第十三讲直线与圆锥曲线综合

1、第十三讲 直线与圆锥曲线综合【教学目标】知识与技能 巩固直线与圆锥曲线的基本知识和性质;掌握直线与圆锥曲线位置关系的判断方法 ,主要是利用判别式法 , 以及分类讨论法 .会求参数的值或范围 .过程与方法 使得学生树立通过坐标法用方程思想解决问题的观念 , 培养学生直观、严谨 的思维品质 ;灵活运用数形结合、分类讨论、类比归纳等各种数学思想方法, 提高解题能力情感目标 让学生感悟数学的统一美、 和谐美 , 端正学生的科学态度 ,进一步激发学生自主 探究的精神 .【教学重点、难点 】重点 ：直线与曲线的位置关系 , 掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法 , ;难点 ：非封闭曲线 ,尤其是双曲线与

2、直线位置关系的讨论 ;【考点链接】 能够掌握直线和圆锥曲线的关系，会解决常见题目 【知识梳理】直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB（x1 x2）2 （y1 y2）2 或AB （1k2）（x2x1）2|x1x2 |1tan2|y1y2 |1cot2（弦端点 Ay kx(x1, y1),B(x2,y2) ，由方程 F(x,y)消去 y 得到 ax2bx c 0 ，0, 为直线AB 的倾斜角， k 为直线的斜率） 【典型例题】例 1. 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A（2 ，3 ），且点 F（2 ，0 ）为其右焦点 （1 ）求椭圆 C 的方程；（2 ）是否存在平行于 OA的直线 l ，使得

3、直线 l与椭圆 C有公共点，且直线 OA 与l的距离 等于 4 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由例 2.设有抛物线 C ：y=-x 2+，通过原点 O 作 C 的切线 y=mx ，使切点P 在第一象限（1 ）求 m 的值，以及 P 的坐标；（2）过点 P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q；（3）设 C上有一点 R，其横坐标为 t，为使 DOPQ 的面积小于 DPQR 的面积，试求 t 的 取值范围例3.已知双曲线 x2-2y2=2 的左、右两个焦点为 F1，F2，动点 P满足|PF 1|+|PF 2|=4 （I ）求动点 P 的轨迹 E 的方程；（）设过 M（3，0）

4、的直线 l 交轨迹 E 于 A、B 两点，求以线段 OA ，OB 为邻边的平行 四边形 OAPB 的顶点 P 的轨迹方程；（）（理）设 C（a，0 ），若四边形 CAGB 为菱形（ A、 B 意义同（），求 a 的取 值范围例 4.设有抛物线 C ：+2x-=yx-4 ，通过原点 O 作 C 的切线 y=mx ，使切点 P 在第一象限（1 ）求 m 的值，以及 P 的坐标；（2）过点 P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q；（3）设 C上有一点 R，其横坐标为 t，为使 DOPQ 的面积小于 DPQR 的面积，试求 t 的 取值范围例 5. 已知两定点 ，满足条件 的点 P 的轨迹是曲线

5、 E，过点（ 0，-1）的直线 l与曲线 E交于 A，B两点，且（1 ）求曲线 E 的方程；（2 ）求直线 l 的方程；（3 ）问：曲线 E 上是否存在点 C，使（O 为坐标原点），若存在，则 求出 m 的值和 ABC的面积 S；若不存在，请说明理由例 6. 已知椭圆 C 的长轴长是焦距的两倍， 轴交于 F 1，椭圆 当 m=1 时，求椭圆 C 的方程； 在（ 1 ）的条件下，直线 l 过焦点 PF1F2的周长，求直线 l 的方程；（m 0 ）的准线与 x（1）（2）于其左、右焦点依次为 F1、F2，抛物线 M ：y 2 =4mx C 与抛物线 M 的一个交点为 P F2，与抛物线 M 交于

6、A 、B 两点，若弦长 |AB| 等由抛物线弧 y2=4mx和椭圆弧（m 0）合成的曲线叫“抛椭圆”，是否存在以原点O 为直角顶点，另两个顶点 A1 、 A2落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形OA 1A2，若存在，求出两直角边所在直线的斜率；若不存在，说明理由例 7.已知椭圆方程为 C： =1 ，它的左、右焦点分别为 F1、F2点 P（ x， y ）为第一象限内的点直线 PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为 A、B 和C、D，O 为坐标原点（1 ）求椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角；（2 ）设直线 PF1、PF2的斜率分别为 k 1、 k 2 试找出使得直线 OA、OB 、OC、OD 的斜 率

7、kOA 、 kOB 、 k OC 、 k OD 满足 kOA+kOB+k OC +k OD =0 成立的条件（用 k1、k2表示）（3 ）又已知点 E为抛物线 y 2=2px （p 0 ）上一点，直线 F2E与椭圆 C的交点 G 在y 轴 的左侧，且满足 ，求 p 的最大值知识窗 ： 像其它植物一样，桃树的叶子在排列上井然有序。它叶子的叶序周是“2”，即从起点至终点的螺旋线绕树枝两圈， 5 片桃树叶排列在这“ 2 ”周的螺旋空间里，有着明显 的排列规律。桃花、梅花、李花、樱花等也是依照“斐波那契数列”排列的，花瓣数目为 5 枚。植物的果实和种子也不例外，在排列上和这个数列十分吻合。 如果仔细加

8、以观察， 便能 在菠萝的表层数出往左旋转的圆有 13 圈，向右转的圆是 8 圈；松树上结的松球要么是 21 和 13 ，要么是 34 和 21思维训练 1. 已知椭圆 的两个焦点为 F 1（ -c ，0 ）、F2（ c，0 ），c 2是 a2与 b 2的等差中项，其中 a、b、c 都是正数，过点 A（0，-b ）和 B（a，0）的直线与原点的距离为（1 ）求椭圆的方程；（2）过点 A 作直线交椭圆于另一点 M ，求|AM| 长度的最大值；（3 ）已知定点 E（-1，0），直线 y=kx+t 与椭圆交于 C、D 相异两点证明：对任意 的 t 0 ，都存在实数 k ，使得以线段 CD 为直径的圆过

9、 E 点2. 已知中心在原点， 顶点 A1、A2 在 x 轴上，其渐近线方程是 y= x ，双曲线过点 P（6，6）（1 ）求双曲线方程（2 ）动直线 l 经过A1PA2 的重心 G ，与双曲线交于不同的两点 M、N，问是否存在直 线 l，使 G 平分线段 MN ，证明你的结论3. 已知中心在原点， 顶点 A1、A2 在 x 轴上，其渐近线方程是 y= x ，双曲线过点 P（6，6）（1 ）求双曲线方程（2 ）动直线 l 经过A1PA2 的重心 G ，与双曲线交于不同的两点 M、N，问是否存在直 线 l，使 G 平分线段 MN ，证明你的结论4. 设抛物线 C ：y2 =2px （ p 0 ）

10、的焦点为 F，过 F 且垂直于 x 轴的直线与抛物线交于 P1， P2 两点，已知 |P 1P2|=8 （1 ）求抛物线 C 的方程；（2）过点 M （3 ， 0 ）作方向向量为的直线与曲线 C 相交于 A，B 两点，求 FAB 的面积 S（a）并求其值域；（3）设m0，过点M（m，0）作直线与曲线 C相交于 A，B两点，问是否存在实数 m 使 AFB 为钝角？若存在，请求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由5. 如图，已知点 F（0，1），直线 m ：y=-1 ，P为平面上的动点，过点 P作m 的垂线，垂 足为点 Q ，且 （1 ）求动点 P的轨迹 C 的方程；（2 ）（理）过轨迹 C

11、的准线与 y 轴的交点 M 作直线 m与轨迹 C 交于不同两点 A、B， 且线段 AB 的垂直平分线与 y 轴的交点为 D（0 ，y ），求 y 的取值范围；（3 ）（理）对于（ 2）中的点 A、B，在 y 轴上是否存在一点 D，使得 ABD为等边三角 形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由6. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C1：2x 2-y2=1（1）过 C1的左顶点引 C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及 x 轴围 成的三角形的面积；（2 ）设斜率为 1的直线 l交C1于P、Q两点，若l与圆 x2+y2=1 相切，求证：OP OQ； （3 ）设椭圆

12、 C 2：4x 2+y 2 =1 ，若M 、N分别是 C1、C2上的动点， 且OM ON，求证： O 到直线 MN 的距离是定值7. 设点 F1，F2分别是椭圆的左、右焦点， P为椭圆 C 上任意一点1 ）求数量积 的取值范围；（2 ）设过点 F1 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆 C 于 A、B 两点，线段 AB 的垂直平分 线与 x 轴交于点 G ，求点 G 横坐标的取值范围8. 已知抛物线 D 的顶点是椭圆 的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合（）求抛物线 D 的方程；（）已知动直线 l 过点 P（ 4， 0），交抛物线 D 于 A、B 两点（ i）若直线 l 的斜率 为 1，求 AB 的长；

13、（ ii ）是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 AP 为直径的圆 M 所截得 的弦长恒为定值？如果存在，求出 m 的方程；如果不存在，说明理由9. 已知定点 F（2，0），直线 l ：x=-2 ，点 P 为坐标平面上的动点，过点 P作直线 l的垂 线，垂足为点 Q ，且 （1 ）求动点 P所在曲线 C 的方程； （2）直线l1过点F与曲线C交于A、B两个不同点，求证：= ；（3）记与 的夹角为 （O 为坐标原点， A、B 为（ 2）中的两点），求 cos 的最小值10. 已知椭圆： ，左右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，则 的最大值为 挑战自我 1.定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形” 如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”， 并将三角形的相似比称为椭圆的相似比已知椭圆 （1 ）若椭圆，判断 C2与C1是否相似？如果相似， 求出 C2与C