竞赛专题讲座04

1、智浪教育 普惠英才文库竞赛专题讲座 04平面几何证明 竞赛知识点拨 1 线段或角相等的证明（1）利用全等或相似多边形；（2）利用等腰；（3）利用平行四边形；（4）利用等量代换；（5）利用平行线的性质或利用比例关系（6）利用圆中的等量关系等。2 线段或角的和差倍分的证明（ 1）转化为相等问题。如要证明 a=bc，可以先作出线段 p=bc，再去证明 a=p，即所谓“截长补短”，角的问题仿此进行。（ 2）直接用已知的定理。例如：中位线定理， Rt斜边上的中线等于斜边的一半； 的外角等于不相邻的内角之和； 圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。3 两线平行与垂直的证明（1）利用两线平行与垂直的判定定理。

2、（2） 明垂直。利用平行四边形的性质可证明平行；利用等腰的“三线合一”可证（3）利用比例关系可证明平行；利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。竞赛例题剖析】例 1】从O外一点 P 向圆引两条切线 PA、PB和割线 PCD。从 A 点作弦 AE平行于BE平分 CD。智浪教育 普惠英才文库连结 ED、 AC、 AF。CF=DFACFEDFPAB=AEB=PFB分析 2】利用圆中的等量关系。连结 OF、OP、 OB。注：连结 OP、 OA、OF，证明 A、O、F、P 四点共圆亦可。【例 2】 ABC内接于 O， P是弧 AB 上的一点，过 P 作 OA、OB的垂线，与 AC、BC分别交于 S、 T，AB

3、交于 M、 N。求证： PM=MS充要条件是 PN=NT。分析】只需证， PMPN=MS NT。1=2，3=4)APMPBN PM PN=AMBNBNT=AMS，BTN=MAS)BNTSMA MS NT=AM BN【例 3】已知 A为平面上两半径不等的圆 O1和 O2 的一个交点， 两外公切线 P1P2、Q1Q2分别切两圆于 P1、P2、Q1、 Q2，M1、M2分 别为 P1Q1、P2Q2 的中点。求证：O 1AO2=M1AM2。分析】设 B为两圆的另一交点，连结并延长 BA交 P1P2于 C， 交 O1O2于M，则 C为 P1P2的中在 O1M上截取 MO3=MO2，则 M1AO3=M2AO

4、2。点，且 P1M1CMP2M2，故 CM 为 M1M2 的中垂线。故只需证O1AM1=O3AM1，即证。由P1O1M1P2O2M2，M1O3=M2O2，O1P1=O1A，O2P2=O2A 可得。【例 4】在 ABC中，ABAC，A的外角平分线交 ABC的外接圆于 D，DEAB于 E， 求证： AE= 。分析】方法 1、DF，从而只需证 DBF DCA 在 BE 上截取 EF=AE，只需证 BF=AC，连结 DC、DB、 DF=DA，DBF=DCA， DFB=DAC DFA=DAF=DAG。方法 2、延长 CA至 G，使 AG=AE，则只需证 BE=CG 连结 DG、DC、DB，则只需证 DB

5、E DCG智浪教育 普惠英才文库 DE=DG，DBE=DCG， DEB=DGC=Rt【例 5】ABC的顶点 B在O外，BA、BC均与O相交，过 BA与圆的交点 K引 ABC 平分线的垂线，交O 于 P，交 BC于 M。求证：线段 PM为圆心到 ABC平分线距离的 2 倍。【分析】若角平分线过 O， 则 P、M重合， PM=0，结论 显然成立。若角平分线不过 O，则延长 DO至 D，使 OD=OD，则过 O作 m PK，则只需证 DD=PM。连结DP、DM，则只需证 DMPD为平行四边形。DD,KDPK=DKPBL平分 ABC，MKBLBL 为 MK的中垂线 DKB=DMKDPK=DMK， DP

6、DM。而 D DPM，DMPD为平行四边形。【例6】在ABC中，AP为A的平分线，AM为BC边上的中线，过B作 BHAP于H， AM的延长线交 BH于 Q，求证： PQAB。【分析】 方法 1、结 合中线和 角平分线 的性质， 考虑用比 例证明平 行。倍长中 线：延长智浪教育 普惠英才文库AM至 M，使 AM=MA，连结 BA，如图 6-1PQAB ABQ=180-(HBA+BAH+CAP)= 180 - 90 - CAP=90 -BAP=ABQ方法 2、结合角平分线和 BHAH联想对称知识。延长BH交AC的延长线于 B，如图 6-2 。则H为BB的中点，因为 M为BC的中点， 连结 HM，则

7、 HMB/C。延长 HM交 AB于 O，则 O为 AB的中点。延长 MO至 M，使 OM=OM， 连结 MA、MB，则 AMBM是平行四边形，MPAM， QMBM。于是，所以 PQAB。形 ABCD的内切圆 O与各边分别切于 E、F、G、H，在 EF 与 GH上分别作O的切线交 AB于 M，交 BC于 N，交 CD于 P，交 DA于 Q。求证： MQNP。( 95 年全国联赛二试 3)分析】由 ABCD知：要证 MQNP，只需证 AMQ= CPN，结合 A=C知，只需证 AMQCPN，AMCN=AQCP。连结 AC、BD，其交点为内切圆心 O。设 MN与O切于 K，连结 OE、OM、OK、ON

8、、OF。 记ABO= ， MOK= ，KON=，则智浪教育 普惠英才文库EOM= ，FON=，EOF=2 +2=180 -2 。BON=90 - NOF- COF=90 - = CNO= NBO+ NOB=+=AOE+MOE= AOM又OCN= MAO， OCNMAO，于是， AMCN=AO CO 同理， AQCP=AOCO。【例 8】ABCD是圆内接四边形，其对角线交于 P，M、N 分别是 AD、BC的中点，过 M、 N分别作 BD、AC的垂线交于 K。求证： KPAB。【分析】延长 KP交 AB于 L，则只需证 PAL+APL=90，即只需证 PDC+KPC=90 ，只需证 PDC=PKF，因为 P、F、K、E 四点共圆，故只需证 PDC=PEF，即 EFDC。 DMECNF【例 9】以 ABC的边 BC为直径作半圆，与 AB、AC分别交于点 D、E。过 D、E作 BC 的垂线，垂足分别是 F、G，线段 DG、EF交于点 M。求证： AMBC。【分析】 CD交于 为垂心， AHBC。合。连结 BE、