高数—10寒—03—两角和与差的余弦正弦和正切—教师版

1、专业 引领 共成长高一数学寒假班（教师版）教师日期学生课程编号课型课题两角和与差的余弦、正弦和正切教学目标1理解两角和与差的余弦、正弦和正切公式的推导； 2掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的基本应用； 3 掌握两角和与差公式的变形应用 教学重点1 两角和与差公式的推导；2 两角和与差公式的应用 教学安排版块时长1例题解析802巩固训练303师生总结104课后练习30高一数学寒假课程 两角和与差的余弦、 正弦和正切 （教师版） 1 / 16专业 引领 共成长两角和与差的余弦、正弦和正切例题解析、两角和与差的余弦公式（一）知识精讲在三角比的计算和化简中， 常要用角的三角比来表示角或角 的三角比

2、设 和 是两个任意角，把它们的顶点都置于平面直角坐标系的原点，始边都与 x 轴 的正方向重合，它们的终边 OA，OB 分别与单位圆交于 A、B 两点（如图 1）A、B 的坐标分别为 cos ,sin , cos ,sin面考虑 的三角比， 把角的终边 OA ，OB 都绕 O 旋转的位置（如图2）， 由 于 OA转过了角，所 以 BOA角，分别转到 OA ，OB 点 A 的 坐 标 是cos,sin，点 B的坐标 1,0高一数学寒假课程两角和与差的余弦、 正弦和正切 （教师版） 2 / 16专业 引领 共成长图1在图 2 中，有根据两点间的距离公式，在图中，有,sin图2ABcos2cos2 c

3、ossin2cos cossin2cossin22sin sinsin2coscossinsinABcos2cos2cos2cos因为 AOB 绕 O 旋转 角得AOB，从而得到：2 2 cos cossin sin2 2cos所以cossin 21 sin2所以 AB ABcos cos sin sin它对任意角 和 如果用 代替都成立，这个公式叫做两角差的余弦公式，则可以得到两角和的余弦公式：coscos cos sin sin注】一般地，sinsin sin ， coscos cos（二）典型例题例 1】 cos15 ， cos75 难度】答案】 6 2, 6 2 44高一数学寒假课程两

4、角和与差的余弦、 正弦和正切 （教师版） 3 / 16专业 引领 共成长例 2】cos23cos22cos67 cos68 _ cos10 cos35 cos100 cos55难度】答案】2；222例 3】若 cosx3且 17x7 ,且x ,则 cosx 45 12 4难度】答案】 210例 4】在 ABC 中 , cos Acos Bsin AsinB ，则此三角形一 定是三角形难度】答案】钝角，就成了角2的终边，终边上有点 P 3, 4 ，123，, cos 2求 cos 135【例 5】将角 的终边绕顶点顺时针旋转 那么 sin 为 【难度】【答案】 35【例 6】已知 、 为锐角，且

5、 cos 【难度】【答案】 5665【例 7】 2cos10 sin20 cos20【难度】【提示】 cos10 cos 30 20【答案】 3【巩固练习】1 cos105 ， cos195【难度】【答案】 2 6 ， 2 644高一数学寒假课程两角和与差的余弦、 正弦和正切 （教师版） 4 / 16专业 引领共成长2 sin115 sin70 sin25 sin20 ， cos cos66 【难度】【答案】 2 ， 3cos 23若 0，且 sin2 41 ，则 cos 32【难度】【答案】154534 ABC中， cosA 1难度】答案】 16653 ,sin B 53 ，则cosC难度】

6、答案】16656设 cos5,cos137已知 cos cos1 ，则 sin5sin的取值范围是5已知点 M 6, 8 ，若将 OM 绕原点顺时针转得到 OM，则点 M的坐标为2【难度】答案】 8,6难度】答案】 4 ，且 , 都是锐角，则 cos 5,458 u2cos cos sin2sin ，其中【难度】【答案】0,4为任意角，求 u 的取值范围高一数学寒假课程两角和与差的余弦、 正弦和正切 （教师版）5 / 16专业 引领共成长、两角和与差的正弦公式一）知识精讲sincos2cos2coscossin2sin2sincoscossinsin sin cos cos sin把 换成 ，

7、得两角差的正弦公式：sin sin cos cos sin二）典型例题【例 8】sin14cos16sin16 cos14cos80 cos35cos10cos55 sin91 cos61cos29cos91 sin75【难度】【答案】1；2；1 ； 6+ 2 2224【例 9】化简3cossin66求值： cos 70sin 170sin 70cos 10【难度】； 3 ；2【答案】 2cos例 10】（ 1）已知5cos ,132，则 sin62）已知 cos5,，则 sin 的值为 _6 132难度】答案】 12 3 5； 12 3 5 ；2626例 11】 cos5,cos4，, 均为

8、锐角，则 sin135难度】答案】 3365高一数学寒假课程两角和与差的余弦、 正弦和正切 （教师版）6 / 16专业 引领 共成长例 12 】已知2难度】 答案】 56653,cos412,sin133 ，求 sin25的值【例 13】若 ABC 中的角 A、B 满足 sin Asin B sin AcosB cosA sin B cos A cos B 2，则 此三角形是 三角形【难度】【答案】等腰直角例 14 】在 ABC 中，已知 sin A难度】54153,cosB 54，则 sinC的值为答案】 5665例 15 】已知 sin难度】1,sin2那么tantan提示】tantans

9、in cos sin cos答案】 5【巩固练习】2 3 2 31 cos sin sin cos ；5 5 5 5 sin163 sin223 sin253 sin313 ；sin195 【难度】【答案】 0，； 1 ； 2 6 242化简 sin 45 A sin 45 A 【难度】【答案】 2sin A3求值： cos 70 2 cos 25sin 70 2 cos 65 2难度】高一数学寒假课程两角和与差的余弦、 正弦和正切 （教师版） 7 / 16专业 引领 共成长【答案】224已知2 sin , ,cos3,324已知 cos 3015, 30 ,90 ，则 sin17【难度】【答

10、案】6 35； 8 3 15 ；1234125已知cos 2,sin 293【难度】【答案】22276在ABC 中， 2sin AcosB sinC ，那么【难度】【答案】等腰3，,，则 sin的值为 2的值为 _且,0，求 sin的值424ABC 一定是 三角形357在 ABC 中，已知 sin A ,cosB ，则 cosC的值为 5 13 【难度】【答案】 1665三、两角和与差的正切公式（一）、知识精讲sinsin cos cos sintancoscos cos sin sin把最后一个分式的分子分母同除以 cos cos cos 0,cos 0 ，化简得：同理可得（二）典型例题【例

11、 16】 1 tan151 tan15【难度】高一数学寒假课程 两角和与差的余弦、 正弦和正切 （教师版） 8 / 16专业 引领 共成长答案】 3例 17 】已知 tan15 tan30m tan15 tan30 1 ，则 m若 A 16 , B 29 ，则 1tan A 1 tanB 的值为难度】 答案】 1； 2例 18 】若 tan3 ，则 tan 1 ，则 tan2 A36sin 303,605150 ，则 tan 75的值为【难度】【答案】5 3 6 ；33；1；47tanA例 19 】设 , 0, ，且 1 tan 1 tan 2 ，则2难度】答案】 34例 20 】已知 tan

12、 难度】 答案】 341例 21 】已知 tan1,tan3难度】5答案】 541,tan1 ，且 , 0,27sin2，则cos cos例 22 】已知 sin sin1,cos4cos3，求 tan，求 2 的值的值为 的值难度】高一数学寒假课程两角和与差的余弦、 正弦和正切 （教师版）9 / 16专业 引领共成长提示】令 x,y答案】24【巩固训练】1若 1 tanA 4 5，则 cotA 的值是1 tan A 4已知 sin,cot3 ，且 是第二象限角，则 tan 【难度】 【答案】 3【难度】答案】 4 52求值 tan10【难度】【答案】 33tan203tan10 tan203

13、5已知tana,tan【难度】【答案】ab1 abb ，则 tan2 的值为 3 1 tan1 1 tan2 1 tan43 1 tan44 【难度】 【答案】 2222,tan511 ，则 tan 2446设 tan 【难度】 【答案】 315高一数学寒假课程两角和与差的余弦、 正弦和正切 （教师版）10 / 167设 , 0, 且 tan3,tan1 ，则247【难度】专业 引领共成长答案】48已知sin3,tan1 ，求 tan2 的值5,22【难度】【答案】7249已知cos4,cos3，则 tan tan的值为 _55【难度】【答案】7四、辅助角公式（一）、知识精讲可设asinasi

14、nbcosaa2 b2cosasinsincosb2bcosa2 b2 sin cosa2 b2 sin，所以sin cosasin bcosa2 b2 sin其中 通常取 02 ，由 cosaa2b2,sina2 b2 确定同学可尝试设aa2 b2sina2b2cos 进行化简二）典型例题例 23】将 sincos 化为 AsinA 0 的形式是 将 2cos2 3sin 化为 AcosA 0 的形式是 _将 2sin2sin 化为 Asin3A 0 的形式是【难度】【答案】2sin ； 4cos； 2sin高一数学寒假课程两角和与差的余弦、 正弦和正切 （教师版）11 / 16433【例

15、24】已知 3cos3sin2 3sin, , ，则 _【难度】【答案】3【例 25】已知 sin2, ,cos3, ,3 ，则 sin3,25, ,2【难度】【答案】6 4 515【例 26】下列关系式中，角存在的是（）A sin3B sin4coscos23C sin1,cos2D cossin 333【难度】【答案】B专业 引领共成长例 27 】 3sin 3sin 的最大值为 63难度】答案】 2 3例 28】已知 m 5sin 1 ，求 m 的取值范围cos 2难度】 提示】把分母乘到左边，利用辅助角公式求解 答案】 2,23【巩固训练】A 0 的形式是 将 4cos 4sin 化为

16、 AcosA 0 的形式是 1将 3sin cos 化为 Asin难度】答案】 2sin ； 4 2cos64高一数学寒假课程两角和与差的余弦、 正弦和正切 （教师版）12 / 16专业 引领 共成长3 3sin 6sin0,2 ，则 2已知 3cos【难度】【答案】 563若 coscossinsin54 ，则sin 32【难度】【答案】454设 a sin14A a b c【难度】【答案】 B6cos14 ,b sin16 cos16 ,c 6 ，则 a，b， c 的大小关系是（2B a c bC b c a15求值 sin152 【难度】 【答案】 223sin756若 f x 2sin

17、x,g x 2cosx ,x R，则 f x g x 的最大值为 【难度】【答案】 2 27求 2sin 50 sin10 1 3 tan102sin 280 的值【难度】【答案】 68使方程 2sin5cos 1 有解的 k 的取值范围是k【难度】【答案】 ,11U,33高一数学寒假课程两角和与差的余弦、 正弦和正切 （教师版） 13 / 16专业 引领共成长反思总结公式联系记忆：coscoscossinsincoscoscossinsinsinsincoscossinsinsincoscossintan tantan tantan1 tan tan1 tan tanasinbcosa2 b

18、2 sinb tana使用公式的时候注意把什么看成 ，什么看成 ，初学需要圈注一下 利用和差配所求角难度比较大，需要耐心观察1计算7sin sin887cos cos88；cos79cos56 cos11 cos34【难度】【答案】；21；22化简coscos sinsin _；cos 31cos 29cos 59cos 61；1 sin2 cos7tantan32cos 22【难度】【答案】1cos ；12353在 ABC 中， cosA ,sin B ，则 cosC 5 13 【难度】 【答案】 1665高一数学寒假课程两角和与差的余弦、 正弦和正切 （教师版）14 / 165已知3 ,0，且 cos33,sin5 ，求 sin的值44445413难度】专业 引领 共成长534 sin6 13 2【难度】2 ，则 cos 答案】12 3 526答案】 566536已知 ABC中 , sin A5 【难度】 【答案】 6365cosB 5 , 则