二)- 0xdx滾-x: -t二 sin x二(理一x)sin x ,0 x dx 二dx sin xdx 二 2.0 二-x 0四、应用题（共2小题，共计24分）f （x）二丄 ln（1 ex）求x的渐近线。：=x=0是曲线的垂直渐近线。1.(本题6分)解：顶f(xI I .im(x)=0.曲

9、线有水平渐近线y=。f(x) 1 In (1 ex),a = limlim 21又x_. x x：xx,1 1 +exln(1 ex)x二 lim ln( x ) = 0 eb 烛 f（x）-xy二x是曲线的一条斜渐近线。x2.（本题12分）设由曲线y=e与过点（1,e）的切线及y轴所围平面图形为do（1）.求D的面积A;（2）.求D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积 V o1 1|_ X解:( 1)，y xe过(1，e)的切线方程为y1 x_ e，；A = T (e _ex)dx _ 2 TXz1二 e_e = e(x_1)，即 y =exo(2)e=兀3e=兀31 2 e 2J/1 e-J(l

10、ny)dye e-二e 2二yin y d dy五、证明题(16分)2)dx x 二g 二(R2xx3)dx2D2兀(ln y) y1 + 江 L 2ln ydy=2二(1 -e)33. (本题6分)有半径为R的半球形容器如图，设容器中已注满水 ，求将其全 部抽出所做的功最少应为多少 ？2 2 2解：过球心的纵截面建立坐标系如图.则半圆方程为x y=R 0 取x为积分变量，x ln(1 x) ： x1. (本题9分)设x 0，证明：1 x.证明：设f(t) nt，则f(t)在(0,=)内连续，可导。对f(t)在1,x 1上应用xln (x +1) l n1 七Lagra nge中值定理，得。1

11、1x xx1xln(1 x) ： x(1) 存在(2) 存在.，使o证明：(1)；f(x)在0,5上连续，0, 20,3)，使 1Q-C1 十 X,1+x - ，即 1+X -，即 1+x。2f(3) = f(x)dx = f(T (2一0)，即附)(2) ： f(x)在4,5 0,5上连续，由最值定理知f(x)在4,5取到最大值M和mJ+心最小值m 一 2由连通性定理知4,5，使f( 1)f(4)f(5)2 ，即 f(冷)=f (3)因为f(x)在(0, 5)内存在二阶导数，满足罗尔定理的条件,所以( ,3)，使 f2)=0,夬3“3上)，使 f G)=0, 进而-(2, 3)(0, 5)使

12、 f)=020102011学年第一学期高等数学(2-1 )期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2011 年1月4日页号一二三四五六总分本页满分361212本页得分阅卷人121216注意事项：1请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2. 答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3. 本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废;4. 本试卷正文共6页。.填空题(共5小题，每小题4分，共计20 分)lim.已知 f (x) = -1,则 x 卩 f (x -2x) - f (x - x)1 sinxtan2 x 23 cos3x2.定积分3.函数Y =心的图形的拐点是(2

13、,2e)1 dx4.设 Jxf (x)dx = arcsinx+C,则f(x)31 2 2 (1 - x2)2 C3丿1-xdx 二1y = xln(e ) (x 0)5. 曲线x的渐近线方程为二.选择题(共4小题，每小题4分，共计16分)1.设f(x)为不恒等于零的奇函数, A.在x = 处左极限不存在 C.有跳跃间断点x = ；sin x2f(x)= sint dt,且f()存在，则函数B.在x - 处右极限不存在D.有可去间断点x = .g(x)4X ( D ).2. 设 A. C.3.等价无穷小；高阶无穷小；下列广义积分发散的是g(x)二 x x ,当 x、 时，f(x)是 g(x)的

14、(b ).同阶但非等价无穷小； 低阶无穷小.B.D. (A ).A.C.x dx 1 x25b 1a dx(b-x)3B.D.4.方程y： y =xcsx的待定特解的形式可设为y =( b ).A(ax+b)cosx ；b x(ax + b)cosx + x(cx + d)sinx ；三计算题(共8小题，每小题6分，共计48分)lim p( jn + J2n + + Vn2)1.求极限n n.心X-1解：若将区间0,1等分，则每个小区间长n，再将到每一项，从而可以将所求极限转化为定积分的表达式。于是lim y ( n -2n 亠 亠 n2)nn2-Iim-(.1 1n n中的一个因子n分配,有

15、、xdx0232.设 f (x)在0,二上连续，且 f (0) =2, f()=1,求P兀F兀F兀 FFpf(x) f (x)sinxdx = f(x)sinxdx f (x)sinxdx解:而f (x)sinxdx sinxdf (x)0 0f (x)sinxJI0 f (x)cosxdx一 0 cosxdf (x)=-f(x)cosxji兀n“o f (x) f (x)sinxdx.。- o f(x)sinxdxf(兀)(0)- f (x)sinxdx = 3- J。f(x)sinxdx.所以o f (x) f (x)sin xdx = 0 f ( x)sinxdx 3- f (x)sin

16、xdx 二 3.sinx3求微分方程y ycosx =(ln x)e 的通解.解：所给方程为一阶线性微分方程，且P(x)二cosx, Q(x) = (In x)e_sinx1分P (x )dxP (x )dxy = e Q(x)e dx C_. cosxdxsin V cosdx=e (In x)e e dx C=e*inx( In xdx C)-sin x z故原方程的通解为 =e (xlnx-xC).在3处取得极值，指出它是极大值还是f (x) =asin x + sin3x 4试确定a的值，使函数 极小值，并求出此极值.解 f (x)二 a c o x c o 3x二二 3 二 af (

17、)二a cos cos13332又 f (x) - -asinx-3sin3xf 丁。， f(3)3为极大值.5求由方程sin(xy) 3x - y二1所确定的隐函数的导数 解：两边对x求导得cos(xy)( y xy ) 3 - y = 0, 整理得 xcos(xy) y - y = 3 ycos(xy),3 + ycos(xy) y 所以 1-xcos(xy)lim(g)x6.已知x a-he c -a 4x e xdx，求常数a的值lim(心)xdx4x2d(-a x(1 ) x a解：左端= 右端=鈕 24x ea limx eax )：a x(1 -)xx2-2x=-2x e-be上

18、亠丨4xe xdxa2-2a=2a e-2xex-e_2x= 2a2e-(2a2 2a 1)ea-2a22a所以 e =(2a 2a 1)ea 二 0 或 a 二-1.7.设半径为R米的圆形薄板垂直地沉入水中，圆心距水面为 R米，水的比重为 ，求薄板一侧所受的水压力解：建立坐标系如图，1)取x为积分变量，(其中 =g表示水的比重).2)压力微元dP =x -R,R:ghdA=g(R x)2. R2 -x2dx0-2分或 dP = hdA 二 丫(R x)2.、R2 -x2dx3 )水对薄板的压力RRP dP =2 (R x)-. _R. R=2 R R R-_R4 R * R2 2Rx dx

19、R2 - x2 dx 2 x . R2 - xLr22 - x2dx = 4 RR34dx2&求由曲线y=4-x及y=所围成的图形绕直线积解：法一：选 y为积分变量，则x二3旋转一周所生成的旋转体的体4 4V = 0 二(34-y)2dy - 0 二(3 - 4 - y)2dy2二：4-ydy = 64二.法二：选x为积分变量，则2 2V =匚2 兀(3-x)(4-x )dx2 2=2-二(12 -3x )dx=64二.四证明题(共2小题，每小题8分，共计16分)F (x)为f (x)的一个原函数，那么1.叙述并证明牛顿莱布尼茨公式 设f (x)在闭区间a,b上连续,f(x)dx=F(b)-F

20、(a) = F(x).证明：由已知F (x)为f (x)的一个原函数，(x)= a f(x)dx也是f (x)的一个原函数, 因此，在区间a，b】上，门(X)二F(xC.其中C为某一个常数在上式中令x =a,得门(aH F (a) C.x = b,得(b) = F(b)+C.两式相减得叮(b) -(a)二F(b)-F(a),ba由于：(b) = a f(x)dx,：(a) = a f(x)dx = 0,b所以f(x)dx = F(b) F(a).2 .设f (x) ,g(x)在区间-a,a上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足 f(x) f(-x)二 A( A 为常数).a(1)证明：(x)

21、g(x)dx=A0g(x)dx.JIJ 2sinx arctanexdx.计算：_2a0a证明:(1)f(x)g(x)dx= Jf(x)g(x)dx0 f(x)g(x)dxa0f(-x)g(-x)dx0 f(x)g(x)dxaa0f(-x) f(x)g(x)dx = A 0g(x)dx.f (x)二 arct aiex, g(x)二(2)令sinx,a-2 .则 f (x), g(x)在ji ji2 2上连续,g(x)为偶函数.由于arctan ex arctan e =_x e2x2 x1 e 1 e=0疋，所以 arctan ex arctan e二 A( A为常数)31- A = arc

22、tanl + arctan 1 = 令x = 0,得2因此f(x)满足等式f(x) f (-x)二arctanex arctane已利用(1)的结论得20092010学年第一学期高等数学(2-1 )期末试卷专业班级姓 名学 号开课系室基础数学系 考试日期 2010 年1月11日页号一二三四五六总分得分阅卷人注意事项1 请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；1xm(Xex -x)X2 答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3.本试卷共五道大题，满分 100分；试卷本请勿撕开，否则 作废一.填空题（共5小题，每小题4 分,共计20分）1.2005斗X 1 X3.设函数y = y（x）由方程x y

23、dyf1 e水刁确定，则二xzfi4设f X可导，且-5.微分方程y ” 4y 4八0的通解为j1tf(t)dt=f(x) , f(0)=1，则 f(x)=二选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1.2.3.设常数k 0，则函数（A） 3 个；（B） 2 个；微分方程y，4y = 3cos2 x的特解形式为（A） y、Acos2x；（C） y =Axcos2x Bxsin2x；下列结论不一定成立的是（f (x) = ln xx ke 在(，+00)内零点的个数为(C) 1 个；(D) 0).y = Axcos2x 4.(B)(D)y = A sin 2x(A )若(B )若(C)若c，d

24、1a,bl则必有f (x) _0在f Xdx.f xdxba,b】上可积,则xdxf x是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有a fxd-.fx dxx（D）若可积函数f x为奇函数，则0 tf t dt也为奇函数.设(A)11 +ef x 12 3ex ,则 x=0是 f(x)的连续占；八、 j(B)）.可去间断点；(C)(D)无穷间断点跳跃间断点；1 计算定积分三.计算题（共5小题,亚3x e-0每小题2丄dx6分，共计30分）xsin x ,2 计算不定积分cos5 x xx =a(t _sint),ty = a(1 - cost),在兀一 2处的切线的方程.，求 F(x).X 24

25、设 F(x) = J0 cos(x -t)dt本页满分15分本 页 得 分5 设 xnn (n1)(n2)(n3)一(2n)，求A四应用题（共3小题，每小题本页满分18分本 页 得 分1 .求由曲线 面积9分，共计27分）y =X -2与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的2 .设平面图形D由/ -2x与y-x所确定，试求D绕直线x = 2 旋转一周所生成的旋转体的体积 3设 a 1, f(t)=a - at在内的驻点为t（a） 问a为何值时t（a）最小？并求最小值.五.证明题（设函数7 分)f （x）在0,1上连续，在（0,1）内可导且f(0)f(1fO,()试证明至少存在一点(0,1),

26、使得 f ( )=1.1.填空题（每小题1x2冋心 -x）4分，5题共20分）：2.14x 1x-y_t23.4.（、edt =xdy设函数y=y（x）由方程1确定，则dxx11tf（t）dt = f（x）, f（0）=1，则 f（x）=e，心一 e-1微分方程 八4八4厂0的通解为厂（C1 C2x）e2x一.选择题（每小题 4分，4题共16分）:1.2.f（x）=lnx-x + k .-、设常数k . 0，则函数e 在（Q =）内零点的个数为（A） 3 个；（B） 2 个；（C） 1 个；微分方程y ： 4y = 3cos2x的特解形式为（c ）（B） y =Axcos2x ；(D)3.(a

27、) y =Acos2x ；(C) y =Axcos2x Bxsin2x .F列结论不一定成立的是(A)d(D) y 二 Asin 2x4.(A)(B)(C)(D)设(A)若 b,d a,bl 则必有.cfxdXJafxdXbf (x) _0在 a，b上可积，则f x dx-OT若f（x）是周期为T的连续函数，则对任意常数a都有匚f（x）dx-.L f（xxx若可积函数f x为奇函数，则 tf1j1 +e：f x =r2 3ex ,则 x=0是 f(x)的连续占；八、 j(C)跳跃间断点；曲也为奇函数C(B)(D)）.可去间断点；无穷间断点设 x2=t,则 2x 解: 021t寸dt.计算题（每小题6分，5题共30分）：1计算定积分z x3eVdx21te-f e dt0 %24122计算不定积分xsin xxsin x5 dxcos x解:丄A |l1 1cos5xdxGxd(石x，4 _cosdxcos4 xx 124(tan x 1)d tanx4 cos x 4*4tan3 x - Itan x C4 cos x 124x = a(t _sint),t =一3 求摆线y = a0 cost),在2处的切线的方程as i rt解：切点为（a（2 ），a）kdx t2切线方程为y -a = x -a( 1)2即X (2-評24.设