导数在解决实际问题中的应用

1、导数在解决实际问题中的应用在现实生活中 ，我们经常会遇到解决利润最大、用料最省、效 率最高等问题，这些我们统称为优化问题。我们知道，导数是求函数 最大（小）值的有力工具。生活中实际问题的解决，在数学上大多需 要建立数学模型 解决数学问题（求最值） 还原到实际问题中，其中，解决数学问题时的求最大、 最小值的问题常常利用导数来解决。 这就是导数在解决实际问题中的应用。在经济、生活中，人们经常遇到最优化问题，例如为使经营利润 最大、生产效率最高，或为用力最省、用料最少、消耗最省等等，一 句话，这类问题实质上就是运用最优化方法，以最少的人力、物力、 财力、时空、信息投入和消耗，获得最大的价值效益这样，

2、就需要 寻求相应的最佳方案或最佳策略， 这些都是最优化问题 导数是解决 这类问题的基本方法之一其中，在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常 常可以归结为函数的最大值问题， 从而可用导数来解决， 在解决这些 实际应用题时， 要把问题中所涉及的几个量转化为函数关系式， 这需 通过分析、联想、 抽象和转化函数的最值要由极值和端点的函数值 确定，当在定义域的开区间上只有一个极值， 这个极值就是它的最值一、解决优化问题的基本思路是：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模的过程二、利用导数解决生活中的优化问题的步骤1、分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量

3、之间的函数关系式 yf(x) ；2、求函数的导数 f (，x)解方程 f (x) 0；3、比较函数在区间端点和 f (x) 0 的点的函数值的大小，最大 (小) 者为最大 (小)值；4、回归实际问题作答一般地， 对于实际问题， 若函数在给定的定义域内只有一个极值 点，那么该点也是最值点三、举例分析例 1： 某工厂每天生产某种产品最多不超过 40 件，产品的正品率 P 与日产量 x(xN *)件之间的关系为 P4 200 x24 500，每生产件正品盈利 4 000元，每出现一件次品亏损 2 000元(注：正品率产品 中的正品件数 产品总件数 100%)(1) 将日利润 y(元)表示成日产量 x

4、(件)的函数； (2)该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最 大值4 200 x2解：(1)y4 0004 500x2 00014 200 x24 500x 3 600x43x34所求的函数关系式是 y3x33 600x(xN*,1x40)4(2)由(1)知 yf(x)3x33 600x(xN*,1x40)， f (x) 4x23 6004(x30)(x30)令 f(x)4x23 6000，得 x30或 x30(舍去)当 1x0，yf(x)单调递增，当 30x40时， f(x)0，yf(x)单调递减4当 x30 时，函数 yf(x)取得最大值，最大值为 34303 3 60030

5、72 000(元)该厂的日产量为 30件时，日利润最大，最大值为 72 000元 例 2：为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶 和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层， 每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 kC(单位：万元 )与隔热层厚度 x(单位： cm)满足关系： C(x) 3xk5 (0x1，0若) 不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元设 f(x)为隔 热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和求 k 的值及 f(x) 的表达式；隔热层修建多厚时，总费用 f(x) 达到最小，并求最小值k解： 由题设，每年能源消耗费用为 C(x)3xk 5，40再由 C(0)8，得 k 40，因此 C(x)3x5.而建造费用为 C1(x) 6x.最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)40 80020C(x)C1(x)203x56x3x56x(0x10)2 400 2 400 f(x)6 32x 40502，令 f(x)0，即3x 5 2 625解得 x5，x235(舍去 )当 0x5时，f(